七講假設檢驗

1、第七講第七講 假設檢驗假設檢驗一、基本概念一、基本概念二、單個正態(tài)總體的檢驗二、單個正態(tài)總體的檢驗三、兩個正態(tài)總體的檢驗三、兩個正態(tài)總體的檢驗五、非正態(tài)總體大樣本參數(shù)檢驗五、非正態(tài)總體大樣本參數(shù)檢驗六、六、pearson檢驗法檢驗法四、似然比檢驗四、似然比檢驗一、一、 基本概念基本概念在自然科學和社會科學等中，常常要對某在自然科學和社會科學等中，常常要對某些重要問題做出回答：些重要問題做出回答：是是或或否否。如月球比地球如月球比地球早形成嗎？早形成嗎？ 一種新藥對某種病有效嗎？一種新藥對某種病有效嗎？ 某種某種股票會漲嗎？股票會漲嗎？新推出的電視節(jié)目收視率高嗎？新推出的電視節(jié)目收視率高嗎？等等

2、。等等。為了回答這些問題，為了回答這些問題，我們需要對感興趣我們需要對感興趣的問題進行試驗或觀察獲得相關數(shù)據(jù)，的問題進行試驗或觀察獲得相關數(shù)據(jù)， 根據(jù)這根據(jù)這些數(shù)據(jù)決定些數(shù)據(jù)決定是是或或否否的過程稱為的過程稱為假設檢驗假設檢驗。(hypothesis testing)在這節(jié)，給出一般的在這節(jié)，給出一般的neyman-pearson假設假設檢驗構架。檢驗構架。原假設和備擇假設原假設和備擇假設的分的分是統(tǒng)計模型，關于總體是統(tǒng)計模型，關于總體設設xp, 布或關于參數(shù)布或關于參數(shù) 的推測，的推測， ：即即h稱為稱為假設假設，其中其中 是是 的非空真子集。的非空真子集。 在一個假設檢驗中，常涉及兩個假設

3、。在一個假設檢驗中，常涉及兩個假設。所所要檢驗的假設稱為要檢驗的假設稱為原假設原假設或或零假設零假設，記為記為 。0h而與而與 不相容的假設，稱為不相容的假設，稱為備擇假設備擇假設或或對立對立0h假設假設，記為記為 。1h對參數(shù)統(tǒng)計模型對參數(shù)統(tǒng)計模型 而而, p言，原假設和備擇假設這對矛盾的統(tǒng)一體言，原假設和備擇假設這對矛盾的統(tǒng)一體1100 ：，：hh稱為稱為假設檢驗問題假設檢驗問題。在假設檢驗問題中，在假設檢驗問題中，的兩個互的兩個互是是和和 10不相交的非空子集，不相交的非空子集， 10但并不要求但并不要求一定成立。一定成立。保留這個的靈活性，保留這個的靈活性， 不僅是理論的不僅是理論的需

4、要，需要，也有其實際意義。也有其實際意義。，僅包含一個參數(shù)，即僅包含一個參數(shù)，即如果如果000 則稱則稱0h為簡單假設為簡單假設(simple hypothesis)， 否則稱為否則稱為復復合假設合假設(composite hypothesis)， 對備擇假設也有對備擇假設也有簡單假設和復合假設。簡單假設和復合假設。拒絕域、接受域、檢驗統(tǒng)計量拒絕域、接受域、檢驗統(tǒng)計量檢驗一個假設，就是根據(jù)某一法則在原檢驗一個假設，就是根據(jù)某一法則在原假設和備擇假設之間做出選擇，假設和備擇假設之間做出選擇，而基于樣本而基于樣本x做出拒絕做出拒絕 或接受或接受 所依賴的法則稱為所依賴的法則稱為檢驗檢驗。0h0h這

5、樣一個檢驗就等同于將樣本空間分成這樣一個檢驗就等同于將樣本空間分成兩個互不相交的子集兩個互不相交的子集 和和 ，wcw時就拒時就拒當當wx絕絕 ，0h成立；成立；認為備擇假設認為備擇假設1h時就接時就接當當cwx成立。成立。，認為，認為受受00hh稱稱 為為拒絕域拒絕域，w(rejection region)稱稱cw為接受域為接受域(acceptance region)。 這樣檢驗和拒絕這樣檢驗和拒絕域就建立起一一對應關系。域就建立起一一對應關系。為了確定拒絕域，為了確定拒絕域，往往根據(jù)問題的直觀背往往根據(jù)問題的直觀背景，景，尋找合適的統(tǒng)計量尋找合適的統(tǒng)計量 ，)(xt為真時，為真時，當當0h

