2數(shù)集和確界原理

1、2 數(shù)集和確界原理授課章節(jié)： 第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) 2 數(shù)集和確界原理 教學(xué)目的 ：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念 .教學(xué)要求：(1) 掌握鄰域的概念；(2) 理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用 教學(xué)重點(diǎn) ：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)(確界原理) .教學(xué)難點(diǎn) ：確界的定義及其應(yīng)用 . 教學(xué)方法 ：講授為主 .教學(xué)程序 ：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，此后導(dǎo)入新課引言上節(jié)課中我們對(duì)數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡(jiǎn)要討論；此后又讓大家自學(xué)了第一章 1 實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容 . 下面，我們先來檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何！1、證明：對(duì)任何 x R有： (1)

2、|x 1| |x 2| 1；(2) |x 1| |x 2| |x 3| 2.(1) x 1 1 (x 2) 1 x 2 , x 1 x 2 1 )(2) x 1 x 2 1, x 2 x 3 1, x 2 x 3 2.三式相加化簡(jiǎn)即可 )2、證明： |x| | y| |x y|.3、設(shè)a,b R ，證明：若對(duì)任何正數(shù) 有a b ，則 a b.4、設(shè) x, y R,x y ，證明：存在有理數(shù) r 滿足 y r x. 引申 ：由題 1 可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科研時(shí)的經(jīng)常的思路之一 . 而 不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？由上述幾個(gè)小 題可以體會(huì)出“

3、大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑 空想象；課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深理解，語言應(yīng)用. 提請(qǐng)注意這種差別，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具 .本節(jié)主要內(nèi)容 ：1、先定義實(shí)數(shù)集 R中的兩類主要的數(shù)集區(qū)間與鄰域；2、討論有界集與無界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理(確界原理) .一 、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間(用來表示變量的變化范圍)設(shè)a,b R且a b. 區(qū)間 有限區(qū)間無限區(qū)間，其中開區(qū)間 : x R|a x b (a,b)有限區(qū)間閉區(qū)間 : x R |a x b a,b半開半閉區(qū)間閉開區(qū)間 : x R|a x b a,b) 開閉區(qū)間 : x

4、 R|a x b (a,bxR|xaa, ).xR|xa( ,a.無限區(qū)間xR|xa(a, ).x R|x a ( ,a).x R| x R.2、鄰域聯(lián)想：“鄰居” . 字面意思：“鄰近的區(qū)域” .與 a鄰近的“區(qū)域”很多，到底哪一類是我 們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于 a 的對(duì)稱區(qū)間”；如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？1)a 的 鄰域：設(shè) a R, 0 ，滿足不等式 |x a| 的全體實(shí)數(shù) x的集合稱為點(diǎn) a的鄰域，記作 U(a; ) ，或簡(jiǎn)記為 U(a)，即U(a; ) x |x a| (a ,a ) .其中 a稱為該鄰域的中心， 稱為該鄰域的半徑 .(2)點(diǎn) a的空心 鄰域U o(a; ) x

5、 0 |x a| (a ,a) (a,a ) U o(a).(3) a的 右鄰域和點(diǎn) a 的空心 右鄰域U (a;) a,a)U (a)x a x a;U 0(a;) (a,a)U 0(a)x a x a.(4) 點(diǎn)a的 左鄰域和點(diǎn) a 的空心 左鄰域U (a; ) (a ,a U (a) x a x a ;U0(a; ) (a ,a) U0(a) x a x a .(5) 鄰域， 鄰域， 鄰域U( ) x|x| M ,(其中 M為充分大的正數(shù))；U( ) x x M ,U( ) x x M、有界集與無界集1、定義 1(上、下界 )：設(shè) S為 R中的一個(gè)數(shù)集 . 若存在數(shù) M (L) ，使得一

6、切 x S都有x M （x L），則稱 S為有上（下）界的數(shù)集 . 數(shù)M（L）稱為 S 的上界（下界）；若數(shù)集 S 既有上界，又有下界，則稱 S為有界集 .閉區(qū)間 a,b 、開區(qū)間 （a,b）（a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 E y y sinx, x （ , ） 也是有界數(shù)集 .若數(shù)集 S不是有界集，則稱 S為無界集 .（ , ）, （ ,0）, （0, ）等都是無界數(shù)集 ,集合 E y y 1, x （0,1） 也是無界數(shù)集 .注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界與 S 的關(guān)系如何？看下例：例 1 討論數(shù)集 N n | n為正整數(shù) 的有界性 .解：任取 n0 N ，

7、顯然有 n0 1 ，所以 N 有下界 1；但 N 無上界 . 因?yàn)榧僭O(shè) N 有上界 M,則 M0，按定義，對(duì)任意 n0 N ，都有 n0 M ，這是 不可能的，如取 n0 M （1符號(hào) M 表示不超過 M的最大整數(shù)），則n0 N ，且n0 M .綜上所述知： N 是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集 .例 2 證明：（ 1 ）任何有限區(qū)間都是有界集；（ 2 ）無限區(qū)間都是無界集；（ 3 ）由有限個(gè) 數(shù)組成的數(shù)集是有界集 . 問題 ：若數(shù)集 S有上界，上界是唯一的嗎？對(duì)下界呢？ （答：不唯一 ，有無窮多個(gè) ）.三 、確界與確界原理1、定義定義 2（上確界 ） 設(shè) S 是 R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足

