二次項(xiàng)定理典型例題教師版.docx

1、典型例題1n例 1在二項(xiàng)式x的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項(xiàng)24x分析： 本題是典型的特定項(xiàng)問題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過抓通項(xiàng)公式解決解： 二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：1rCnr 1 x2 n 3 rTr 1Cnr (x )n r4前三項(xiàng)的 r0,1,2.24x2r得系數(shù)為： t11, t2C1n11 n, t3C n211 n(n1) ，2248由已知： 2t2t1t 3n11 n(n1) ， n88r1163r通項(xiàng)公式為 Tr4r 0,1,28,Tr 1 為有理項(xiàng)，故 16 3r是 4 的倍數(shù)， r 0,4,8.1C82r x依次得到有理項(xiàng)為T1x4

2、, T5C84 14 x35 x,T9 C88 18x 21x2 282256說明： 本題通過抓特定項(xiàng)滿足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了r的取值，得到了有理項(xiàng)類似地，( 23 3)100的展開式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過抓通項(xiàng)中r 的取值，得到共有17 項(xiàng)110例 2求x的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)以及系數(shù)最大的項(xiàng)23x分析： 本題仍然屬于抓通項(xiàng)公式解決特定項(xiàng)的問題，但是系數(shù)的絕對(duì)值的最大值或系數(shù)的最大值，需要對(duì)所有項(xiàng)的系數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行研究由于系數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)，我們可以用作商來研究系數(shù)絕對(duì)值的變化情況，另外各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)交替，又便于用系數(shù)絕對(duì)值的大小變化抓系數(shù)的最大值305 rC10r2

3、r解： 展開式的通項(xiàng)公式為：Tr 1C10r (1) r2 r x6系數(shù)的絕對(duì)值為，記為 tr 1 用前后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值作商得：tr2C10r 12 ( r 1)C10r110!r! (10 r )!10r.trC10r2 r2C10r(r 1)! (9r )!2 10!2( r1)1令 10r1得： r8即 r0 、 1、2 時(shí)，上述不等式成立2(r1)3所以，系數(shù)的絕對(duì)值從第1 項(xiàng)到第4 項(xiàng)增加，以后逐項(xiàng)減小55系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，T4C104 ( 1)3 2 3 x215x 2 從系數(shù)絕對(duì)值的變化情況及系數(shù)的正負(fù)交替，只要比較第3 項(xiàng)與第5 項(xiàng)的系數(shù)，t3C1022 245,t

4、 5C1042 4210105.所以，系數(shù)最大的項(xiàng)為第5 項(xiàng)， t 5105 x 3541688例 3已知 (12x)7a0a1x a2 x 2a7 x7 ，求：（ 1） a1a2 a3a7 ；（ 2） a1a3a5a7 ；（ 3） a0 a2a4a6 分析： 本題是有關(guān)展開式系數(shù)和的問題，通過對(duì)等式中字母的賦值，往往會(huì)得到此類問題的結(jié)果字母經(jīng)常取的值有 0、 1、 1 等解：（ 1）取 x0 可得 a01，取 x1 得 a0a1a7( 1)71a1a2a3a72 .（ 2）取 x1 得 a0a a a3a a737 ，126記 A a0a2a4a6 , B a1a3a5a7 A B1, AB

5、 37可得 A1(371)1093, B1 (137 )1094從而 a1a3a5a71094 22（ 3）從（ 2）的計(jì)算已知 a0 a2 a4a6 1093 說明： 賦值法不僅可以用來求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和，對(duì)于展開式為多項(xiàng)式的代數(shù)式的系數(shù)和大多數(shù)也能用此方法解決，如： (1x)5 (12x)6 的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為多少？可以看到(1x) 5 (12x)6 的展開式仍是多項(xiàng)式，令x 1 ， 即 得 各 項(xiàng) 系 數(shù) 和 為 25 ( 1) 632 再 比 如 ： (1 xx2 ) na0a1 x a2 x2a2n x2n ， 則a0a2a4a2 n 等于多少？本題可以由取x1 得到各項(xiàng)系數(shù)

6、和，取x1 得到奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，兩式相加可得 a0a2a2 n1 (3n1) 此外，為了賦值的需要，有時(shí)需要用一個(gè)新的二項(xiàng)式替換原來二項(xiàng)2式，只要它們的系數(shù)等同即可如：( x 2log 2 x)n 的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是多少？我們可以用一個(gè)更簡單的二項(xiàng)式(12x)n 代替原來的二項(xiàng)式，它們的系數(shù)并不改變，令x1便得各項(xiàng)系數(shù)和為3n 例 4（1）求 (1x)3 (1x)10 展開式中 x 5 的系數(shù)；（2）求 ( x12)6 展開式中的常數(shù)項(xiàng)x分析： 本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題，（ 1）可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開式相乘；（ 2）可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二

