桿件橫截面上的應(yīng)力

1、第一節(jié) 基本概念第二節(jié) 軸向拉壓桿的應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變胡克定律橫截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力:桿件截面上的分布內(nèi)力集度桿件截面上的分布內(nèi)力集度AFp平均應(yīng)力平均應(yīng)力AFAFpAddlim0p正應(yīng)力正應(yīng)力切應(yīng)力切應(yīng)力應(yīng)力特征應(yīng)力特征 :（1）必須明確截面及點的位置）必須明確截面及點的位置;（2）是矢量）是矢量,1)正應(yīng)力正應(yīng)力: 拉為正拉為正, 2) 切應(yīng)力切應(yīng)力順時針為正順時針為正;（3）單位）單位:Pa(帕帕)和和MPa(兆帕兆帕) 1MPa=106PaF AF 桿原長為桿原長為l,直徑為直徑為d。受一對軸向拉力。受一對軸向拉力F的作用的作用,發(fā)生變發(fā)生變形。變形后桿長為形。變形后桿長為l1

2、,直徑為直徑為d1。其中其中:拉應(yīng)變拉應(yīng)變?yōu)檎秊檎?壓應(yīng)變壓應(yīng)變?yōu)樨?fù)。為負(fù)。 lllll1軸向軸向(縱向縱向)應(yīng)變應(yīng)變： 研究一點的線應(yīng)變研究一點的線應(yīng)變:取單元體積為取單元體積為xyzxxxxxxddlim0該點沿該點沿x軸方向的線應(yīng)變?yōu)檩S方向的線應(yīng)變?yōu)? x方向原長為方向原長為x,變形變形后其長度改變量為后其長度改變量為x應(yīng)變應(yīng)變Oxyzx橫向應(yīng)變橫向應(yīng)變： ddddd1胡克定律胡克定律 實驗表明實驗表明,在比例極限內(nèi)在比例極限內(nèi),桿的軸向變形桿的軸向變形l與外力與外力F及桿長及桿長l成正比成正比,與橫截面積與橫截面積A成反成反比。即比。即:AFll 引入比例常數(shù)引入比例常數(shù)E,有有:EA

3、lFEAFllN-胡克定律胡克定律其中其中:E-彈性模量彈性模量,單位為單位為Pa; EA-桿的抗拉（壓）剛度。桿的抗拉（壓）剛度。 胡克定律的另一形式胡克定律的另一形式:E 實驗表明實驗表明,橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比為一常數(shù)橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比為一常數(shù)-稱為稱為橫橫向變形系數(shù)（泊松比）向變形系數(shù)（泊松比）|EG G-切變模量切變模量FF1122112 2 假設(shè)假設(shè): 平面假設(shè)平面假設(shè) 橫截面上各橫截面上各點處僅存在正應(yīng)點處僅存在正應(yīng)力并沿截面均勻力并沿截面均勻分布分布。AFAFN拉應(yīng)力拉應(yīng)力為為正正,壓壓應(yīng)力應(yīng)力為為負(fù)負(fù)。 對于等直桿對于等直桿 當(dāng)有多段軸力時當(dāng)有多段軸力時,最大軸力所對應(yīng)的

4、最大軸力所對應(yīng)的截面截面-危險截面危險截面。 危險截面上的正應(yīng)力危險截面上的正應(yīng)力-最大工作應(yīng)力最大工作應(yīng)力AFmax,NmaxFNFFNF拉壓桿橫截面上的應(yīng)力拉壓桿橫截面上的應(yīng)力FN:橫截面上的軸力橫截面上的軸力A:橫截面的面積橫截面的面積橫截面橫截面-是指垂直桿軸線方向的截面是指垂直桿軸線方向的截面;斜截面斜截面-是指任意方位的截面。是指任意方位的截面。FFFNFppcoscos0AFp2coscos p2sin2sin0 p全應(yīng)力全應(yīng)力:正應(yīng)力正應(yīng)力:切應(yīng)力切應(yīng)力:1） =00時時, max2）450時時, max=/2 拉壓桿斜截面上的應(yīng)力拉壓桿斜截面上的應(yīng)力 試計算圖示桿件1-1、2