6、要要能由統(tǒng)計量能由統(tǒng)計量 確定出拒絕域確定出拒絕域 ，)(xtw這樣的統(tǒng)這樣的統(tǒng)計量計量 稱為稱為檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量(test statistic)。)(xt兩類錯誤兩類錯誤由于樣本時隨機的，由于樣本時隨機的， 進行檢驗時可能犯進行檢驗時可能犯兩類錯誤，兩類錯誤，其一是當其一是當 為真時，卻拒絕為真時，卻拒絕 ，0h0h稱為稱為第一類錯誤第一類錯誤，其概率為其概率為.,)(0 wxp其二是當其二是當 為假時，卻接受為假時，卻接受 ，0h0h稱為稱為第二類第二類錯誤錯誤，其概率為其概率為.,1)(1 wxpwxp定義定義8.1 一個檢驗的一個檢驗的功效功效(power)定義為當定義為當 不不0

7、h成立時拒絕成立時拒絕 的概率，的概率，0h即即.),(1)(1 wxp檢驗的顯著性水平檢驗的顯著性水平當樣本容量當樣本容量 固定時，固定時，n要減少犯第一類錯要減少犯第一類錯誤的概率，誤的概率，就會增大犯第二類錯誤的概率；就會增大犯第二類錯誤的概率；反反之，之，若要減少犯第二類錯誤的概率，就會增大若要減少犯第二類錯誤的概率，就會增大犯第一類錯誤的概率。犯第一類錯誤的概率。即就是說當樣本容量固即就是說當樣本容量固定時，定時，不可能同時減少犯兩類錯誤的概率，不可能同時減少犯兩類錯誤的概率， 這這是一對不可調和的矛盾。是一對不可調和的矛盾。類錯誤的概率在給定的范圍內(nèi)，類錯誤的概率在給定的范圍內(nèi)，尋

8、找檢驗使得尋找檢驗使得犯第二類錯誤的概率盡可能的小，犯第二類錯誤的概率盡可能的小，即就是使檢即就是使檢驗的功效盡可能的大。驗的功效盡可能的大。這樣就是在給定一個較這樣就是在給定一個較小的數(shù)小的數(shù) (一般取為一般取為0.01,0.05,0.1等等)，)10( 在滿足在滿足0, wxp的檢驗方法中，的檢驗方法中，尋找使得功效尋找使得功效)(1 wxp盡可能大的檢驗方法。盡可能大的檢驗方法。neyman-pearson檢驗原理就是控制犯第一檢驗原理就是控制犯第一將將 稱為稱為顯著性水平顯著性水平。 假設檢驗的步驟假設檢驗的步驟（1）提出假設檢驗問題，提出假設檢驗問題，1100 ：，：hh（2）根據(jù)根

9、據(jù) ，選取適當?shù)慕y(tǒng)計量，并確定其，選取適當?shù)慕y(tǒng)計量，并確定其0h分布；分布；（3）給定顯著性水平給定顯著性水平 ； （4）確定拒絕域；確定拒絕域；（5）由樣本觀測值，計算統(tǒng)計量的值；由樣本觀測值，計算統(tǒng)計量的值；（6）作出推斷，是拒絕作出推斷，是拒絕 ，還是接受，還是接受 。0h0h二、二、 單個正態(tài)總體的檢驗單個正態(tài)總體的檢驗（一）（一） 總體方差已知時，總體均值的檢驗總體方差已知時，總體均值的檢驗檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量0100:,: hhnxu 0 的簡單樣本，的簡單樣本，設設 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體nxxx,21),(2 n方差方差 已知，已知，2 考慮檢驗問題考慮檢驗問題給定顯著性

10、水平給定顯著性水平 ， 拒絕域拒絕域|21 uuw（雙側假設檢驗雙側假設檢驗）)1 , 0(n單側假設檢驗單側假設檢驗0100:,: hh(1)0100:,: hh(2)0100:,: hh(3)0100:,: hh(4)理論上，可以證明理論上，可以證明(1)與與(2)、(3)與與(4)的檢驗法的檢驗法相同，相同，而而(1)和和(3)的拒絕域容易求出，分別為的拒絕域容易求出，分別為11 uuw13 uuw（二）（二） 總體方差未知時，總體均值的檢驗總體方差未知時，總體均值的檢驗0100:,: hh檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量nsxt0 給定顯著性水平給定顯著性水平 下，拒絕域為下，拒絕域為 )1(|2

