51無簡并定態(tài)微擾論

1、 前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡單問題。如：論解決了一些簡單問題。如： （1）一維無限深勢阱問題；）一維無限深勢阱問題； （2）線性諧振子問題；）線性諧振子問題； （3）勢壘貫穿問題；）勢壘貫穿問題； （4）氫原子問題。）氫原子問題。 這些問題都給出了問題的精確解析解。這些問題都給出了問題的精確解析解。 然而，對于大量的實(shí)際物理問題，然而，對于大量的實(shí)際物理問題，schrdinger 方程方程能有精確解的情況很少。通常體系的能有精確解的情況很少。通常體系的 hamilton 量是量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)

2、雜比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)，量子力學(xué)求問題近似解的方法（簡稱的實(shí)際問題時(shí)，量子力學(xué)求問題近似解的方法（簡稱近似方法）就顯得特別重要。近似方法）就顯得特別重要。第五章第五章 定態(tài)微擾論定態(tài)微擾論 原子的能級(jí)原子的能級(jí)2 近似方法的出發(fā)點(diǎn)近似方法的出發(fā)點(diǎn)近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發(fā)，近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來求較復(fù)雜問題的近似（解析）解。微擾論來求較復(fù)雜問題的近似（解析）解。微擾論, 變分法變分法, 絕熱近似絕熱近似, 準(zhǔn)經(jīng)典近似等準(zhǔn)經(jīng)典近似等3 近似解問題分為兩類近似解問題分為兩類 1）體系）體系 hamilton 量不

3、是時(shí)間的顯函數(shù)量不是時(shí)間的顯函數(shù)定態(tài)問題定態(tài)問題（2）體系）體系 hamilton 量顯含時(shí)間量顯含時(shí)間狀態(tài)之間的躍遷狀態(tài)之間的躍遷問題問題 與時(shí)間與時(shí)間 t 有關(guān)的微擾理論有關(guān)的微擾理論 定態(tài)微擾論定態(tài)微擾論; 變分法變分法.h稱為微擾算符稱為微擾算符.(2) 很小，其具體要求是很小，其具體要求是h1nkknh其中，其中，nknkhhd0hhh（1） 可以分解成兩部分可以分解成兩部分h于是本征方程可變?yōu)橛谑潜菊鞣匠炭勺優(yōu)?()hhe其中，其中， 的本征方程的本征方程0h0h必須能精確求解必須能精確求解.可用可用 作為粗略判斷作為粗略判斷0hh5.1 無簡并定態(tài)微擾論無簡并定態(tài)微擾論無簡并是指

4、無簡并是指 的本征值譜中，一個(gè)本征值只對應(yīng)一個(gè)的本征值譜中，一個(gè)本征值只對應(yīng)一個(gè)波函數(shù)，即波函數(shù)，即0h0kkkh 定態(tài)微擾論相當(dāng)于研究下述情況：定態(tài)微擾論相當(dāng)于研究下述情況：無微擾時(shí)，無微擾時(shí)，1. 建立級(jí)數(shù)修正項(xiàng)方程建立級(jí)數(shù)修正項(xiàng)方程由于由于0hh所以，體系受微擾后，其狀態(tài)變化較小，所以，體系受微擾后，其狀態(tài)變化較小，;keee k把上面的把上面的e和和 代入代入 的本征方程中，的本征方程中， h0()hhe再把同級(jí)小量分別集中加在一起，得再把同級(jí)小量分別集中加在一起，得000()()()()kkkkkkkkhhhhheee 要使上面等式成立，等式兩邊同級(jí)小量之和必須對應(yīng)相要使上面等式成立

5、，等式兩邊同級(jí)小量之和必須對應(yīng)相等，于是得到一系列求各級(jí)修正項(xiàng)的方程等，于是得到一系列求各級(jí)修正項(xiàng)的方程0kkkh 0kkkhhe 0kkhhee (1)(2)(3)于是可以得到于是可以得到,kkeee類似可以得到類似可以得到 等等等等.,e 2. 一級(jí)修正的表達(dá)式一級(jí)修正的表達(dá)式按按 本征函數(shù)本征函數(shù) 展開展開 0h12,n 1( )nnnc （4）110( )( )nnkknnknnchhce把上式代入方程把上式代入方程 中可得，中可得，0kkkhhe 11( )( )nnnkknnknnchce 11( )( )nnnkknnknnchce 用用 左乘上式兩邊，再對整個(gè)空間積分，利用本征