5、-2、和3-3截面上正應(yīng)力.已知橫截面面積A=2103mm220KN20KN40KN40KN33221120kN40kNMPa1011 022 MPa2033 試求圖示結(jié)構(gòu)AB桿橫截面上的正應(yīng)力。已知F=30KN,A=400mm2FDBCAaaaFNAB02aFaFABNFFNAB2MPaAFNAB150 圖示直桿,其抗拉剛度為EA,試求桿件的軸向變形L,B點的位移B和C點的位移CFBCALLFEAFLLABB EAFLBC 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力,分別稱分別稱為為彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力與與彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力。MSFMFSFSM 純彎曲時梁橫截面上的正

6、應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 純彎曲:梁受力彎曲后,如其橫截面上只有彎矩而無剪力,這種彎曲稱為純彎曲。 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力aFACaFBDFFFa實驗現(xiàn)象:1 1、變形前互相平行的縱向直線、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線變形后變成弧線, ,且凹邊纖維縮短、且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。凸邊纖維伸長。2 2、變形前垂直于縱向線的橫向、變形前垂直于縱向線的橫向線線, ,變形后仍為直線變形后仍為直線, ,且仍與彎曲了且仍與彎曲了的縱向線正交的縱向線正交, ,但兩條橫向線間相但兩條橫向線間相對轉(zhuǎn)動了一個角度。對轉(zhuǎn)動了一個角度。中性軸中性軸: : 中性層與橫

7、截面的交線稱中性層與橫截面的交線稱為中性軸。為中性軸。平面假設(shè)平面假設(shè): : 變形前桿件的橫截面變形后仍變形前桿件的橫截面變形后仍為平面。為平面。mmnnFF中性層中性軸m1onn2omzzIyMMMZ Z: :橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩y y: :到中性軸的距離到中性軸的距離I IZ Z: :截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩dxmmnnozyoMM中性軸yzdA zWxMmaxM中性軸MzzWMmax橫截面上正應(yīng)橫截面上正應(yīng)力的畫法力的畫法: M min maxM min max 線彈性范圍線彈性范圍正應(yīng)力小于比例極限正應(yīng)力小于比例極限 p; 精確適用于純彎曲梁精確適用于純彎曲梁;

8、 對于橫力彎曲的細(xì)長梁對于橫力彎曲的細(xì)長梁(跨度與截面高度比跨度與截面高度比L/h5),上述公上述公式的誤差不大式的誤差不大,但公式中的但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩應(yīng)為所研究截面上的彎矩,即為截即為截面位置的函數(shù)。面位置的函數(shù)。zzEIxMxIyxM)()(1)(，公式適用范圍公式適用范圍:三種典型截面對中性軸的慣性矩三種典型截面對中性軸的慣性矩IbhZ312IdZ464IDdDZ()()444464641CL8TU6,WbhZ26,WdZ332WDZ34321 () 長為l的矩形截面懸臂梁,在自由端作用一集中力F,已知b120mm,h180mm、l2m，F(xiàn)1.6kN，試求B截面上a、b

9、、c各點的正應(yīng)力。2lF2lABCbh6h2habcFLFLMB21123bhIZZaBaIyM123213bhhFLMPa65. 10bZcBcIyM122213bhhFLMPa47. 2（壓） 圖示T形截面簡支梁在中點承受集中力F32kN,梁的長度L2m。T形截面的形心坐標(biāo)yc96.4mm,橫截面對于z軸的慣性矩Iz1.02108mm4。求彎矩最大截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。2l2lABF4maxFLMkNm164 .9650200maxymm6 .153mmy4 .96maxzy.96ZIMymaxmaxMPa09.24ZIMymaxmaxMPa12.15如