7、項(xiàng)式解：（ 1） (1 x)3 (1x)10展開式中的 x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng)：用 (1x)3 展開式中的常數(shù)項(xiàng)乘以(1x)10 展開式中的x5 項(xiàng)，可以得到C105x5；用 (1 x) 3 展開式中的一次項(xiàng)乘以(1x)10 展開式中的x4 項(xiàng)可得到 (3x)(C104 x4 )3C104 x5 ；用 (1x) 3 中的 x 2乘以 (1x)10展開式中的x3 可得到3x2C103 x33C103 x5 ；用 (1x) 3 中的 x 3 項(xiàng)乘以 (1x)10 展開式中的 x 2 項(xiàng)可得到3x3C102 x2C102x5 ，合并同類項(xiàng)得 x5 項(xiàng)為： ( C105C1043

8、C103C102 )x563x5 212（ 2） x12x1( x12)5x1xxxx12r由x1展開式的通項(xiàng)公式 Tr1C12r (2)12r1C12r x6r ，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為C126924 xx說明： 問題（ 2）中將非二項(xiàng)式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決這時(shí)我們還可以通過合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題來解決例5 求(1xx 2 ) 6 展開式中 x5 的系數(shù)分析： (1 xx2 ) 6 不是二項(xiàng)式，我們可以通過1 xx 2(1x)x2 或 1( xx2 ) 把它看成二項(xiàng)式展開解： 方法一： (1x x2 )6(1x) x26(1x6 )6(1x) 5 x215(1x)4 x4其中含

9、x5 的項(xiàng)為C 65 x56C53 x515C14 x56x5含 x5項(xiàng)的系數(shù)為 6方法二： (1xx 2 ) 61( x6x2 )1 6( xx2 )15( xx2 )220( xx2 )315( xx2 )46(x x2 ) 5( x x2 )6其中含 x5 的項(xiàng)為 20( 3) x515(4) x56x56x5 x5 項(xiàng)的系數(shù)為 6方法 3：本題還可通過把(1xx 2 ) 6 看成 6個(gè) 1xx2 相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，x5 項(xiàng)可由下列幾種可能得到5 個(gè)因式中取x，一個(gè)取1 得到 C56 x5 3 個(gè)因式中取 x，一個(gè)取x2 ，兩個(gè)取1 得到 C63C13 x3 (

10、x2 )1 個(gè)因式中取 x，兩個(gè)取x2 ，三個(gè)取1 得到 C16C 52 x (x2 ) 2合并同類項(xiàng)為 (C56 C 63C31C16 C52 ) x56x5 ， x5 項(xiàng)的系數(shù)為 6例 6 求證：（ 1） C1n 2C n2nC nnn 2n 1 ； （ 2） C0n1C1n1C n21C nn1(2n 1 1) 23n1n1分析： 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來，從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì) C n0C1nC n2C nn2n 解：（ 1）kC n

11、kkn!(kn!n(k(n1)!k)!nC nk11k!(nk)!1)! (n k )!1)! ( n左邊nC n01nC1n 1nC nn11n(C n01C1n 1Cnn11)n 2n 1右邊（ 2）1C nk1n!n!1( n1)!1Cnk11 k 1k 1 k!(n k)!(k 1)! ( n k)!n 1 (k 1)! (n k )!n 1左邊11121n 1112n 11n 1n1C n 1n1C n 1n1C n 1n1(C n 1C n1Cn 1)n1( 21) 右邊說明： 本題的兩個(gè)小題都是通過變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作

12、為某個(gè)二項(xiàng)式的展開式，但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：求 29 C101028 C10927 C1082C10210的結(jié)果仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與(12)10 的展開式接近，但要注意：(12)10C100C1012C102 22C10929C1010 2101210 22 C10229 C109210 C101012(102C10228 C10929 C1010 )從而可以得到： 10 2C10228 C10929 C10101 (3101) 2例 7利用二項(xiàng)式定理證明：32n28 9是 64 的倍數(shù)n分析： 64是 8的平方，問題相當(dāng)于證明32 n

13、 28n9 是 82 的倍數(shù)，為了使問題向二項(xiàng)式定理貼近，變形32n29n1(81) n 1 ，將其展開后各項(xiàng)含有8k ，與 82 的倍數(shù)聯(lián)系起來解： 32n 28n99n 1 8n 9 (8 1) n 18n 98n 1C1n 1 8nC nn11 82C nn1 8 1 8n 98n 1C1n 18nC nn11828(n1)1 8n98n1C1n 1 8nC nn11 82(8n 1C1n 1 8n 2C nn 11 ) 64 是 64 的倍數(shù)說明： 利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù)5例8 展開2x32x2分析 1：用二項(xiàng)式