6、函數(shù)的左乘上式兩邊，再對整個(gè)空間積分，利用本征函數(shù)的正交歸一性化簡，得正交歸一性化簡，得m 11( )( )nnmnmknknmnmkncdhdcded 11( )( )nnmnmkknmnmknnchce mkmkhhd稱為微擾矩陣元稱為微擾矩陣元11( )( )mmmkkmmkchce（5）11( )( )mmmkkmmkchce當(dāng)當(dāng)m=k時(shí)，即取時(shí)，即取 時(shí)，時(shí)， ，于是從，于是從(5)式可式可得到得到e的一級(jí)修正的一級(jí)修正mk1mkkkkkkkehhdh為求為求 ，現(xiàn)在求，現(xiàn)在求(4)式中各疊加系數(shù)。式中各疊加系數(shù)。 （5）當(dāng)當(dāng)mk時(shí)，由時(shí)，由(5)式可得疊加系數(shù)式可得疊加系數(shù)1( )

7、()mkmkmhcmk1( )()nknknhcnk或或還有還有 沒有求出，可由歸一化條件沒有求出，可由歸一化條件 求得求得.1( )kc1d 此時(shí)，此時(shí)，k于是歸一化條件為于是歸一化條件為1() ()kkd1()kkkkddd 必須必須0()kkd 把把 代入上式，得代入上式，得1( )nnnc 110( )( )kkcc110( )( )nncc 或?yàn)榧兲摂?shù)為純虛數(shù)如果如果 為純虛數(shù)，則設(shè)為純虛數(shù)，則設(shè)1( )kc1( )kci 1( )knnnc11( )( )kkknnn kcc1( )kknnn kic11( )()knnn kic 1( )iknnn kec 1( )()iknnn

8、 kec 因此，可以選因此，可以選10( )kc于是于是 的一級(jí)修正為的一級(jí)修正為 ()nknnknhnk （6）2( )nnnc （7）21210( )( )( )( )nnnnknnnnknnnnc hc hcece 把把(4)式式 和上面和上面(7)式代入方程式代入方程(3)式中，式中，1( )nnnc 0kkhhee (3)，得，得2121( )( )( )( )nnnknnnnknn nnnncc hcece 2121( )( )()nmnkmkmmnmmche ccce 當(dāng)當(dāng)m=k時(shí)，即取時(shí)，即取 ，上式可變?yōu)?，上式可變?yōu)閙k用用 左乘上式兩邊，再對整個(gè)空間積分，并利用正交左乘上式

9、兩邊，再對整個(gè)空間積分，并利用正交歸一性化簡可得歸一性化簡可得m 2121( )( )( )( )nnnknnnnknn nnnncc hcece 2121( )( )( )( )nnm nnmnnnknm nnm nm knncdchdcdecded 2121( )( )( )( )nnmnnmnkmmmknncchce ce 2121( )( )( )kkkknknknche ccec1( )nknnechnkknnknhhnknknknhh2()nknknhnk通常情況下，用微擾法對通常情況下，用微擾法對e最多計(jì)算到二級(jí)近似，最多計(jì)算到二級(jí)近似，對對 則只計(jì)算到一級(jí)近似則只計(jì)算到一級(jí)近似

10、. =0至此，至此，2nkkkknknhehdnkknnknhnk具體要求具體要求1nkknh此條件可保證此條件可保證 很小，很小， 也很小。也很小。e keee k級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂很快，求到收斂很快，求到 和和已足夠精確。已足夠精確。e 例：例：一維無限深勢阱一維無限深勢阱(0 xa)中的粒子，受到微擾中的粒子，受到微擾 的的作用，求基態(tài)能量的一級(jí)修正作用，求基態(tài)能量的一級(jí)修正.h202212/ ,/ ,( )(/ ),/.x axah xx aaxa 解：一維無限深勢阱中，粒子能量的本征函數(shù)解：一維無限深勢阱中，粒子能量的本征函數(shù)(無簡并無簡并)為為2000sin,( ),.kk xxaxaa

11、xxa 對于基態(tài)，對于基態(tài)，k=1，12000sin,( ),.xxaxaaxxa 基態(tài)能量的一級(jí)修正值為基態(tài)能量的一級(jí)修正值為11( )( )ex hx dx110( )( )ax hx dx2022222221/sinsinsin()sinaaaxxxdxaaaaaxxxdxaaaaa 2122 例：例：設(shè)一體系的哈密頓量為設(shè)一體系的哈密頓量為 ，其中，其中0hhh10200eheabhba 1, a b的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù).求在二級(jí)近似下的能量本征值求在二級(jí)近似下的能量本征值.微擾微擾 作用后，兩個(gè)能級(jí)能量的一級(jí)修正值分別為作用后，兩個(gè)能級(jí)能量的一級(jí)修正值分別為h11111( )eeha12222( )eeha解：解：二級(jí)修正值：二級(jí)修正值：212111( )nnnheeee22112hee212bee22221222222121( )nnnhhbeeeeeeee 因此，在二級(jí)近似下，兩個(gè)能級(jí)的能量分別為因此，在二級(jí)近似下，兩個(gè)能級(jí)的能量分別為2121