線性系統(tǒng)的數學模型

1、第第2章章 控制系統(tǒng)的數學描述控制系統(tǒng)的數學描述2.1控制系統(tǒng)數學模型與控制工具箱函數控制系統(tǒng)數學模型與控制工具箱函數2.1.1 傳遞函數模型傳遞函數模型2.1.2 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型2.2控制系統(tǒng)模型的轉換及連接控制系統(tǒng)模型的轉換及連接2.2.1模型轉換函數模型轉換函數2.2.2模型連接與化簡模型連接與化簡2.3 控制系統(tǒng)建模工程實例控制系統(tǒng)建模工程實例 控制系統(tǒng)的數學模型是對系統(tǒng)運動規(guī)律的定量描述，控制系統(tǒng)的數學模型是對系統(tǒng)運動規(guī)律的定量描述，是控制系統(tǒng)分析和設計的前提?？刂葡到y(tǒng)仿真是借助計算是控制系統(tǒng)分析和設計的前提?？刂葡到y(tǒng)仿真是借助計算機強大的繪圖與計算能力，應用仿真軟件，對系

2、統(tǒng)進行分機強大的繪圖與計算能力，應用仿真軟件，對系統(tǒng)進行分析與設計，并對設計結果進行模擬與驗證，因此在仿真中析與設計，并對設計結果進行模擬與驗證，因此在仿真中也應首先建立系統(tǒng)的數學模型。也應首先建立系統(tǒng)的數學模型。 控制系統(tǒng)常用的數學模型有傳遞函數模型、狀態(tài)方程控制系統(tǒng)常用的數學模型有傳遞函數模型、狀態(tài)方程模型、零極點增益模型、部分分式模型等，每種模型均有模型、零極點增益模型、部分分式模型等，每種模型均有連續(xù)連續(xù)/ /離散之分，它們各有特點；同時，這些模型之間都有離散之分，它們各有特點；同時，這些模型之間都有著內在的聯系，可以進行相互轉換。著內在的聯系，可以進行相互轉換。第第2 2章章 控制系

3、統(tǒng)的數學描述控制系統(tǒng)的數學描述通常，控制系統(tǒng)可分成多個子系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)可采用傳遞通常，控制系統(tǒng)可分成多個子系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)可采用傳遞函數、零極點增益、狀態(tài)方程三種表示形式。函數、零極點增益、狀態(tài)方程三種表示形式。MATLABMATLAB提供的模型變換函數可方便地實現這三種表示形式之提供的模型變換函數可方便地實現這三種表示形式之間的轉換，而且利用模型建立函數可實現子系統(tǒng)的串聯、并間的轉換，而且利用模型建立函數可實現子系統(tǒng)的串聯、并聯、反饋等連接方式，從而得到復雜的控制系統(tǒng)。聯、反饋等連接方式，從而得到復雜的控制系統(tǒng)。最后利用模型簡化和實現函數，可得到簡化后的期望模型。最后利用模型簡化和實現函數

4、，可得到簡化后的期望模型。因此，本章主要講述控制系統(tǒng)的傳遞函數模型、狀態(tài)方程模型因此，本章主要講述控制系統(tǒng)的傳遞函數模型、狀態(tài)方程模型、零極點增益模型、部分分式模型等數學模型的、零極點增益模型、部分分式模型等數學模型的MATLABMATLAB描述描述，以及這些模型的相互變換和模型簡化與連接。，以及這些模型的相互變換和模型簡化與連接。2.1.1 2.1.1 傳遞函數模型傳遞函數模型線性系統(tǒng)通常是以線性常微分方程來描述的，設系統(tǒng)的輸線性系統(tǒng)通常是以線性常微分方程來描述的，設系統(tǒng)的輸入信號為入信號為u u( (t t) )，輸出信號為，輸出信號為y y( (t t) )，則系統(tǒng)的微分方程可寫，則系統(tǒng)

5、的微分方程可寫成成 )()()()()()()()()(1111012221110tubdttdubdttudbdttudbtyadttdyadttydadttydadttydammmmmmnnnnnnnn 1.1.傳遞函數模型傳遞函數模型在零初始條件下，線性常微分方程經在零初始條件下，線性常微分方程經LaplaceLaplace變換后變換后，即為線性系統(tǒng)的傳遞函數模型：，即為線性系統(tǒng)的傳遞函數模型： 對線性定常系統(tǒng)，式中對線性定常系統(tǒng)，式中s s的系數均為常數，且不等于的系數均為常數，且不等于零，這時系統(tǒng)在零，這時系統(tǒng)在MATLABMATLAB中可以方便地由分子中可以方便地由分子(numer

6、ator)(numerator)和分母和分母(denominator)(denominator)系數構成的向量組系數構成的向量組唯一地確定出來。唯一地確定出來。 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsUsYsG11101110)()()(dennumasasasabsbsbsbsUsYsGnnnnmmmm11101110)()()(在在MATLABMATLAB中，傳遞函數的分子、分母分別用中，傳遞函數的分子、分母分別用numnum和和denden表示表示，表達方式為：，表達方式為：num=b0,b1,b(m-1),bmnum=b0,b1,b(m-1),bmden=a0,a1,a(n-1