14、定理展開式35320332解法 1： 2x2C50 (2x)5C51( 2x) 42C52 ( 2x)322x2x2x2x334351801354052433(2x)234532x5120x2C52x2C5 (2x)2 x2C52x2xx48x732 x10分析 2：對(duì)較繁雜的式子，先化簡再用二項(xiàng)式定理展開35(4x33)51解法 2： 2xC03)5134233( 3)22x232x1032x105( 4xC5( 4x)(3) C5(4x)C53 (4x3 )2 ( 3)3C54 ( 4x3 )1 ( 3)4C55 ( 3)5 110 (1024x153840 x125760 x94320

15、x61620 x32437)32x32x5120x2180135405243xx48x732x10 說明： 記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式( ab) n 的展開式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡再展開會(huì)更簡便例9若將(xyz)10 展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（）A 11B33C 55D 66分析：( xyz)10 看作二項(xiàng)式( xy)z10 展開解： 我們把xy z看成(xy)z ，按二項(xiàng)式展開，共有11“項(xiàng)”，即( x y z)10( x y) z1010C10k (x y)10 k zk k 0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)z 的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式

16、(x y)10 k 展開，不同的乘積 C10k( x y)10 kzk （ k0,1, 10 ）展開后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)下面，再分別考慮每一個(gè)乘積C10k ( x y)10 kzk （ k 0 , 1 ,10）其中每一個(gè)乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由( xy)10 k 決定，而且各項(xiàng)中x 和 y 的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)故原式展開后的總項(xiàng)數(shù)為11 109166，應(yīng)選 D n例 10若 x1的展開式的常數(shù)項(xiàng)為20 ，求 n 2xnn2n分析： 題中 x0 ，當(dāng) x0 時(shí)，把三項(xiàng)式x1轉(zhuǎn)化為x1x1時(shí)，同理22；當(dāng) x 0xxxn2nx12(1)nx1然后寫出通項(xiàng)，令含x 的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出n x

17、x1n12 n1 )r解： 當(dāng) x0時(shí) x2x，其通項(xiàng)為 Tr 1C 2rn (x ) 2n r ( 1)r C2rn ( x )2 n2 r ，xxx令 2n2r0 ，得 nr ，展開式的常數(shù)項(xiàng)為( 1) n C2nn ；1n12 n當(dāng) x0 時(shí)， x2( 1)nx，xx同理可得，展開式的常數(shù)項(xiàng)為( 1) n C 2nn無論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為( 1) n C 2nn令 ( 1)n C2nn20 ，以 n1 , 2 , 3 ,，逐個(gè)代入，得n3 例 1110x13 項(xiàng)小于第4 項(xiàng)，則 x 的取值范圍是 _3的展開式的第x分析： 首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出展開式的第3 項(xiàng)和第 4 項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列

18、出不等式即可1101213解： 使x有意義，必須 x0 ；依題意，有 T3T4 ，即 C102 (x )8C103 (x )73x3x3x 109x10981（ x0 ）解得 0x8 5648 213213 x9 x 的取值范圍是x0x85 648應(yīng)填： 0x85 64899例 12已知 ( xlog 2 x1)n 的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為123 ，這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？若展開式的倒數(shù)第二項(xiàng)為 112，求 x 的值解： 設(shè)連續(xù)三項(xiàng)是第k、k 1、k2項(xiàng)（kk 1 kk1 N 且 k 1 ），則有 C nCnCn123，即n !n !n!123(k 1)( n k 1) !k ! (n k)

19、!(k 1)(n k 1) !k( nk)1k1111123 (n k )(n k 1)2n k 12k )(nk1)(nk)k(k1)2(k1)2(nkk( k 1)k(nk)3(nk )3n14， k5 所求連續(xù)三項(xiàng)為第5、6、 7三項(xiàng)又由已知，C13xlog 2 x112 即xlog 2 x814兩邊取以 2 為底的對(duì)數(shù)， (log 2 x)23 ， log 2 x3 ， x23，或 x23說明： 當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)，根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解例 13(1 2x)n 的展開式中第 6 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)