10、圖所示懸臂梁如圖所示懸臂梁,自由端承受集中載荷自由端承受集中載荷F=15kN作用。試計算截面作用。試計算截面B-B的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。 解解: 1確定截面形心位置確定截面形心位置 選參考坐標(biāo)系選參考坐標(biāo)系zoy如圖示如圖示,將截面分解為將截面分解為I和和II兩部分兩部分,形心形心C的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為: m045. 012. 002. 002. 012. 006. 002. 012. 002. 001. 002. 012. 0cy46231m1002. 301. 0045. 002. 012. 012)02. 0(12. 0zI2計算截面慣性矩計

11、算截面慣性矩2012020120單位：單位：mmIIIzzyCcyFmm400BB46232m1082. 5045. 008. 012. 002. 012)12. 0(02. 0zI4-6-66m108.84105.081002. 3zI3 計算最大彎曲正應(yīng)力計算最大彎曲正應(yīng)力 截面截面BB的彎矩為的彎矩為:mN60004 . 0 FMB 在截面在截面B的上、下邊緣的上、下邊緣,分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力,其值分其值分別為別為:MPa5 .64Pa1045. 61084. 8045. 002. 012. 06000MPa5 .30Pa1005. 31084

12、. 8045. 0600076-max,76-max,clxdydtxyzxytd)d(yxtd)d( 在相互垂直的兩個平面上,切應(yīng)力必然成對存在,且數(shù)值相等,兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。 切應(yīng)力互等定理:一、矩形截面梁的切應(yīng)力一、矩形截面梁的切應(yīng)力假設(shè)假設(shè):1、橫截面上的方向與FS平行2、沿截面寬度是均勻分布的zyFs 7-5梁橫截面上的切應(yīng)力byyz2h2hFaadA1yA1NF2NFxdx112212aayyMdMM yaa12dxb0*1*2bdxFFyNN*1*1ANdAF*1AzdAIMy*1AzdAyIM*2*2ANdAF*1AzdAIydMMb

13、dxdAyIdMyAz*1zSdxdMbISzzy*bISFzzs*bhz式中符號意義式中符號意義: :截面上距中性軸截面上距中性軸y處的剪應(yīng)力處的剪應(yīng)力 ：y以外面積對中性軸的靜矩以外面積對中性軸的靜矩*zS ：整個截面對中性軸的慣性矩：整個截面對中性軸的慣性矩zIb:y處的寬度處的寬度y對于矩形對于矩形:czyAS*cyc22)2(yhyyhb)4(222yhbbISFzzS3121bhIz而而 因此矩形截面梁橫截面上因此矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力的大小沿著梁的高度的切應(yīng)力的大小沿著梁的高度按按拋物線拋物線規(guī)律分布。規(guī)律分布。在上下邊緣處在上下邊緣處:;0,2hy32S4123hybhFb

14、hFSmax23y = 0,AFS23zbh max圖示矩形截面簡支梁受均布荷載作用,分別求最大剪力所在的截面上a,b,c三點處的切應(yīng)力。（1）作出剪力圖 （2）各點處的切應(yīng)力44331058321218012012mmbhIZMPabIQSZZa252012010583270401201025543.)(.*MPabIQSZZb365012010583245901201025543.)(.*MPabIQSZZc0120105832001201025543)(.*矩形截面簡支梁,加載于梁中點C,如圖示。求max , max 。F2l2lhb4maxFLM62bhWZZWMmaxmax2614b

15、hFL223bhFL2maxFFsAFs23maxbhF223bhF43maxmaxbhFbhFL43232hL2maxmin二、工字形截面梁的切應(yīng)力二、工字形截面梁的切應(yīng)力 橫截面上的切應(yīng)力(95-97)由腹板承擔(dān),而翼緣僅承擔(dān)了(3-5) ,且翼緣上的切應(yīng)力情況又比較復(fù)雜.為了滿足實際工程中計算和設(shè)計的需要僅分析腹板上的切應(yīng)力.dISFZzs*zdbhh0t*maxZZSI三、圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力三、圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力zydAFS34max42dADdAFS2maxA為圓環(huán)形截面面積 圖示外伸梁,荷載、T形截面對中性軸的慣性矩IZ 及形心位置已標(biāo)在圖上,試求梁的最大切

