2021年初中物理競(jìng)賽及自主招生專題講義第一講物體的運(yùn)動(dòng)第三講圓周運(yùn)動(dòng)含解析

1、第三講 圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是指物體運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓周，且運(yùn)動(dòng)快慢不變的運(yùn)動(dòng)，這是一種曲線運(yùn)動(dòng)。一、描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)物理量1周期做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，每完成一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間都相同，這個(gè)時(shí)間叫做一個(gè)周期，用符號(hào)表示，國(guó)際單位為秒。例如，時(shí)鐘的秒針周期為，分針周期為，地球自轉(zhuǎn)的周期為等。勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期越小，轉(zhuǎn)動(dòng)越快。2頻率單位時(shí)間內(nèi)物體完成的圓周數(shù)，叫做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，用符號(hào)表示，國(guó)際單位為赫茲，頻率越大，轉(zhuǎn)動(dòng)越快，頻率與周期互為倒數(shù)，即。例如，秒針轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率為，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)300轉(zhuǎn)的電風(fēng)扇，其轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為。3角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，單位時(shí)間內(nèi)物體與圓心的連線（即半徑）轉(zhuǎn)

2、過的角度叫做角速度，用表示。若時(shí)間內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過的角度用表示，則角速度可以表示為。這里應(yīng)該注意的是，的單位不再是“度”，而是“弧度”，弧度是指某個(gè)角所對(duì)的圓弧長(zhǎng)度與圓弧半徑的比值，如圖3.32所示，弧度無(wú)單位，但物理學(xué)中常用“”來表示弧度的單位。由弧度的定義，角所對(duì)應(yīng)的弧度可以表示為，即，可得，因此我們可以得到其他常用角度的弧度值，例如，等。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，轉(zhuǎn)過的角度為，所用時(shí)間為一個(gè)周期，因此勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度還可以表示為等，根據(jù)角速度的定義式，可知角速度的單位為“弧度/秒”，符號(hào)為“”。4轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速表示物體單位時(shí)間內(nèi)完成的圓周數(shù)，常用單位有“轉(zhuǎn)/秒”和“轉(zhuǎn)/分”，符號(hào)分別為“”和“”，。轉(zhuǎn)速

3、取“轉(zhuǎn)/秒”作為單位時(shí)，其數(shù)值與頻率相同。若轉(zhuǎn)速為，則表示每秒轉(zhuǎn)過周，每秒轉(zhuǎn)過的角度為，因此角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系可表示為。5線速度線速度是描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體沿著圓弧運(yùn)動(dòng)的快慢程度，線速度大小等于物體通過的弧長(zhǎng)與所用時(shí)間的比值，即，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，方向時(shí)刻變化。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，通過的路程為圓的周長(zhǎng)，所用時(shí)間為一個(gè)周期，因此勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度還可以表示為，線速度的單位為“米/秒”。上述描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的5個(gè)物理量中，周期、頻率、角速度和轉(zhuǎn)速描述的是物體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，這4個(gè)物理量均與物體轉(zhuǎn)動(dòng)半徑無(wú)關(guān)，而線速度是描述物體沿著圓弧運(yùn)動(dòng)的快慢，與半徑密切相關(guān)。二、線速度與角速度的關(guān)系在勻速

4、圓周運(yùn)動(dòng)中，線速度的公式為，另外根據(jù)角速度的公式。，我們還可以得到線速度與角速度的關(guān)系：，即線速度大小等于角速度大小與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積，這也是一個(gè)重要的關(guān)系式。例1 轉(zhuǎn)速是指做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的物體單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓周數(shù)，轉(zhuǎn)速用表示。轉(zhuǎn)速的單位為“轉(zhuǎn)/分”或“轉(zhuǎn)/秒”，符號(hào)分別為“”和“”。已知洗衣機(jī)的脫水桶轉(zhuǎn)速為，脫水桶半徑為，求脫水桶轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率、周期、角速度以及脫水桶邊緣上點(diǎn)的線速度的大小。分析與解 比較轉(zhuǎn)速與頻率的定義，兩者都可以理解為“單位時(shí)間內(nèi)完成的圓周數(shù)”，因，可知，周期與頻率互為倒數(shù)，則可得周期，角速度，結(jié)合線速度、角速度、半徑三者的關(guān)系，可得線速度。三、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的典型問題（一）傳動(dòng)問

