2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性文含解析北師大版

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)y=xln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()a.(-,e-1)b.(e-1,+)c.(e,+)d.(0,e-1)2.函數(shù)f(x)=(x+2)exx的單調(diào)遞增區(qū)間為.3.(2020漢中模擬)若冪函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)22,12,則函數(shù)g(x)=exf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】1.選d.函數(shù)y=xln x的定義域?yàn)?0,+), 因?yàn)閥=xln x,所以y=ln x+1,令y0得0x0,解得x-1+3.所以f(x)的遞增區(qū)間為(-,-1-3)和(-1+3,+).答案:(-,-1-3)和(-1+3,+)3.設(shè)冪函數(shù)f(x)=xa,

2、因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn)22,12,所以12=22a,a=2,所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,則g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x),令g(x)0,得-2x0,故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0).答案:(-2,0)題2中,若將“f(x)=(x+2)exx”改為“f(x)=x2ex”,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【解析】因?yàn)閒(x)=x2ex,所以f(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex.由f(x)0,解得-2x0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間.(4)解不等式f (x)0兩種情況討論(2)由f(x)的符號(hào)確定f(x)的單調(diào)性用導(dǎo)數(shù)為零的實(shí)數(shù)分割定義域,逐個(gè)區(qū)間

3、分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào),確定單調(diào)性【解析】f(x)=a-1x-1x2=ax2-x-1x2(x0).設(shè)g(x)=ax2-x-1(x0),當(dāng)a0時(shí),g(x)0,f(x)0時(shí),由g(x)=0得x=1+1+4a2a或x=1-1+4a2a,記x0=1+1+4a2a,則g(x)=ax2-x-1=a(x-x0)x-1-1+4a2a(x0),因?yàn)閤-1-1+4a2a0,所以當(dāng)x(0,x0)時(shí),g(x)0,f(x)0,f(x)0,綜上知,當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減;當(dāng)a0時(shí),f(x)在0,1+1+4a2a上單調(diào)遞減,在1+1+4a2a,+上單調(diào)遞增.解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn) (1)研究含參數(shù)

4、的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要在函數(shù)定義域內(nèi)討論,還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax-ln x.討論f(x)的單調(diào)性.【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=-ax2-1x=-x+ax2,(1)當(dāng)a0時(shí),f(x)0,則f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)a0,可得0x-a,由f(x)-a,則f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞增,在(-a,+)上單調(diào)遞減.考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題命題精解讀1.考什么:(1)考查函數(shù)圖像的識(shí)別、比較大小或解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)等問(wèn)題.(2)考查

5、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.2.怎么考:與基本初等函數(shù)、不等式等綜合考查函數(shù)的圖像及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用等問(wèn)題.3.新趨勢(shì):以導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性為基礎(chǔ),綜合考查利用單調(diào)性比較大小、解不等式及知單調(diào)性求參數(shù)的范圍.學(xué)霸好方法由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法 (1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間d上單調(diào),實(shí)際上就是在該區(qū)間上f (x)0(或f (x)0)恒成立,從而構(gòu)建不等式, 求出參數(shù)的取值范圍,要注意“=”是否可以取到.(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間d 上存在單調(diào)區(qū)間,實(shí)際上就是f (x)0(或f (x)0(或f (x)min0時(shí),g(x)g(0)=0,故x0時(shí),f(x)

6、=xg(x),f(x)=g(x)+xg(x)0,即f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,故只有a符合題意.辨別函數(shù)的圖像主要從哪幾個(gè)角度分析?提示:從函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最值及函數(shù)圖像所過(guò)的特殊點(diǎn)等角度分析.比較大小或解不等式【典例】(2019蘭州模擬)函數(shù)f(x)在定義域r內(nèi)可導(dǎo),f(x)=f(4-x),且(x-2)f(x)0.若a=f(0),b=f12,c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系是()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)a.cbab.cabc.abcd.bac【解析】選c.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),根據(jù)題意知,當(dāng)x(-,2)時(shí),f(x)0,f(x)為增函數(shù).所以f(3)

7、=f(1)f12f(0),即cb0,所以=9-8(k-1)0,解得k178,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是178,+.答案:178,+函數(shù)f(x)在某區(qū)間上是增函數(shù),推出f(x)0還是f(x)0?提示:推出f(x)0.1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖像如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)可能為()【解析】選d.由題意得,當(dāng)x0;當(dāng)x0時(shí),函數(shù)y=f(x)先增再減然后再增,故導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)為先正再負(fù)然后再正.結(jié)合所給選項(xiàng)可得d符合題意.2.已知函數(shù)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),f(1)=1e,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有f(x)-f(x)0,設(shè)f(x)=f(x)ex,則不等式f(x)0,則有f(x) 0,即函數(shù)f(x)在r上為減函數(shù),又由f(1)=1e,則f(1)=f(1)e=1e2,不等式f(x)1e2等價(jià)于f(x)1,則不等式的解集為(1,+).3.若f(x)=2x3-3x2-12x+3在區(qū)間m,m+4上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【解析】因?yàn)閒(x)=2x3-3x2-12x+3,所以f(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f(x)0,得x2;令f(x)0,得-1x0,則g(x)=lnx-1x2,當(dāng)xe時(shí),g(x)0,g(