三向量的雙重向量積

1、解析幾何http:/1.101.10三向量的雙重向量積三向量的雙重向量積解析幾何http:/解析幾何http:/定義定義1: 給定空間三向量，給定空間三向量，先作先作其中兩個向量的其中兩個向量的向量積向量積，再作再作所得向量與第三個向量的所得向量與第三個向量的向量積向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一個那么最后的結(jié)果仍然是一個向量向量，叫做所給，叫做所給三向三向量的雙重向量積量的雙重向量積。a bc , ,a b c 就是向量 的 雙重向量積一、雙重向量積的概念一、雙重向量積的概念解析幾何http:/雙重向量積的幾何關(guān)系雙重向量積的幾何關(guān)系()a ba bc ()abc()a baba二、雙重向量積

2、的性質(zhì)二、雙重向量積的性質(zhì)()a bb解析幾何http:/定理定理1.a bca c bb c a 2a b ca bca ba b ca bcaabaaba b a.(1)aba a ba babaab22 證：若 ， 中有一個為零向量，或 ，共線，或 與 ，都垂直，定理顯然成立.現(xiàn)在設(shè) ， 為三個非零向量，且 ，不共線，為了證明1.10.1成立，先來證明當(dāng)時成立，即有（）（） （）由于（）， ，共面，而 ，不共線，從而可設(shè)（），（ ）（ ）式2222a baa b0a bbaba ba21 兩邊先后與 ，作數(shù)量積得 （） （），（） （）（），于是解得=-，代入（ ）式即得（ ）式成立.1

3、.10.1解析幾何http:/22aa b ba bba （ ）+（）（）+（ ）aaba b bbaba b a （）（）a cbb c a . （）22aba bcaba ba bca baba ba bab ab .1a bca ba bab aa b b 下證1.10.1成立，因為， ， 不共面，故可設(shè)，從而有（）（）（）（）利用（）式可得（）（ ）（ ）（ ）（ ）解析幾何http:/abcabcabcbcacbaa c ba b c.(1.10.2)0.2abcabc 需要注意的是，在一般情況下（）（）.事實上，（） （）（）（） （）比較（）和（）可知（） 和

4、（）在一般情況下是兩個不同的向量，因此向量積不滿足結(jié)合律.解析幾何http:/ a aa ba babb ab b 拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式對任意對任意4 4個向量，有個向量，有abaaba(a a )b(b a )a(a a )(b)(a)(b a ).bbbbb證 ： （） （） =（）解析幾何http:/例例1 試證雅可比試證雅可比（jacobi）恒等式）恒等式0a bcb cacab b,abca c bb c abcaaca c bcabb c aa b c 證 ： 因 為，0.abcbcacab三式相加可得解析幾何http:/ a bababb aaba baa b bba b a 例例2 證明證明證明：設(shè)()abe,則()( )( )ababeab () () e b ae a b () () abb aaba b ()() abbaaba