7、),anden=a0,a1,a(n-1),an其中：它們都是按其中：它們都是按s s的降冪進行排列的，缺項補零。如果的降冪進行排列的，缺項補零。如果aiai，bibi都為常數，這樣的系統(tǒng)又稱為線性時不變系統(tǒng)（都為常數，這樣的系統(tǒng)又稱為線性時不變系統(tǒng)（Linear Time-invariant systems Linear Time-invariant systems ，簡稱，簡稱LTILTI）；系統(tǒng)的）；系統(tǒng)的分母多項式稱為系統(tǒng)的特征多項式。對物理可實現系統(tǒng)來分母多項式稱為系統(tǒng)的特征多項式。對物理可實現系統(tǒng)來說，一定要滿足說，一定要滿足m mn n。對于離散時間系統(tǒng)，其單輸入單輸出系統(tǒng)的對于離

8、散時間系統(tǒng)，其單輸入單輸出系統(tǒng)的LTILTI系統(tǒng)差分系統(tǒng)差分方程為：方程為： )()1()1()()()1()1()(110110krbkrbmkrbmkrbkyakyankyankyammnn表表2-1 tf( )2-1 tf( )函數的具體用法見下表函數的具體用法見下表函數用法函數用法函數功能說明函數功能說明sys = tf(num,den) 返回變量返回變量sys為連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數模型為連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數模型 sys = tf(num,den,ts)返回變量返回變量sys為離散系統(tǒng)傳遞函數模型。為離散系統(tǒng)傳遞函數模型。ts為采樣周為采樣周期，當期，當ts-1或者或者ts時，表示系統(tǒng)采樣周期

9、未定義時，表示系統(tǒng)采樣周期未定義 s = tf(s) 定義定義Laplace變換算子變換算子 (Laplace variable)，以原形，以原形式輸入傳遞函數式輸入傳遞函數 z =tf(z,ts) 定義定義z變換算子及采樣時間變換算子及采樣時間ts，以原形式輸入傳遞函，以原形式輸入傳遞函數數 get(sys) 可獲得傳遞函數模型對象可獲得傳遞函數模型對象sys的所有信息的所有信息 set(sys,Property,Value,.) 為系統(tǒng)不同屬性設定值為系統(tǒng)不同屬性設定值 num,den= tfdata (sys,v) 以行向量的形式返回傳遞函數分子分母多項式以行向量的形式返回傳遞函數分子分

10、母多項式 c = conv(a, b) 多項式多項式a,b以系數行向量表示，進行相乘。結果以系數行向量表示，進行相乘。結果c仍仍以系數行向量表示以系數行向量表示 例例2-1 2-1 將已知系統(tǒng)的傳遞函數模型將已知系統(tǒng)的傳遞函數模型 輸入到輸入到MATLABMATLAB工作空間中。工作空間中。解：方法一：在解：方法一：在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：num=1 1; %num=1 1; %分子多項式向量分子多項式向量den=1 3 2 0; %den=1 3 2 0; %分母多項式向量分母多項式向量G=tf(num,den) %G=tf(num,den) %系統(tǒng)傳遞函數

11、模型系統(tǒng)傳遞函數模型執(zhí)行后結果如下：執(zhí)行后結果如下：Transfer function:Transfer function: s + 1 s + 1-s3 + 3 s2 + 2 ss3 + 3 s2 + 2 ssssssG231)(23方法二：在方法二：在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：s=tf(s) %s=tf(s) %定義定義LaplaceLaplace算子算子符號變量符號變量G=(s+1)/( s3 + 3 G=(s+1)/( s3 + 3 * *s2 + 2s2 + 2* *s) %s) %直接給出系統(tǒng)傳直接給出系統(tǒng)傳遞函數表達式遞函數表達式執(zhí)行后結果如下：執(zhí)行

12、后結果如下：Transfer function:Transfer function: s + 1 s + 1-s3 + 3 s2 + 2 ss3 + 3 s2 + 2 s例例2-2 2-2 已知傳遞函數模型已知傳遞函數模型 ，將，將其輸入到其輸入到MATLABMATLAB工作空間中。工作空間中。解：方法一：在解：方法一：在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：num=conv(10,2 1); %num=conv(10,2 1); %分子向量多項分子向量多項式式den=conv(1 0 0,1 7 13); den=conv(1 0 0,1 7 13); % %分母向量分母向

13、量多項式多項式G=tf(num,den) G=tf(num,den) % %系統(tǒng)傳遞函數模系統(tǒng)傳遞函數模型型執(zhí)行后結果如下：執(zhí)行后結果如下：Transfer function:Transfer function: 20 s + 10 20 s + 10-s4 + 7 s3 + 13 s2s4 + 7 s3 + 13 s2)137() 12(10)(22sssssG方法二：在方法二：在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：s=tf(s); %s=tf(s); %定義定義LaplaceLaplace算子符號變量算子符號變量G=10G=10* *(2(2* *s+1)/(s2s+1

14、)/(s2* * (s2+7 (s2+7* *s+13) %s+13) %直接給出直接給出系統(tǒng)傳遞函數表達式系統(tǒng)傳遞函數表達式執(zhí)行后結果如下：執(zhí)行后結果如下：Transfer function:Transfer function: 20 s + 10 20 s + 10-s4 + 7 s3 + 13 s2s4 + 7 s3 + 13 s2例例2-32-3的的RLCRLC無源網絡無源網絡例例2-3 RLC2-3 RLC電路如圖電路如圖2-12-1所示，試建立以電容上電壓所示，試建立以電容上電壓UcUc( (t t) )為輸出變量為輸出變量，輸入電壓，輸入電壓UrUr( (t t) )為輸入變量的