11、1 nttw )1( nt0100:,: hh給定顯著性水平給定顯著性水平 下，拒絕域為下，拒絕域為 )1(1 nttw 0100:,: hh給定顯著性水平給定顯著性水平 下，拒絕域為下，拒絕域為 )1(1 nttw （三）（三） 總體方差的檢驗總體方差的檢驗20212020:,: hh的簡單樣本，的簡單樣本，設設 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體nxxx,21),(2 n考慮檢驗問題考慮檢驗問題當當 未知時，未知時， 檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為2022)1( sn )1(2 n 拒絕域拒絕域)1(or)1(2212222 nnw 當當 已知時，已知時， 檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為2022 n )(2

12、n 拒絕域拒絕域)(or)(2212222nnw niixn122)(1 類似的也有相應形式單側檢驗，在此就不列出。類似的也有相應形式單側檢驗，在此就不列出。三、三、 兩個正態(tài)總體的檢驗兩個正態(tài)總體的檢驗設設 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體1,21nxxx的樣本容量為的樣本容量為 簡單樣本，簡單樣本，),(211 n1n2,21nyyy是來是來自正態(tài)總體自正態(tài)總體 的樣本容量為的樣本容量為 的簡單的簡單),(222 n2n樣本，且兩樣本獨立。樣本，且兩樣本獨立?？紤]檢驗問題考慮檢驗問題211210:,: hh 兩個正態(tài)總體均值的檢驗兩個正態(tài)總體均值的檢驗222121nnyxu 給定顯著性水平給定

13、顯著性水平 ， 拒絕域拒絕域|21 uuw)1 , 0(n（一）（一） 已知時，總體均值的檢驗已知時，總體均值的檢驗2221, （二）（二） 未知但相等，總體均值的檢驗未知但相等，總體均值的檢驗2221, 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 成立時，成立時，0h當當 成立時，檢驗統(tǒng)計量為成立時，檢驗統(tǒng)計量為0h2111nnsyxtw 拒絕域拒絕域)2(|2121nnttw)2(21 nnt其中其中2)1()1(2122212 nnsnsnsyxw 兩個正態(tài)總體方差的檢驗兩個正態(tài)總體方差的檢驗考慮檢驗問題考慮檢驗問題2221122210:,: hh當當 未知時，未知時，21, 當當 成立時，檢驗統(tǒng)計量為成立時

14、，檢驗統(tǒng)計量為0h22yxssf )1, 1(21 nnf拒絕域拒絕域)1, 1(2121 nnff or)1, 1(212 nnffw 當當 已知時，已知時，21, 當當 成立時，檢驗統(tǒng)計量為成立時，檢驗統(tǒng)計量為0h22yxf ),(21nnf拒絕域拒絕域),(or),(2121212nnffnnffw 類似的也有相應形式單側檢驗，在此就不列出。類似的也有相應形式單側檢驗，在此就不列出。0.0 0.0 -1.0 -0.1 -0.4 0.0 -1.9 0.3 0.0 1.2 0.0 -1.0 0.9 -1.4 -0.5標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 產(chǎn)生的隨機數(shù)產(chǎn)生的隨機數(shù) ，)1 , 0(n15

15、n one-sample t-testdata: x1 t = -1.2344, df = 14, p-value = 0.2374 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval:-0.7117407 0.1917407 sample estimates: mean of x ，-0.26四、四、 似然比檢驗似然比檢驗設設 是來自密度函數(shù)（或分布率）是來自密度函數(shù)（或分布率）nxxx,21),(),()(0111 nnxxpxxpx 為為 的總體的簡單樣本，的總體的簡單樣本，

16、)(),( xp考慮檢驗考慮檢驗問題：問題：)(:,:011100 hh一個比較直觀且自然方法是考慮似然比一個比較直觀且自然方法是考慮似然比當當 較大時，拒絕原假設較大時，拒絕原假設 ，)(x 0h，這種檢驗方法稱為，這種檢驗方法稱為似然比檢驗似然比檢驗。例例 對正態(tài)總體，方差已知，檢驗問題對正態(tài)總體，方差已知，檢驗問題)(:,:011100 hh似然比為似然比為),(),()(0111 xxpxxpxn 0h否則，接受否則，接受 niinniinxx12021212)(21exp21)(21exp21 nxu 0 令令 ， 2201012)()(exp)( nunx niiixx120212

17、)()(21exp niix101201)2(2exp 22010012)()(exp nnxn則則nxu 0 :1 uuuw拒絕域為拒絕域為210, 01 因為因為 均已知且均已知且 ，的單調增函數(shù)，故由等式的單調增函數(shù)，故由等式所以所以 是是)(x u |)(010成立成立成立成立hcuphcxp可得可得 。 11uc這樣檢驗統(tǒng)計量可取為這樣檢驗統(tǒng)計量可取為這是通常的單邊這是通常的單邊 檢驗。檢驗。 u對一般的假設檢驗問題對一般的假設檢驗問題1100:,:hh檢驗的拒絕域為檢驗的拒絕域為)(:cxxw |)(0成立成立hcxp定義似然比檢驗統(tǒng)計量為定義似然比檢驗統(tǒng)計量為),(sup),(s