5、題所謂傳動(dòng)，即一個(gè)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，借助皮帶或兩輪之間的靜摩擦力、輪子邊緣的齒輪帶動(dòng)另一個(gè)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)傳動(dòng)方式的不同，又分為皮帶傳動(dòng)、摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)。關(guān)于傳動(dòng)裝置，有兩個(gè)重要結(jié)論：（1）凡是直接用皮帶傳動(dòng)（或者鏈條傳動(dòng)、摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)）的兩個(gè)輪子，兩輪邊緣上各點(diǎn)的線速度大小相等。（2）凡是在同一個(gè)輪軸上（各個(gè)輪都繞同一根軸同步轉(zhuǎn)動(dòng)）的輪子，輪上各點(diǎn)的角速度都相等（軸上的點(diǎn)除外）。例2 如圖3.33所示，兩輪靠皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)，分別為兩輪邊緣上的點(diǎn)，與同在輪上，已知，在傳動(dòng)時(shí)，皮帶不打滑，求：（1）_；（2）_。分析與解 ，兩點(diǎn)在同一皮帶輪上，它們的角速度相等，即時(shí)，由于皮帶不打滑，所以，兩點(diǎn)的線速

6、度大小相等，即。（1）根據(jù)，知。（2）根據(jù)，知。（二）多解問題圓周運(yùn)動(dòng)是一種典型的周期運(yùn)動(dòng)，前一個(gè)周期中發(fā)生的事件在后一個(gè)周期中同樣可能發(fā)生，所以有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)的問題往往會(huì)有多解。這就要求我們?cè)诒磉_(dá)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)，必須把其周期性考慮進(jìn)去，下面就從這一角度對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的多解問題進(jìn)行探討。例3 如圖3.34所示，直徑為的紙筒以角速度繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從槍口發(fā)射的子彈沿直徑穿過圓筒。（1）若子彈在圓筒上留下，兩個(gè)彈孔，已知和夾角為，則子彈的速度大小為多少？（2）子彈通過圓筒后，有沒有可能只留下一個(gè)彈孔？若可能，計(jì)算出子彈速度的可能值；若不可能，說明理由。分析與解 （1）設(shè)子彈速度為，子彈穿過

7、圓筒的時(shí)間為。在時(shí)間內(nèi)，圓筒轉(zhuǎn)過的角度可能為，也可能為，因此圓筒轉(zhuǎn)過的角度可表達(dá)為，則有，可得。（2）若子彈將要穿出圓筒時(shí)，先前打過的孔剛好轉(zhuǎn)到子彈將要穿出的位置，則子彈只在圓筒上留下一個(gè)孔。此時(shí)，圓筒轉(zhuǎn)過的角度，經(jīng)歷時(shí)間，因此子彈速度滿足。例4 已知某鐘表的秒針和分針在某位置恰好重合，問：再經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，秒針與分針仍然重合？分析與解 秒針轉(zhuǎn)動(dòng)周期為，分針轉(zhuǎn)動(dòng)周期為，對(duì)應(yīng)的角速度分別為，。如圖3.35所示，秒針和分針每重合一次，秒針都比分針多轉(zhuǎn)，即多轉(zhuǎn)。當(dāng)?shù)诖沃睾蠒r(shí)，秒針多轉(zhuǎn)了角度，設(shè)經(jīng)過時(shí)間，秒針和分針又一次重合，則秒針和分針轉(zhuǎn)過角度滿足，即，代人兩者的角速度值，可得（三）視覺暫留與頻閃效應(yīng)