15、運動方程；如果為輸入變量的運動方程；如果R=1.6R=1.6，L=1.0HL=1.0H，C=0.40FC=0.40F時，建立其傳遞函數模型。時，建立其傳遞函數模型。解：解：第一步：建立系統(tǒng)的微分方程。第一步：建立系統(tǒng)的微分方程。設回路電流為設回路電流為i i( (t t) )，根據基爾霍夫電壓定律、電流定律得到系統(tǒng)的回路，根據基爾霍夫電壓定律、電流定律得到系統(tǒng)的回路方程為：方程為： （2-62-6） （2-72-7）將（將（2-72-7）代入（）代入（2-62-6），消去中間變量），消去中間變量i i( (t t) )，得到描述，得到描述RLCRLC網絡輸入輸網絡輸入輸出關系的微分方程為：出關

16、系的微分方程為： （2-82-8）)()()()(tudttdiLtRitucrdttductic)()()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc第二步：根據微分方程寫出傳遞函數。第二步：根據微分方程寫出傳遞函數。在零初始條件下，對上述方程中各項求拉氏變換，并令在零初始條件下，對上述方程中各項求拉氏變換，并令 ， ， 可得可得s s的代數方程為：的代數方程為： （2-92-9）由傳遞函數定義，得系統(tǒng)傳遞函數為：由傳遞函數定義，得系統(tǒng)傳遞函數為： （2-102-10）將將R=1.6R=1.6，L=1.0HL=1.0H，C=0.40FC=0.40F代入（代入（2-102-1

17、0）得：）得： （2-112-11）第三步：將系統(tǒng)模型輸入到第三步：將系統(tǒng)模型輸入到MATLABMATLAB工作空間中。工作空間中。程序如下：程序如下：clearclearclcclcs=tf(s) ; %s=tf(s) ; %定義定義LaplaceLaplace算子符號變量算子符號變量G=25/(10G=25/(10* * s2 + 16 s2 + 16 * *s + 25) %s + 25) %直接給出系統(tǒng)傳遞函數表達式直接給出系統(tǒng)傳遞函數表達式程序運行結果為：程序運行結果為：Transfer function:Transfer function: 25 25-10 s2 + 16 s +

18、 2510 s2 + 16 s + 25)()(tuLsUcC)()(tuLsUrr)()() 1(2sUsURCsLCsrc11)()()(2RCsLCssUsUsGrC251610251)4 . 06 . 1 ()4 . 00 . 1 (1)(22sssssG例例2-4 2-4 某一以微分方程描述系統(tǒng)的傳遞函數，其微分方程描述如下：某一以微分方程描述系統(tǒng)的傳遞函數，其微分方程描述如下：試使用試使用MATLABMATLAB建立其模型。建立其模型。解：首先求取系統(tǒng)傳遞函數。在零初始條件下，對微分方程兩邊取解：首先求取系統(tǒng)傳遞函數。在零初始條件下，對微分方程兩邊取LaplaceLaplace變換

19、，可得系統(tǒng)傳遞函數：變換，可得系統(tǒng)傳遞函數：然后建立系統(tǒng)模型，然后建立系統(tǒng)模型，MATLABMATLAB程序如下：程序如下：num=1 0 6; %num=1 0 6; %分子多項式系數行向量分子多項式系數行向量den=1 6 11 6; %den=1 6 11 6; %分母多項式系數行向量分母多項式系數行向量G=tf(num,den) %G=tf(num,den) %建立傳遞函數模型建立傳遞函數模型程序運行結果如下：程序運行結果如下：Transfer function:Transfer function: s2 + 6 s2 + 6-s3 + 6 s2 + 11 s + 6s3 + 6 s2

20、 + 11 s + 6)(6)()(6)(11)(6)(222233tudttdutydttdydttdydttdy61166)()()(232sssssUsYsG例例2-5 2-5 已知傳遞函數的分子為已知傳遞函數的分子為(s+1)(s+1)，分母項為，分母項為(s3+4s2+2s+6)(s3+4s2+2s+6)，時，時滯是滯是2 2，試建立系統(tǒng)的傳遞函數模型。，試建立系統(tǒng)的傳遞函數模型。解：方法一，由于系統(tǒng)有時滯項，除了設置分子項解：方法一，由于系統(tǒng)有時滯項，除了設置分子項numnum和分母項和分母項denden外外，還要在，還要在tf( )tf( )函數中設置輸入傳輸延時函數中設置輸入傳

21、輸延時iodelayiodelay的屬性，其值賦的屬性，其值賦給變量給變量dtdt，具體的，具體的MATLABMATLAB程序如下：程序如下：num=1 1;num=1 1;den=1 4 2 6;den=1 4 2 6;dt=2;dt=2; G=tf(num,den,iodelay,dt) G=tf(num,den,iodelay,dt)程序運行結果為：程序運行結果為： Transfer function:Transfer function: s + 1 s + 1exp(-2exp(-2* *s) s) * * - - s3 + 4 s2 + 2 s + 6 s3 + 4 s2 + 2 s

22、 + 6方法二，也可以采用方法二，也可以采用LaplaceLaplace算子的符號變量直接建立傳算子的符號變量直接建立傳遞函數模型，程序為：遞函數模型，程序為：s=tf(s);s=tf(s);G=(s+1)/(s3+4G=(s+1)/(s3+4* *s2+2s2+2* *s+6);s+6);set(G,iodelay,2);Gset(G,iodelay,2);G程序運行后結果與方法一相同。程序運行后結果與方法一相同。2. 2. 零極點增益模型零極點增益模型零極點增益模型實際上是傳遞函數模型的另一種表現形式零極點增益模型實際上是傳遞函數模型的另一種表現形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數的分子、分