16、應(yīng)力。 解解 （1）作剪力圖,可知危險截面在BC梁段上, （2）梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在梁段任意截面的中性軸處kNQ20MPadIQSZ86. 1501020420)5 .9719550(102043max*maxT形梁尺寸及所受荷載如圖所示形梁尺寸及所受荷載如圖所示, 已知已知 y=100MPa,yc=17.5mm,Iz=18.2104mm4。求。求:1)C左側(cè)截面左側(cè)截面E點點的正應(yīng)力、切應(yīng)力的正應(yīng)力、切應(yīng)力;CABm1kN1kN/m1m1m140401010yczE1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_kN75. 1kN25. 0) 1CAFF，求支座反力：解：m

17、kN25. 0mkN5 . 0kN1kN75. 0)2,BCCSCSSMMFFMF，圖如右：、作梁的右左平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析 主應(yīng)力主應(yīng)力一、公式推導(dǎo):ax y cx b ay c n x yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx二、符號規(guī)定: 由由x x正向逆時針轉(zhuǎn)到正向逆時針轉(zhuǎn)到n n正正向者為正向者為正; ;反之為負(fù)。反之為

18、負(fù)。nx正正 應(yīng)應(yīng) 力力yx拉應(yīng)力為正拉應(yīng)力為正x壓應(yīng)力為負(fù)壓應(yīng)力為負(fù)切切 應(yīng)應(yīng) 力力 yx 使單元體或其局部順使單元體或其局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正時針方向轉(zhuǎn)動為正; ;反之為反之為負(fù)。負(fù)。 某單元體應(yīng)力如圖所示,其鉛垂方向和水平方向各平面上的應(yīng)力已知,互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成300和600角,試求此二斜面ab和bc上的應(yīng)力。MPa20MPa103MPa30abc1n xy 22cos2yx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32. 2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33. 12n23010060

19、0120cos230100120sin20MPa32.42060120sin2301000120cos20MPa33. 1006030yxMPa40在二向應(yīng)力狀態(tài)下,任意兩個垂直面上,其的和為一常數(shù)。主應(yīng)力及最大切應(yīng)力主應(yīng)力及最大切應(yīng)力 切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面 由主平面定義由主平面定義,令令 =0可求出兩個相差可求出兩個相差90o的的 0值值,對應(yīng)兩個互相垂直主平面。對應(yīng)兩個互相垂直主平面。令令0dd220tan得：得：即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向上的即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向上的極值極值。 主應(yīng)力大小主應(yīng)力大小: 223122由由 、 、0按代數(shù)值大小

20、排序得出按代數(shù)值大小排序得出: 10 0 3 0222cossin極值切應(yīng)力極值切應(yīng)力: 231max可求出兩個相差可求出兩個相差90o 的的 1,代表兩個相互垂直的極值切應(yīng)力方代表兩個相互垂直的極值切應(yīng)力方位。位。0dd102tg12tg (極值切應(yīng)力平面與主平面成極值切應(yīng)力平面與主平面成45o)221tan02sin22cos 令令: 7 應(yīng)力集中的概念Dd/2d/2rmax nom Ddrmax nom 構(gòu)件幾何形狀不連續(xù)應(yīng)力集中:幾何形狀不連續(xù)處應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象。應(yīng)力集中 與桿件的尺寸和所用的材料無關(guān),僅取決于截面突變處幾何參數(shù)的比值。drdrDdor 應(yīng)力集中程度與外形的驟變程度直接相關(guān)應(yīng)力集中程度與外形的驟變程度直接相關(guān),驟變越劇驟變越劇烈烈,應(yīng)力集中程度越劇烈。應(yīng)力集中程度越劇烈。 靜載下靜載下,塑性材料塑性材料可不考慮可不考慮,脆性材料脆性材料（除特殊的（除特殊的,如鑄如鑄鐵）應(yīng)考慮。鐵）