20、式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)分析： 根據(jù)已知條件可求出n ，再根據(jù) n 的奇偶性；確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解： T6 Cn5 (2x)5 ， T7Cn6 (2x)6 ，依題意有 Cn5 25Cn6 26n 8 (12x) 8 的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5 C84 (2x)41120x4 設(shè)第 rC8r 2rC8r 1 2r 1r 6 1項(xiàng)系數(shù)最大，則有5C8r 2rC8r 1 2r 1 r5 或 r 6 （ r0,1,2, 8 ）系婁最大的項(xiàng)為：T6 1792 x5 ， T7 1792 x6 說明： (1) 求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n 為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

21、，n 為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大(2) 求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得例 14設(shè) f ( x)(1 x) m(1x) n ( m, nN)，若其展開式中關(guān)于x 的一次項(xiàng)的系數(shù)和為，問m , n為何值時(shí)，11含 x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值分析： 根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)關(guān)于 n 的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題解： Cm1C n1n m11 Cm2Cn21 (m2m n2n)m2n211221102mnn211n55(n11)299 nN，224 n5 或 6 ， m6 或

22、5時(shí)， x2 項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為25 說明： 二次函數(shù) y(x11) 299 的對(duì)稱軸方程為x11 ，即 x5.5，由于5、6距5.5等距離，且對(duì) n N，2425 、 6 距 5.5最近，所以 (n11) 299的最小值在 n5 或 n 6 處取得24例 15若 (3x 1)7a7 x7a6 x6a1 x a0 ，求 (1)a1a2a7 ； (2)a1a3a5a7 ；(3)a0a2a4a6 解： (1)令 x 0，則a01，令x 1，則aa6aa27128710 a1a2a7129 (2) 令 x1 ，則a7a6a5a4a3a2a1a0( 4)7由 得：a1a3a5a71128（4 782

23、5622）a2a4a6(3) 由2得： a01（a6a5a4a3a2a1a）17 a70( 4)8128 2128（a7a6 a5a4a3a2a1）2a0說明：（ 1）本解法根據(jù)問題恒等式特點(diǎn)來用“特殊值”法這是一種重要的方法，它適用于恒等式(2) 一般地，對(duì)于多項(xiàng)式g( x)( pxq)na0a1 xa2 x2an xn ， g( x) 的各項(xiàng)的系數(shù)和為g (1)：g( x) 的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1 g(1)g(1) g( x) 的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1 g (1)g(1) 22例 16填空： (1) 2303除以 7的余數(shù) _ ； (2)555515 除以 8 的余數(shù)是 _.分析 (1)：將 2

24、30 分解成含7 的因數(shù)，然后用二項(xiàng)式定理展開，不含7 的項(xiàng)就是余數(shù)解： 2303(23)103(8)103(71)103C100 710C10179C109 7C101037 C100 79C101 78C109 2又余數(shù)不能為負(fù)數(shù)，需轉(zhuǎn)化為正數(shù)2303 除以 7 的余數(shù)為 5 應(yīng)填： 5分析 (2)：將 5555 寫成 (561)55 ，然后利用二項(xiàng)式定理展開解： 555515(561) 5515C550 5655C551 5654C5554 56C555515該式只有C555515 14 不能被 8 整除，因此 555515 除以 8 的余數(shù)，即14除以 8 的余數(shù)，故余數(shù)為6 應(yīng)填：

25、6 1nn11n例 17求證：對(duì)于 nN，111證明： 1展開式的通項(xiàng)nn1nr1pnr1n(n1)(n 2)(nr 1)Tr 1Cnnrr ! nrr !r r1(11 )(12 )(1r1) r !nnn1n 111Anr1 (112 )r 1) 1展開式的通項(xiàng) TrCnr1)(1(1n 1(n 1)rr ! (n 1) rr !n 1n 1n 1nn 1由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)明顯看出Tr1Tr 1，所以 111n1n1說明： 本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)為正項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同，證明時(shí)，根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，采用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明例 18 在 ( x23x 2) 5的展開式中 x 的系數(shù)為（）

26、A 160B 240C 360D 800分析： 本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解解法 1：由 ( x23x 2)5( x23x)2 5 ，得 Tk1 C5k ( x23x) 5 k 2kC5k 2k ( x23x) 5 k 再一次使用通項(xiàng)公式得，Tr 1C5k 2kC5rk 3r x102 k r ，這里 0k5 ， 0r5k 令 102kr1，即 2kr9 所以 r 1， k4 ，由此得到 x 的系數(shù)為 C54243240 解法 2：由 ( x23x2)5( x1) 5 ( x2)5，知(x1) 5的展開式中 x 的系數(shù)為 C54，常數(shù)項(xiàng)為 1， ( x2)5 的展開式中x 的系數(shù)為 C5424 ，常數(shù)項(xiàng)為25 因此原式中 x 的系數(shù)為 C 425C4 2424055