23、母進行因式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數的分子、分母進行因式分解處理，獲得系統(tǒng)的零點和極點的表示形式。分解處理，獲得系統(tǒng)的零點和極點的表示形式。 （2-122-12）其中：其中：K K為系統(tǒng)增益，為系統(tǒng)增益，zizi（i=1,2i=1,2，m m）為零點，）為零點，pjpj（j=1,2j=1,2，n n）為極點。顯然，對系數為實數的傳遞函數）為極點。顯然，對系數為實數的傳遞函數模型來說，系統(tǒng)的零極點或者為實數，或者以共軛復數的模型來說，系統(tǒng)的零極點或者為實數，或者以共軛復數的形式出現。形式出現。).()().()()(2121nmpspspszszszsKsG離散系統(tǒng)的傳遞函數也可表示為零極點

24、增益模式：離散系統(tǒng)的傳遞函數也可表示為零極點增益模式： （2-132-13） 在在MATLABMATLAB中零極點增益模型用中零極點增益模型用 z z, ,p p, ,k k 矢量組表示。即：矢量組表示。即：z=z1,z2,zmz=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnp=p1,p2,.,pnk=Kk=K調用調用zpk( )zpk( )函數就可以輸入這個零極點增益模型，還可以函數就可以輸入這個零極點增益模型，還可以將傳遞函數模型或者狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型將傳遞函數模型或者狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型，具體用法如表，具體用法如表2-22-2所示。所示。).()().()()(21

25、21nmpzpzpzzzzzzzKzG表表2-2 zpk函數的具體用法函數的具體用法函數用法函數用法函數功能函數功能說明說明sys = zpk(z,p,k) 得到連續(xù)系統(tǒng)的零極點增益模型得到連續(xù)系統(tǒng)的零極點增益模型 sys = zpk(z,p,k,Ts) 得到連續(xù)系統(tǒng)的零極點增益模型，采樣時得到連續(xù)系統(tǒng)的零極點增益模型，采樣時間為間為Ts s = zpk(s) 得到得到Laplace算子，按原格式輸入系統(tǒng)，得算子，按原格式輸入系統(tǒng)，得到系統(tǒng)到系統(tǒng)zpk模型模型 z = zpk(z,Ts) 得到得到Z變換算子和采樣時間變換算子和采樣時間Ts，按原格式，按原格式輸入系統(tǒng)，得到系統(tǒng)輸入系統(tǒng)，得到系統(tǒng)

26、zpk模型模型 z,p,k=zpkdata(sys,v) 得到系統(tǒng)的零極點和增益，參數得到系統(tǒng)的零極點和增益，參數v表示以表示以向量形式表示向量形式表示 p,z = pzmap(sys) 返回系統(tǒng)零極點返回系統(tǒng)零極點 pzmap(sys) 得到系統(tǒng)零極點分布圖得到系統(tǒng)零極點分布圖 例例2-6 2-6 雙雙T T網絡如圖網絡如圖2-22-2所示，試求以所示，試求以UcUc為輸出，為輸出，UrUr為輸入的傳遞函數為輸入的傳遞函數和零極點增益模型。其中和零極點增益模型。其中R1=40R1=40，R2=80R2=80，C1=100FC1=100F，C2=50FC2=50F。圖。圖2-2 2-2 例例2

27、-62-6雙雙T T網絡網絡解：解：首先，根據基爾霍夫電壓定律、電流定律建立各元件的微分方程。方首先，根據基爾霍夫電壓定律、電流定律建立各元件的微分方程。方程如下：程如下： （2-142-14）dttiCtuRtututidttitiCtuRtututiccr)(1)()()()()()(1)()()()(222122111111再求取系統(tǒng)傳遞函數。將（再求取系統(tǒng)傳遞函數。將（2-142-14）中各元件的微分方程進行拉氏變換，）中各元件的微分方程進行拉氏變換，并改寫成以下形式：并改寫成以下形式： （2-152-15）消去中間變量消去中間變量I1I1( (s s) )和和I2I2( (s s)

28、)，得到系統(tǒng)的傳遞函數為：，得到系統(tǒng)的傳遞函數為： （2-162-16）)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuccr1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGcr將將R1=40R1=40，R2=80R2=80，C1=100FC1=100F，C2=50FC2=50F代入上式，可代入上式，可得系統(tǒng)的傳遞函數為：得系統(tǒng)的傳遞函數為：最后，編寫最后，編寫MATLABMATLAB程序。程序如下：程序。程序如下：num=1;num=1;den=16 10 1;den=16 10

29、 1;G=tf(num,den)G=tf(num,den)G1=zpk(G)G1=zpk(G)運行后，獲得系統(tǒng)的傳遞函數和零極點增益模型，結果為：運行后，獲得系統(tǒng)的傳遞函數和零極點增益模型，結果為：Transfer function:Transfer function: 1 1-16 s2 + 10 s + 116 s2 + 10 s + 1Zero/pole/gain:Zero/pole/gain: 0.0625 0.0625-(s+0.5) (s+0.125)(s+0.5) (s+0.125)110161)()()(2sssUsUsGcr例例2-7 2-7 已知系統(tǒng)的傳遞函數為，已知系統(tǒng)的