18、up)(110nnxxpxxpx其中臨界值其中臨界值 可由可由c確定。確定。下面也通過例子說明其具體應用。下面也通過例子說明其具體應用。例例0100:,: hh似然比似然比對正態(tài)總體，方差未知，檢驗問題對正態(tài)總體，方差未知，檢驗問題),(sup),(sup)(110 nnxxpxxpx 這里這里0,),(220),(2200當當 未知時，其極大似然估計分別為未知時，其極大似然估計分別為2, ,xniixxn122)(1niixn12020)(1當當 已知時，已知時， 極大似然估計為極大似然估計為0 2 所以似然比為所以似然比為niinniinxxxx120200122)(21exp21)(21

19、exp21)(22202220) 1()(1nnsnxn若令若令 ，nsxt0 則則2211)(nntx當當 成立時，成立時，0h)1( ntnsxt0 且且 是是 單調增函數(shù)，因此由單調增函數(shù)，因此由)(x |t|)(010成立成立hctphcxp可得臨界值為可得臨界值為) 1(211ntc這樣檢驗統(tǒng)計量為這樣檢驗統(tǒng)計量為nsxt0 拒絕域為拒絕域為當當 成立時，成立時，0h)1, 1( nff且且 是是 單調增函數(shù)，因此由單調增函數(shù)，因此由)(x f|)(010成立成立hcfphcxp)1(|:|21ntttw當然也可令當然也可令nsxf220)(，則，則211)(nnfx這是通常的雙邊這

20、是通常的雙邊 檢驗。檢驗。 t拒絕域為拒絕域為)1, 1 (:1nfffw這樣檢驗統(tǒng)計量也可以為這樣檢驗統(tǒng)計量也可以為nsxf220)( 可得臨界值為可得臨界值為) 1, 1 (11nfc可以證明這時的可以證明這時的 檢驗和檢驗和 檢驗是等價的。檢驗是等價的。 t f從上述兩個例子可得求似然比檢驗的一般步驟：從上述兩個例子可得求似然比檢驗的一般步驟：（1） 在在 內(nèi)求內(nèi)求 的極大似然估計的極大似然估計 ， 在在 內(nèi)求內(nèi)求 的極大似然估計的極大似然估計0 0 （2） 計算并化簡計算并化簡),(),()(011 nnxxpxxpx 使成形式使成形式 ，)()(xthx 滿足兩個要求，滿足兩個要求，

21、是是 的單調增函數(shù)或單調減函數(shù)；的單調增函數(shù)或單調減函數(shù)；)(x )(xt當當 成立時，成立時， 的分布完全已知。的分布完全已知。0h)(xt（3） |01成立成立hctp增函數(shù)時，由增函數(shù)時，由 求臨界值求臨界值減函數(shù)時，由減函數(shù)時，由 求臨界值求臨界值 |01成立成立hctp（4）)(xt檢驗統(tǒng)計量取為檢驗統(tǒng)計量取為:1cttw 增函數(shù)時，拒絕域為增函數(shù)時，拒絕域為減函數(shù)時，拒絕域為減函數(shù)時，拒絕域為:1cttw 其一：其一：其二：其二：注：注：（1） 正態(tài)總體下參數(shù)的檢驗基本都是似然比檢驗正態(tài)總體下參數(shù)的檢驗基本都是似然比檢驗（2）似然比檢驗可用于檢驗樣本來自兩個不同類似然比檢驗可用于檢驗樣本來自兩個不同類型分布之一，型分布之一，:0h樣本來自正態(tài)總體族樣本來自正態(tài)總體族),(2 n:1h樣本來自雙參數(shù)指數(shù)分布族樣本來自雙參數(shù)指數(shù)分布族),( xp其中其中 xxxxp0exp1),(0, 如如（3）似然比檢驗適應面廣，似然比檢驗適應面廣，（4）一般情形下，一般情形下，難獲得，難獲得，總體均可以構造，總體均可以構造，且構造的檢驗常具有一且構造的檢驗常具有一些優(yōu)良性質，些優(yōu)良性質，如在某種意義下具有最有性。如在某種意義下具有最有性。因此臨界值的求法有兩種。因此臨界值的求法有兩種。 其一