D高階導(dǎo)數(shù)與高階微分PPT課件

1、1. 1. 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)y22ddyx yy若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo),或即或 ,fx類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,或的二階導(dǎo)數(shù) , 記作：的依次類推 ,各階導(dǎo)數(shù)分別記作：則稱機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22ddddddyyxxx yf x fx yf x fx or ( )fxfx 導(dǎo)數(shù)為函數(shù) or fx或 (4),fx ( ),;nfx33dd,yx44dd,yxd,d.nnyx,y(4),y( ),.ny(1)n定義：函數(shù)的二階以及二階以上的各階導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。第1頁/共19頁2. 2. 高階微分高階微分 2dy 2dd d yy若函數(shù)

2、的微分仍可微,或即或 3d,fx類似地 , 二階微分的微分稱為三階微分 ,階微分的微分稱為 n 階微分 ,或的二階微分 ,記作：依次類推 ,函數(shù)的各階微分分別記作：則稱機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yf x df x yf x d df x為函數(shù) 4d,fx ,.dnfx 2d f x 2d d dfyf x 3d,y 4d,y ,.dny定義：函數(shù)的二階以及二階以上的各階微分統(tǒng)稱為高階微分。(1)n第2頁/共19頁設(shè) ,2210nnxaxaxaaxf求解: 1axfxa221nnxan 212axfxa3232) 1(nnxann依次類推 ： nnanxf!)(233xa例例1. d.

3、 kf x ( ) ,nfx ( )d=d ,=0,1,2,kkkf xfxxkn思考: 設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(ny,) 1()2)(1()()(nnxnx問特別地：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )1= ! +( +1)!(1) (2)(1),kn kkknfxk akaxnnnnka x 0,1,2,kn顯然：0,1,2,n 第3頁/共19頁nx)1 ( 例例2. 設(shè)設(shè)axye( ).ny( )nnaxya e求解:特別有:解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考:xnxee)()(例3. 設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21)

4、 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 y2)1 (1x,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1nx（m-1）!3,axya e 2,axya e ,axyae 第4頁/共19頁例例4. 設(shè)設(shè)n,siyx( ).ny( )sinsin,nxx求解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,類似可得：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2n0,1, 2,n ( )coscos.nx2n0,1, 2,n 第5頁/共19頁例例5 . 設(shè)設(shè)sinaxyebx( ).ny yf x解:bxae

5、yxasin)cossin(xbbxbaexa求為常數(shù) , ),(babxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxbaabarctan22bay )sin(bxaexaxaeba22abarctan)2sin(22bxba)cos(bxbexa機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )222()nnyabsinaxebxn第6頁/共19頁例例6. 設(shè)設(shè) 323,f xxx x ( )0nf12x求使收斂的最高分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf

6、,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f發(fā)散。._n2又0 x,24x0 x階數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0f 第7頁/共19頁3.5.2 3.5.2 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 ,uu x vv x( )1.nuv都是n 階可導(dǎo)的 , 則)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn(1)(1)!n nnkk(2)nuv)()(kknvu)(nvu萊布尼茲(Leibniz) 公式vunn) 1(推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )()0Cn

7、kkn knkuv設(shè)函數(shù)( )nu( )nv第8頁/共19頁vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共19頁例例 7. 22,xyx e(20).y2,xue求解: 設(shè)則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2,vx第10頁/共19頁0!2) 1() 1(nyn

8、n)(nyn例例 8. 設(shè)設(shè)arct,anyx ( ).0ny yf x求解:,112xy即1)1 (2yx用萊布尼茲公式求 n 階導(dǎo)數(shù))1 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (0,1, 2,)m 第11頁/共

9、19頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) yf x yf x yf x(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yf x第12頁/共19頁思考與練習(xí)思考與練習(xí)xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解: 解: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共19頁2312xxy1121xxy11)() 1(1)2

10、(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示: 令)2(xA原式2x) 1(xB原式1x11機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共19頁xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共19頁1)( !nxfn2. (填空題填空題) (1) 設(shè)設(shè),cos)23()(1622xnxxx

11、f則)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示:各項(xiàng)均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意階可導(dǎo), 且2n時(shí))()(xfn提示:,)()(2xfxf則當(dāng) )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共19頁3. 試試從從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求33ddyx(見 P101 題4 ) 作業(yè)P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共19頁解: 設(shè))(sin2xfxy 求,y 其中 f 二階可導(dǎo). y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf備用題備用題x2)