30、傳遞函數為， 將零極將零極點增益模型輸入點增益模型輸入MATLABMATLAB工作空間。工作空間。解：在解：在MATLABMATLAB的命令窗口輸入：的命令窗口輸入：z1=-5;-5; %z1=-5;-5; %零點向量零點向量p1=-1;-2;-2-2p1=-1;-2;-2-2* *j;-2+2j;-2+2* *j; %j; %極點向量極點向量k=4; %k=4; %增益向量增益向量G1=zpk(z1,p1,k) %G1=zpk(z1,p1,k) %得到系統(tǒng)零極點增益模型得到系統(tǒng)零極點增益模型則執(zhí)行后得到如下結果：則執(zhí)行后得到如下結果：Zero/pole/gain:Zero/pole/gain

31、: 4 (s+5)2 4 (s+5)2-(s+1) (s+2) (s2+ 4s + 8)(s+1) (s+2) (s2+ 4s + 8)24124827)(232ssssssG例例2-8 2-8 已知系統(tǒng)的傳遞函數為已知系統(tǒng)的傳遞函數為: : 求系統(tǒng)的零極點向量求系統(tǒng)的零極點向量和增益值，并繪制系統(tǒng)零極點分布圖。和增益值，并繪制系統(tǒng)零極點分布圖。解：在解：在MATLABMATLAB的命令窗口輸入：的命令窗口輸入：s=zpk(s); %s=zpk(s); %定義算子定義算子G=4G=4* *(s+5)/(s+1)/(s+2)/(s+6) %(s+5)/(s+1)/(s+2)/(s+6) %直接得

32、到系統(tǒng)模型直接得到系統(tǒng)模型z,p,k=zpkdata(G,v) %z,p,k=zpkdata(G,v) %得到系統(tǒng)零極點向量和增益得到系統(tǒng)零極點向量和增益值值pzmap(G) %pzmap(G) %繪制系統(tǒng)零極點分布圖繪制系統(tǒng)零極點分布圖則執(zhí)行后得到的系統(tǒng)傳遞函數及零極點向量和增益值：則執(zhí)行后得到的系統(tǒng)傳遞函數及零極點向量和增益值：Zero/pole/gain:Zero/pole/gain: 4 (s+5) 4 (s+5)-(s+1) (s+2) (s+6)(s+1) (s+2) (s+6)z = -5z = -5p = -1p = -1 -2 -2 -6 -6k = 4k = 4同時可得到系

33、統(tǒng)的零極點分布圖，如圖同時可得到系統(tǒng)的零極點分布圖，如圖2-32-3所示。所示。圖圖2-3 2-3 例例2-82-8系統(tǒng)零極點分布圖系統(tǒng)零極點分布圖)6)(2)(1()5(4)(sssssG例例2-9 2-9 已知系統(tǒng)的傳遞函數為已知系統(tǒng)的傳遞函數為 ，求取系統(tǒng)的部，求取系統(tǒng)的部分分式模型。分分式模型。解：在解：在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：num=2,0,9,1;num=2,0,9,1;den=1,1,4,4; den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den)r,p,k=residue(num,den)44192)(233ssssssG2.1

34、.2 2.1.2 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 系統(tǒng)中存在著若干個動態(tài)信息，稱為狀態(tài)，在表征系統(tǒng)系統(tǒng)中存在著若干個動態(tài)信息，稱為狀態(tài)，在表征系統(tǒng)動態(tài)信息的所有變量中，能夠完全描述系統(tǒng)運行的最少數目動態(tài)信息的所有變量中，能夠完全描述系統(tǒng)運行的最少數目的一組獨立變量（不惟一）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，以的一組獨立變量（不惟一）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，以n n維狀態(tài)維狀態(tài)變量為基所構成的空間稱為變量為基所構成的空間稱為n n維狀態(tài)空間，由狀態(tài)向量所表征維狀態(tài)空間，由狀態(tài)向量所表征的模型便是狀態(tài)空間模型。的模型便是狀態(tài)空間模型。 任何系統(tǒng)都可以用狀態(tài)空間表達式來進行數學描述任何系統(tǒng)都可以用狀態(tài)空間表達式來進行數學描

35、述具有具有n n個狀態(tài)、個狀態(tài)、m m個輸入和個輸入和p p個輸出的線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)個輸出的線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)空間模型即狀態(tài)空間表達式為：空間模型即狀態(tài)空間表達式為： （2-182-18）其中：對于一個時不變系統(tǒng)，其中：對于一個時不變系統(tǒng)，A A，B B，C C，D D都是常數矩陣。都是常數矩陣。狀態(tài)向量狀態(tài)向量x(t)x(t)是是n n維，輸入向量維，輸入向量u(t)u(t)是是m m維，輸出向量維，輸出向量y(t)y(t)是是p p維；狀態(tài)矩陣維；狀態(tài)矩陣A A（又稱系統(tǒng)矩陣）是（又稱系統(tǒng)矩陣）是n nn n方陣，輸入矩陣方陣，輸入矩陣B B（又稱控制矩陣）是（又稱控制矩陣）是n n

36、m m矩陣，輸出矩陣矩陣，輸出矩陣C C是是p pn n矩陣，直矩陣，直接傳輸矩陣接傳輸矩陣D D是是p pm m矩陣。矩陣。離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： （2-192-19）式中式中u u，x x，y y分別為控制輸入向量、狀態(tài)向量、輸出向量，分別為控制輸入向量、狀態(tài)向量、輸出向量，k k表示采樣點，表示采樣點，A A為狀態(tài)矩陣，由控制對象的參數決定：為狀態(tài)矩陣，由控制對象的參數決定：B B為控為控制矩陣，制矩陣，C C為輸出矩陣，為輸出矩陣，D D為直接傳輸矩陣。為直接傳輸矩陣。DuCxyBuAxx)()()()()() 1(kDukCxkykBukAxkx 在在M