8、視覺暫留是指光刺激視網(wǎng)膜并在其上逗留的時(shí)間比它從我們眼前閃過的實(shí)際時(shí)間要長(zhǎng)一些，日常生活中視覺暫留現(xiàn)象很常見，比如一個(gè)亮點(diǎn)以很大的速度做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們看上去它就形成了一個(gè)光環(huán)。日常生活中許多光源使用的都是交流電，例如日光燈、電視機(jī)、電腦等，由于電源電壓隨時(shí)間不斷變化，使得一些燈工作時(shí)帶有明顯的明暗變化的現(xiàn)象，這種光現(xiàn)象即為頻閃。在頻閃的光線下注視轉(zhuǎn)動(dòng)的電風(fēng)扇，會(huì)發(fā)生電風(fēng)扇不轉(zhuǎn)或倒轉(zhuǎn)的視錯(cuò)覺現(xiàn)象，這種現(xiàn)象就是頻閃效應(yīng)造成的錯(cuò)覺。下面請(qǐng)看幾個(gè)例子。例5 如圖3.36所示，電風(fēng)扇在閃光燈下運(yùn)轉(zhuǎn)，閃光燈每秒閃30次，風(fēng)扇轉(zhuǎn)軸上裝有3個(gè)葉片，它們互成。當(dāng)風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察者感覺扇葉不動(dòng)，則風(fēng)扇轉(zhuǎn)速可能是

9、（ ）。abcd分析與解 風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察者感覺扇葉不動(dòng)，說明在每相鄰兩次閃光的時(shí)間間隔內(nèi)，風(fēng)扇轉(zhuǎn)過的角度是的整數(shù)倍，即圈的整數(shù)倍。由于閃光周期，所以風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速，故選項(xiàng)acd正確。例6 由于眼睛有視覺暫留，因此會(huì)造成一些奇特的現(xiàn)象。例如，在如圖3.37所示的黑色圓盤中有一白色窄條，圓盤繞垂直于盤面的中心軸以頻率順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，用頻率的頻閃光去照射，在盤上能看到_根穩(wěn)定的白色窄條。分析與解 只有在閃光的瞬間，我們才能看到圓盤上的白色窄條。由于視覺暫留，前幾次看到的白色窄條的影像還未在大腦中消失，因此我們會(huì)看到圓盤上好像有好幾根白色窄條。當(dāng)某一次閃光時(shí)出現(xiàn)的白色窄條與前面某次出現(xiàn)的白色窄條重合時(shí)，所看

10、到的白色窄條就不會(huì)再增多了。我們只需要求出相鄰兩次閃光時(shí)間間隔內(nèi)白色窄條轉(zhuǎn)過的角度，即可求出圓盤上能看到的白色窄條的總數(shù)。由轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，得圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，相鄰兩次閃光的時(shí)間間隔，因此在相鄰兩次閃光時(shí)間間隔內(nèi)，白色窄條轉(zhuǎn)過的角度為，在圓盤上能看到的穩(wěn)定的白色窄條的個(gè)數(shù)為，即第1根出現(xiàn)的白色窄條與第6根出現(xiàn)的白色窄條重合，只能看到5根白色窄條。本題正確答案為5。例7 如圖3.38所示，帶有一白點(diǎn)的黑色圓盤可繞過其中心、垂直于盤面的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30圈。在暗室中用每秒閃光31次的頻閃光源照射圓盤，觀察到白點(diǎn)每秒沿（ ）。a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)31圈b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)31圈c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1圈d逆時(shí)針旋

11、轉(zhuǎn)1圈分析與解 圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，頻閃光源的閃光周期，因此在一個(gè)閃光周期內(nèi)，白點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度為，由于人的祝覺暫留效應(yīng)，人不會(huì)覺得白點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過了，而會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為白點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過了，因此人觀察到的白點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速，因此選項(xiàng)d正確。練習(xí)題1時(shí)鐘上的時(shí)針、分針和秒針的角速度關(guān)系是（ ）。a時(shí)針的角速度與分針的角速度之比為1：60b時(shí)針的角速度與分針的角速度之比為1：12c分針的角速度與秒針的角速度之比為1：12d分針的角速度與秒針的角速度之比為1：602如圖3.39所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，傳動(dòng)時(shí)皮帶與輪之間不打滑，已知大輪半徑、輪軸的輪半徑和輪軸的軸半徑的關(guān)系是，分別為大輪、輪軸的軸和輪