8、： （1） 對(duì)一切 x S,有x （即 是 S 的上界）; （2） 對(duì)任何 ，存在 x0 S，使得 x0（即 是 S 的上界中最小的一個(gè)），則稱數(shù) 為數(shù)集 S 的上確界 ，記作supS.從定義中可以得出： 上確界就是上界中的最小者 .命題 1M supE 充要條件1） x E,x M ；2）o, x0 S, 使得 x0 M .證明：必要性，用反證法 .設(shè) 2）不成立，則 0 0,使得 x E,均有x M o，與M 是上 界中最小的一個(gè)矛盾 .充分性（用反證法），設(shè) M 不是 E 的上確界，即 M0 是上界，但 M M0 . 令M M0 0，由 2）， x0 E，使得 x0 MM 0，與M0是E

9、的上界矛盾 .定義 3（下確界 ）設(shè) S是 R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足：（ 1）對(duì)一切 x S,有x （即 是 S 的下界）；（ 2）對(duì)任何，存在 x0 S ，使得 x0（即 是 S 的下界中最大的一個(gè)），則稱數(shù) 為數(shù)集 S 的下確界 ，記作inf S.從定義中可以得出： 下確界就是下界中的最大者 .命題 2 inf S 的充要條件：1） x E,x ；2） 0， x0 S,有x0 .上確界與下確界統(tǒng)稱為 確界 .例 3（1）S 1 （ 1） ,則 supS1 ；inf S 0 .（2） E y y sinx, x （0, ） .則supS1 ；inf S 0 .注： 非空有界數(shù)集的上（或下）

10、確界是唯一的 .inf n 1 n Z n 1 2命題 3：設(shè)數(shù)集 A有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一的 .證明：設(shè) supA ， supA 且，則不妨設(shè)supA x A 有 xsupA 對(duì) ， x0 A使 x0 ，矛盾.例： supR 0 ， sup n 1n Z n 1E 5,0,3,9,11 則有 inf E 5.開區(qū)間 a,b 與閉區(qū)間 a,b 有相同的上確界 b 與下確界 a例 4設(shè)S和 A是非空數(shù)集，且有 S A.則有sup S supA, inf S inf A.例 5設(shè) A和 B是非空數(shù)集 .若對(duì) x A和 y B,都有 x y,則有sup A inf B.證明： y

11、B, y 是 A的上界, supA y. supA是 B的下界, supA inf B.例 6A 和 B 為非空數(shù)集 , S A B. 試證明 : inf S min inf A,inf B .證明： x S,有 x A或 x B,由inf A和inf B分別是 A和 B的下界, 有x inf A 或 x inf B. x min inf A,inf B .即min inf A,inf B 是數(shù)集 S的下界,inf S min inf A,inf B .又S A,S的下界就是 A的下界, inf S是 S的下界,inf S是A的下界,inf S inf A;同理有 inf S inf B.于是

12、有 inf S min inf A,inf B .綜上, 有 inf S min inf A,inf B .1. 數(shù)集與確界的關(guān)系 :確界不一定屬于原集合 .以例 3為例做解釋 .2. 確界與最值的關(guān)系 : 設(shè) E為數(shù)集.（1） E的最值必屬于 E ,但確界未必 ,確界是一種臨界點(diǎn) .（2）非空有界數(shù)集必有確界 （ 見下面的確界原理 ）, 但未必有最值 .（3）若max E存在,必有max E sup E.對(duì)下確界有類似的結(jié)論 .4. 確界原理 :Th1.1 （確界原理 ）. 設(shè)S非空的數(shù)集 .若S有上界，則 S必有上確界；若 S有下界，則 S必 有下確界 .這里我們給一個(gè)可以接受的說明 E

13、R,E 非空， x E ，我們可以找到一個(gè)整數(shù) p，使 得 p不是 E上界，而 p 1是E的上界.然后我們遍查 p.1, p.2, ,p.9和 p 1，我們可以找到 一個(gè) q0，0 q0 9，使得 p.q0不是 E上界， p.（q0 1）是E上界，如果再找第二位小數(shù) q1，,如此下去，最后得到 p.q0q1q2 ，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，即為 E的上確界 .證明： （書上對(duì)上確界的情況給出證明，下面講對(duì)下確界的證明）不妨設(shè) S中的元素都為 非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù) n ，使得1） x S，有 x n ；2）存在 x1 S ，有 x n 1；把區(qū)間 （n,n 1 10等分，分點(diǎn)為 n. 1，.2 ， ,.9, 存在 n1，使得1）S，有； x n.n1 ；2）存在 x2 S ，使得 x2 n.n1 110 再對(duì)開區(qū)間 （n.n1,n.n1 1 10等分，同理存在 n2，使得1 1 10 21）對(duì)任何 x S