37、ATLABMATLAB中，用函數中，用函數ssss( )( )來建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模來建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，連續(xù)和離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型建立有所區(qū)別，具體用型，連續(xù)和離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型建立有所區(qū)別，具體用法如表法如表2-32-3所示。另外，要得到狀態(tài)空間模型，還可以從傳遞所示。另外，要得到狀態(tài)空間模型，還可以從傳遞函數模型或者零極點模型轉換過來。函數模型或者零極點模型轉換過來。函數用法函數用法函數功能說明函數功能說明sys = ss(A,B,C,D) 由由A，B，C，D矩陣直接得到連續(xù)矩陣直接得到連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 sys = ss(A,B,C,D,Ts) 由由

38、A，B，C，D矩陣和采樣時間矩陣和采樣時間Ts直接得到離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型直接得到離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 A,B,C,D = ssdata(sys) 得到連續(xù)系統(tǒng)參數得到連續(xù)系統(tǒng)參數 A,B,C,D,Ts = ssdata(sys) 得到離散系統(tǒng)參數得到離散系統(tǒng)參數 例例2-10 RLC2-10 RLC無源網絡如圖無源網絡如圖2-12-1所示，所示，ucuc( (t t) )為輸入，為輸入，uouo( (t t) )為輸出，若選擇為輸出，若選擇i i( (t t) )， ucuc( (t t) )為狀態(tài)變量，試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并用為狀態(tài)變量，試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并用MATLABMA

39、TLAB實現。實現。解：第一步：求取系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。由圖解：第一步：求取系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。由圖2-12-1可列系統(tǒng)微分方程，可列系統(tǒng)微分方程， （2-202-20） （2-212-21） （2-222-22）寫成矩陣形式：寫成矩陣形式： (2-23(2-23）若選擇，若選擇， ，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： （2-242-24）)(1)(1)()(tuLtuLtiLRdttdicLL)(1)(tiCdttduLc)()(tutucc )()(10)()(01)()(011)()(tutitutuLtutiCLLRdttdudttdicLccLcL)(tuyc)()(t

40、utixcL， cxybuAxx其中：其中：將將R=1.6R=1.6，L=1.0HL=1.0H，C=0.40FC=0.40F代入得：代入得：則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：10,01,011cLbCLLRA05.211604.010.110.16.1011CLLRA0100.1101Lb10cxcxyuxbuAxx 100105 . 2116第二步：第二步：MATLABMATLAB實現。在實現。在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：A=-16 -1;25 0; %A=-16 -1;25 0; %給狀態(tài)矩陣給狀態(tài)矩陣A A賦值賦值B=1;0; %B=1;0;

41、%給輸入矩陣給輸入矩陣B B賦值賦值C=0 1; %C=0 1; %給輸出矩陣給輸出矩陣C C賦值賦值D=0; %D=0; %給前饋矩陣給前饋矩陣D D賦值賦值G=ss(A,B,C,D) %G=ss(A,B,C,D) %輸入并顯示系統(tǒng)狀態(tài)空間模型輸入并顯示系統(tǒng)狀態(tài)空間模型執(zhí)行后得到如下結果：執(zhí)行后得到如下結果：a = a = x1 x2 x1 x2 x1 -16 -1 x1 -16 -1 x2 25 0 x2 25 0 b = b = u1 u1 x1 1 x1 1 x2 0 x2 0c = c = x1 x2 x1 x2 y1 0 1 y1 0 1d = d = u1 u1 y1 0 y1

42、0Continuous-time model.Continuous-time model.例例2-11 將如下系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型輸入到將如下系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型輸入到MATLAB工作空間中。工作空間中。 解：在解：在MATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：A=6 5 4;1 0 0;0 1 0; B=1;0;0; C=0 6 7; D=0; G=ss(A,B,C,D) %輸入并顯示系統(tǒng)狀態(tài)空間模型輸入并顯示系統(tǒng)狀態(tài)空間模型)(001)(010001456)(tutxtx)(760)(txty 則執(zhí)行后得到如下結果：則執(zhí)行后得到如下結果：a = x1 x2 x3 x1 6 5 4 x2 1 0

43、 0 x3 0 1 0b = u1 x1 1 x2 0 x3 0c = x1 x2 x3 y1 0 6 7d = u1 y1 0Continuous-time model.例例2-12 2-12 將如下一個兩輸入兩輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型輸入到將如下一個兩輸入兩輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型輸入到MATLABMATLAB工作空間中，并求其系統(tǒng)參數。工作空間中，并求其系統(tǒng)參數。 解：首先，在解：首先，在MATLABMATLAB命令窗口中輸入以下程序，將狀態(tài)空間模型輸入命令窗口中輸入以下程序，將狀態(tài)空間模型輸入到到MATLABMATLAB工作空間：工作空間：A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7

44、 9 11; 5 12 13 14;A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0;C=0 0 2 1; 8 0 2 2; B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0;C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2); %DD=zeros(2,2); %D為一個為一個2 22 2的零方陣的零方陣Gss=ss(A,B,C,D) %Gss=ss(A,B,C,D) %得到系統(tǒng)狀態(tài)空間模型得到系統(tǒng)狀態(tài)空間模型uxx012242641413125119748612310961xy22081200 程序執(zhí)行后結果