12、軸的輪邊緣上的點(diǎn)，為大輪圓心，則傳動(dòng)時(shí)，三點(diǎn)的（ ）。a角速度之比為1：3：3b角速度之比為3：1：1c線速度大小之比為1：2：2.d線速度大小之比為1：1：23（上海第24屆大同杯初賽）假期時(shí)，小明一家人到赤道附近某景點(diǎn)旅游。在一個(gè)晴好的日子里，小明沒有跟隨爸爸爬山，而是和另外幾個(gè)朋友一起躺在山下平靜的海灘上觀看日落。結(jié)果，小明爸爸在山上觀察到太陽(yáng)消失的時(shí)間要比地面上小明觀察到的該現(xiàn)象足足晚了。已知地球半徑為，則可以判斷小明爸爸所處位置的海拔高度最接近（ ）。abcd4如圖3.40所示，兩質(zhì)點(diǎn)，在同一平面內(nèi)繞沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，的周期分別為和，和三點(diǎn)第一次到第二次同側(cè)共線經(jīng)歷的時(shí)間為

13、（ ）。abcd5某機(jī)器內(nèi)有兩個(gè)圍繞各自固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的鋁盤和，盤上固定一個(gè)信號(hào)發(fā)射裝置，能持續(xù)沿半徑向外發(fā)射紅外線，到圓心的距離為。盤上固定一個(gè)帶窗口的紅外線信號(hào)接收裝置，到圓心的距離為。，轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度均為。當(dāng)。，正對(duì)時(shí)，發(fā)出的紅外線恰好進(jìn)入的接收窗口，如圖3.41所示，則每隔一定時(shí)間就能接收到紅外線信號(hào)，這個(gè)時(shí)間的最小值為（ ）。abcd6（上海第30屆大同杯初賽）如圖3.42所示，一圓球固定在水平地面上，球心為。細(xì)棒端擱在地面上，棒身靠在球面上并和球心在同一豎直平面內(nèi)，切點(diǎn)為，細(xì)棒與水平面之間的夾角為。若移動(dòng)棒的端沿水平地面靠近圓球，發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)恰好圍繞點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這表明在移動(dòng)端的過程中（

14、）。a的速度大小不變b角度均勻增大c長(zhǎng)度均勻減小d以上說法都不對(duì)7地球的半徑為，在地面上北緯處，物體隨同地球自轉(zhuǎn)的線速度大小為_。8一飛輪的直徑為，若飛輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)120轉(zhuǎn)，則飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小為_，飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為_。9一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間內(nèi)恰走了半圈，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線速度大小為_，角速度為_，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為_。10如圖3.43所示，兩輪通過摩擦傳動(dòng)，傳動(dòng)時(shí)兩輪間不打滑，兩輪的半徑之比為，分別為，兩輪邊緣上的點(diǎn)，則，兩點(diǎn)的線速度大小之比為_，角速度之比為_，周期之比為_，轉(zhuǎn)速之比為_。11如圖3.44所示，圓環(huán)在水平面上向左勻速滾動(dòng)，且與水平面間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，環(huán)

15、心對(duì)地速度為，環(huán)半徑為。某時(shí)刻環(huán)上在環(huán)心正前方的的速度大小為_，環(huán)心正下方矩為的點(diǎn)的速度大小為_。12（上海第20屆大同杯復(fù)賽）一臺(tái)只有時(shí)針（短針）和分針（長(zhǎng)針）的時(shí)鐘，從0點(diǎn)整開始計(jì)時(shí)（算作第一次重合），則一晝夜時(shí)針和分針重合_次；從上午9點(diǎn)整開始，分針經(jīng)_（精確到）與時(shí)針第一次相遇。13如圖3.45所示為運(yùn)動(dòng)電影放映機(jī)放電影，這種電影放映機(jī)使用寬度為的電影膠片，電影中的聲音以聲音信號(hào)的方式刻錄在電影膠片上。若此電影膠片的厚度，片夾上密密地繞了一整盤電影膠片，如圖3.45所示，圖中和分別表示片夾內(nèi)所轉(zhuǎn)電影膠片的內(nèi)徑和外徑，則這盤電影膠片的總長(zhǎng)度約是_（保留1位小數(shù)）；若按每秒24幅畫面正常放