45、如下：程序執(zhí)行后結果如下：a = a = x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 1 6 9 10 x1 1 6 9 10 x2 3 12 6 8 x2 3 12 6 8 x3 4 7 9 11 x3 4 7 9 11 x4 5 12 13 14 x4 5 12 13 14 b = b = u1 u2 u1 u2 x1 4 6 x1 4 6 x2 2 4 x2 2 4 x3 2 2 x3 2 2 x4 1 0 x4 1 0 c = c = x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 y1 0 0 2 1 y1 0 0 2 1 y2 8 0 2 2 y2 8 0 2 2d =

46、d = u1 u2 u1 u2 y1 0 0 y1 0 0 y2 0 0 y2 0 0 Continuous-time model. Continuous-time model.然后在然后在MATLABMATLAB命令窗口輸入以下語句，可獲取系統(tǒng)模型參數：命令窗口輸入以下語句，可獲取系統(tǒng)模型參數：A,B,C,D=ssdata(Gss) A,B,C,D=ssdata(Gss) 執(zhí)行后結果如下：執(zhí)行后結果如下：A =A = 1 6 9 10 1 6 9 10 3 12 6 8 3 12 6 8 4 7 9 11 4 7 9 11 5 12 13 14 5 12 13 14B =B = 4 6 4

47、6 2 4 2 4 2 2 2 2 1 0 1 0C =C = 0 0 2 1 0 0 2 1 8 0 2 2 8 0 2 2D =D = 0 0 0 0 0 0 0 0在在MATLAB命令窗口中輸入以下語句還可獲得所有參數的屬性值：命令窗口中輸入以下語句還可獲得所有參數的屬性值：get(Gss) 執(zhí)行后結果如下：執(zhí)行后結果如下： a: 4x4 double b: 4x2 double c: 2x4 double d: 2x2 double e: StateName: 4x1 cell InternalDelay: 0 x1 double Ts: 0 InputDelay: 2x1 doubl

48、e OutputDelay: 2x1 double InputName: 2x1 cell OutputName: 2x1 cell InputGroup: 1x1 struct OutputGroup: 1x1 struct Name: Notes: UserData: 2.22.2控制系統(tǒng)模型的轉換及連接控制系統(tǒng)模型的轉換及連接2.2.1 2.2.1 模型轉換函數模型轉換函數在實際工程中，要解決自動控制問題所需用的數學模型與該問題所給在實際工程中，要解決自動控制問題所需用的數學模型與該問題所給定的已知數學模型往往不一致，或者要解決問題最簡單而又最方便的定的已知數學模型往往不一致，或者要解決

49、問題最簡單而又最方便的方法所用到的數學模型與該問題所給定的已知數學模型不同，此時，方法所用到的數學模型與該問題所給定的已知數學模型不同，此時，就要對控制系統(tǒng)的數學模型進行轉換。就要對控制系統(tǒng)的數學模型進行轉換。 同一個控制系統(tǒng)都可用傳遞函數模型、零極點模型和狀態(tài)空間模型中同一個控制系統(tǒng)都可用傳遞函數模型、零極點模型和狀態(tài)空間模型中的一種表示，這三種模型之間也可以進行相互轉換，的一種表示，這三種模型之間也可以進行相互轉換，MATLABMATLAB的信號處的信號處理和控制系統(tǒng)工具箱中，提供了模型轉換的函數：理和控制系統(tǒng)工具箱中，提供了模型轉換的函數：ss2tfss2tf、ss2zpss2zp、tf

50、2sstf2ss、tf2zptf2zp、zp2sszp2ss、zp2tfzp2tf，它們的關系可用圖，它們的關系可用圖2-42-4所示的結構來所示的結構來表示，模型轉換函數的具體功能見表表示，模型轉換函數的具體功能見表2-42-4所示。所示。表表2-4 2-4 數學模型轉換函數及其功能數學模型轉換函數及其功能函數名函數名函數功能說明函數功能說明ss2tf將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉換為傳遞函數模型將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉換為傳遞函數模型ss2zp將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型tf2ss將系統(tǒng)傳遞函數模型轉換為狀態(tài)空間模型將系統(tǒng)傳遞函數模型轉換為狀態(tài)空間模型tf

51、2zp將系統(tǒng)傳遞函數模型轉換為零極點增益模型將系統(tǒng)傳遞函數模型轉換為零極點增益模型zp2ss將系統(tǒng)零極點增益模型轉換為狀態(tài)空間模型將系統(tǒng)零極點增益模型轉換為狀態(tài)空間模型zp2tf將零極點增益模型轉換為傳遞函數模型將零極點增益模型轉換為傳遞函數模型residue傳遞函數模型與部分分式模型互換傳遞函數模型與部分分式模型互換例例2-13 2-13 已知系統(tǒng)傳遞函數為已知系統(tǒng)傳遞函數為 ，試求其零，試求其零極點增益模型及狀態(tài)空間模型。極點增益模型及狀態(tài)空間模型。 解：在解：在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：num=9;den=conv(1 3,1 4 4);num=9;den=

52、conv(1 3,1 4 4);Gtf=tf(num,den);Gtf=tf(num,den);Gzpk=zpk(Gtf)Gzpk=zpk(Gtf)Gss=ss(Gtf)Gss=ss(Gtf)3)(44(9)(2ssssG執(zhí)行后結果如下：執(zhí)行后結果如下：Transfer function:Transfer function: 9 9-s3 + 7 s2 + 16 s + 12s3 + 7 s2 + 16 s + 12Zero/pole/gain:Zero/pole/gain: 9 9-(s+3) (s+2)2(s+3) (s+2)2a = a = x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 -7

53、 -4 -1.5 x1 -7 -4 -1.5 x2 4 0 0 x2 4 0 0 x3 0 2 0 x3 0 2 0b = b = u1 u1 x1 1 x1 1 x2 0 x2 0 x3 0 x3 0c = c = x1 x2 x3 x1 x2 x3 y1 0 0 1.125 y1 0 0 1.125d = d = u1 u1 y1 0 y1 0Continuous-time model.Continuous-time model.例例2-14 2-14 已知某系統(tǒng)的零極點增益模型為：已知某系統(tǒng)的零極點增益模型為： ，求其傳遞函數模型及狀態(tài)空間模型。求其傳遞函數模型及狀態(tài)空間模型。 解：在解

54、：在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：z=-1;-2; %z=-1;-2; %零點向量零點向量p=-3 -5; %p=-3 -5; %極點向量極點向量k=3; %k=3; %增益增益Gzpk=zpk(z,p,k) %Gzpk=zpk(z,p,k) %零極點模型零極點模型a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) % %將零極點模型轉換為狀態(tài)空將零極點模型轉換為狀態(tài)空間模型間模型num,den=zp2tf(z,p,k) %num,den=zp2tf(z,p,k) %由零極點模型得到傳遞函由零極點模型得到傳遞函數的分子和分母向量數的分子

55、和分母向量)5)(3()2)(1(3)(sssssG例例2-15 2-15 將雙輸入單輸出的系統(tǒng)模型轉換為多項式傳遞函數將雙輸入單輸出的系統(tǒng)模型轉換為多項式傳遞函數模型。模型。解：在解：在MATLABMATLAB命令窗口中輸入：命令窗口中輸入：a=0 1;-3 -2;b=1 0;0 1;c=1 0;d=0 0;a=0 1;-3 -2;b=1 0;0 1;c=1 0;d=0 0;num,den=ss2tf(a,b,c,d,1)num,den=ss2tf(a,b,c,d,1)num2,den2=ss2tf(a,b,c,d,2)num2,den2=ss2tf(a,b,c,d,2)Gss=ss(a,b

56、,c,d);Gss=ss(a,b,c,d);Gtf=tf(Gss)Gtf=tf(Gss)(00)(01)(1001)(2310)(tutxytutxtx運行后結果如下：運行后結果如下：a = a = x1 x2 x1 x2 x1 -0.562 0.05114 x1 -0.562 0.05114 x2 -0.254 0 x2 -0.254 0 b = b = u1 u2 u1 u2 x1 0.03247 1.145 x1 0.03247 1.145 x2 0.1125 0 x2 0.1125 0 c = c = x1 x2 x1 x2 y1 1 1 y1 1 1 d = d = u1 u2 u1

57、 u2 y1 0 0 y1 0 0 Continuous-time model. Continuous-time model.Transfer function from input 1 to output: % Transfer function from input 1 to output: % 系統(tǒng)從系統(tǒng)從u1u1到到y(tǒng) y的傳遞函數模型的傳遞函數模型 0.145 s + 0.060760.145 s + 0.06076-s2 + 0.562 s + 0.01299s2 + 0.562 s + 0.01299Transfer function from input 2 to output

58、: % Transfer function from input 2 to output: % 系統(tǒng)從系統(tǒng)從u2u2到到y(tǒng) y的傳遞的傳遞函數模型函數模型 1.145 s - 0.29081.145 s - 0.2908-s2 + 0.562 s + 0.01299s2 + 0.562 s + 0.01299Zero/pole/gain from input 1 to output: % Zero/pole/gain from input 1 to output: % 系統(tǒng)從系統(tǒng)從u1u1到到y(tǒng) y的零極點的零極點增益模型增益模型 0.14501 (s+0.419)0.14501 (s+0.4

59、19)-(s+0.5378) (s+0.02415)(s+0.5378) (s+0.02415)Zero/pole/gain from input 2 to output: % Zero/pole/gain from input 2 to output: % 系統(tǒng)從系統(tǒng)從u2u2到到y(tǒng) y的零極點的零極點增益模型增益模型 1.145 (s-0.254)1.145 (s-0.254)-(s+0.5378) (s+0.02415)(s+0.5378) (s+0.02415) 在實際應用中，整個控制系統(tǒng)是由多個環(huán)節(jié)按一定的結構在實際應用中，整個控制系統(tǒng)是由多個環(huán)節(jié)按一定的結構組合而成的，每一個環(huán)節(jié)都

60、可建立自己獨立的數學模型，因此組合而成的，每一個環(huán)節(jié)都可建立自己獨立的數學模型，因此控制系統(tǒng)的數學模型可由組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)模型進行相應的數學控制系統(tǒng)的數學模型可由組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)模型進行相應的數學運算而獲得，當構成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)不同或環(huán)節(jié)的連接方式不同，運算而獲得，當構成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)不同或環(huán)節(jié)的連接方式不同，都將影響到系統(tǒng)的數學模型。都將影響到系統(tǒng)的數學模型。 模型間的基本連接方式主要有串聯連接、并聯連接和反饋模型間的基本連接方式主要有串聯連接、并聯連接和反饋連接三種。對系統(tǒng)的復雜連接情況，可以進行模型的化簡。在連接三種。對系統(tǒng)的復雜連接情況，可以進行模型的化簡。在MATLABMATLAB中，提供了三個