16、映，且不計(jì)膠片頭與片尾的長(zhǎng)度，這盤電影膠片大約能連續(xù)正常放映的時(shí)間為_（保留1位小數(shù)）。14（上海第25屆大同杯復(fù)賽）在同一平面上的，兩桿，分別繞相距為的，兩軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)快慢相同，初始時(shí)刻如圖3.46（a）所示，且，經(jīng)過一段時(shí)間，兩桿運(yùn)動(dòng)到如圖3.46（b）所示位置，且，則此過程中交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為_（選填“直線”“圓弧”或“其他曲線”），移動(dòng)的路程為_，移動(dòng)的速度大小為_。 15如圖3.47所示，電風(fēng)扇在閃光燈下運(yùn)轉(zhuǎn)，閃光燈每秒閃30次，風(fēng)扇轉(zhuǎn)軸上裝有3個(gè)葉片，它們互成。當(dāng)風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察者可以觀察到6個(gè)穩(wěn)定的葉片，則風(fēng)扇的角速度可能為多少？參考答案1bd。秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)周期為，分針的轉(zhuǎn)動(dòng)周

17、期為，時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)周期為，由角速度公式等，可知秒針、分針、時(shí)針的角速度之比等于它們轉(zhuǎn)動(dòng)周期的倒數(shù)之比，即。2ad。設(shè)點(diǎn)的角速度為，點(diǎn)與點(diǎn)的線速度大小相同，則，點(diǎn)與點(diǎn)的角速度相同，則，點(diǎn)的線速度大小。因此，三點(diǎn)的角速度之比，線速度之比。3b。當(dāng)小明在山腳下的點(diǎn)看到太陽(yáng)剛好消失時(shí)，太陽(yáng)光線恰好在點(diǎn)與地面相切，而在點(diǎn)正上方高度的山頂上的爸爸此時(shí)仍能看到太陽(yáng)，如圖3.48所示。設(shè)后地球順時(shí)針轉(zhuǎn)過角，山頂上的爸爸恰好也觀察到太陽(yáng)消失，則，由地球自轉(zhuǎn)角速度，解得，則，因此最接近的高度為b選項(xiàng)。4b。由題可知，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為，。，和三點(diǎn)從第一次同側(cè)共線到第二次同側(cè)共線過程中，比多轉(zhuǎn)了角度，即，解得，b選項(xiàng)

18、正確。5b。，隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的周期分別為，可見，兩次接收到紅外線信號(hào)的時(shí)間間隔既是的整數(shù)倍，又是的整數(shù)倍，因此，最小的時(shí)間間隔應(yīng)為和的最小公倍數(shù)，選項(xiàng)b正確。6b。如圖3.49所示，連接，則，恰好圍繞點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以均勻減小，也即角度均勻增大，故b正確。，均勻增大，的長(zhǎng)度不是均勻減小的，故c錯(cuò)。同理的長(zhǎng)度也不是均勻減小的，所以的速度大小變化，故a錯(cuò)。因此本題正確選項(xiàng)為b。7。地球北緯處的物體隨地球繞地軸自轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，地球轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為等，則北緯處的物體的線速度大小為82.51，0.5。飛輪的角速度，線速度，周期。915.7，1.57，0.25。略。10，。提示：兩輪不打滑時(shí)，輪子邊緣點(diǎn)的線速度大小相等。11，。提示：利用同一物體上各點(diǎn)角速度相等，選與地接觸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸。1223,2945.5。分針的角速度為，時(shí)針的角速度為。從0點(diǎn)整開始計(jì)時(shí)，當(dāng)分針與時(shí)針經(jīng)過時(shí)間再次重合時(shí)，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了弧度，則有時(shí)，解得，除去計(jì)時(shí)開始的0點(diǎn)，24小時(shí)內(nèi)還能重合的次數(shù)為，因此共能重合28次。上午9點(diǎn)整到分針遞上時(shí)針，分針要比時(shí)針多轉(zhuǎn)弧度，則，解得。13645.9；59.8。電影膠片的側(cè)面積等于其長(zhǎng)度與厚度的乘積，即，膠片繞在片夾上時(shí)，其側(cè)面積可以表示為，因此解得膠片長(zhǎng)度膠片上每幅畫面的長(zhǎng)度（包含兩幅畫面之間的部分）為，按每