2021高考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練2.32課時(shí)突破立體幾何解答題第2課時(shí)空間角空間距離的計(jì)算問題課件

1、第2課時(shí)空間角、空間距離的計(jì)算問題 考向一利用空間向量計(jì)算異面直線所成的角與線面角考向一利用空間向量計(jì)算異面直線所成的角與線面角命題角度命題角度1 1求異面直線所成的角求異面直線所成的角【典例】【典例】1.1.已知正四面體已知正四面體abcdabcd中中, ,所有的棱長為所有的棱長為4,4,點(diǎn)點(diǎn)o o是是abcabc的中心的中心, ,將將daodao繞繞直線直線dodo旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周, ,則在旋轉(zhuǎn)過程中則在旋轉(zhuǎn)過程中, ,求直線求直線dada與直線與直線bcbc所成角的余弦的最大值所成角的余弦的最大值. . 【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)?又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)o o是是abcabc的中心的中心, ,所

2、以所以odbc,odbc,所以所以 =0,=0,所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) , ,且且 與與 同向時(shí)取等號(hào)同向時(shí)取等號(hào). .設(shè)設(shè) 與與 所成角為所成角為,da bc(oaod) bc oa bcod bc, od bc da bcoa bc, 4 316 3oa bc |oa| |bc|4,33 oabc oabc dabc 所以所以所以所以cos ,cos ,所以直線所以直線dada與直線與直線bcbc所成角的余弦的最大值是所成角的余弦的最大值是 . .16 3da bc |da| |bc|cos,3 33332.(20202.(2020新鄉(xiāng)一模新鄉(xiāng)一模) )如圖如圖, ,在正四棱錐

3、在正四棱錐v-abcdv-abcd中中, ,二面角二面角v-bc-dv-bc-d為為6060,e,e為為bcbc的的中點(diǎn)中點(diǎn). .(1)(1)證明證明:bc=ve;:bc=ve;(2)(2)已知已知f f為直線為直線vava上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,且且f f與與a a不重合不重合, ,若異面直線若異面直線bfbf與與veve所成角為所成角為6060, ,求求 vf.va【解析】【解析】(1)(1)設(shè)設(shè)v v在底面的射影為在底面的射影為o.o.則則o o為正方形為正方形abcdabcd的中心的中心, ,如圖如圖, ,連接連接oe,oe,因?yàn)橐驗(yàn)閑 e為為bcbc的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,所以所以oebc.oe

4、bc.在正四棱錐在正四棱錐v-abcdv-abcd中中,vb=vc,vb=vc,則則vebc,vebc,所以所以veoveo為二面角為二面角v-bc-dv-bc-d的平面角的平面角, ,則則veo=60veo=60. .在在rtrtvoevoe中中,ve=2oe,ve=2oe,又又ab=bc=2oe,ab=bc=2oe,所以所以bc=ve.bc=ve.(2)(2)取取abab的中點(diǎn)的中點(diǎn)g,g,以以o o為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,分別以分別以 為為x,y,zx,y,z軸的正方向軸的正方向, ,建立建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系o-xyz,o-xyz,設(shè)設(shè)ab=2,ab=2,則則v(0,0,

5、),e(0,1,0),b(1,1,0),a(1,-1,0), =(1,-1,- ), v(0,0, ),e(0,1,0),b(1,1,0),a(1,-1,0), =(1,-1,- ), =(1,1,- ), =(0,1,- ).=(1,1,- ), =(0,1,- ).設(shè)設(shè) = (1),= (1),則則 = - =(-1,-1,- + ),= - =(-1,-1,- + ),og,oe,ov 3va3vb 3ve 3vf vabfvf vb 33從而從而|cos|= |cos|= = =cos 60= =cos 60, ,整理得整理得2 2+10-11=0,+10-11=0,解得解得=-11(

6、=1=-11(=1舍去舍去),),故故 =11.=11.bfve |bf ve|bf|ve| 22|24|2 4(1)(1) vfva命題角度命題角度2 2求線面角求線面角【典例】【典例】(2020(2020新高考全國新高考全國卷卷) )如圖如圖, ,四棱錐四棱錐p-abcdp-abcd的底面為正方形的底面為正方形,pd,pd底底面面abcd,abcd,設(shè)平面設(shè)平面padpad與平面與平面pbcpbc的交線為的交線為l. .(1)(1)證明證明: :l平面平面pdc;pdc;(2)(2)已知已知pd=ad=1,qpd=ad=1,q為為l上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,求求pbpb與與平面平面qcdqcd所成

7、角的正弦值的最大值所成角的正弦值的最大值. .【解析】【解析】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閜dpd底面底面abcd,abcd,所以所以pdad.pdad.又底面又底面abcdabcd為正方形為正方形, ,所以所以addc,addc,又又dcpd=d,dc,pddcpd=d,dc,pd平面平面pdc,pdc,所以所以adad平面平面pdc.pdc.因?yàn)橐驗(yàn)閍dbc,adadbc,ad 平面平面pbc,bcpbc,bc平面平面pbc,pbc,所以所以adad平面平面pbc,pbc,由平面由平面padpad與平面與平面pbcpbc的交線為的交線為l, ,可得可得lad.ad.因此因此l平面平面pdc.pdc

8、.(2)(2)以以d d為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), , 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)閤 x軸正方向軸正方向, ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. .則則d(0,0,0),c(0,1,0),b(1,1,0),p(0,0,1),d(0,0,0),c(0,1,0),b(1,1,0),p(0,0,1), =(0,1,0), =(1,1,-1). =(0,1,0), =(1,1,-1).由由(1)(1)可設(shè)可設(shè)q(a,0,1),q(a,0,1),則則 =(a,0,1),=(a,0,1),設(shè)設(shè)n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面qcdqcd的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量, ,則則 即即 可取

9、可取n=(-1,0,a).=(-1,0,a).所以所以 dadc pbdqdq0dc0 ，nnaxz0y0.，2pb1 acos.| pb31a ，nnn設(shè)設(shè)pbpb與平面與平面qcdqcd所成角為所成角為,則則sin = sin = 因?yàn)橐驗(yàn)?, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=1a=1時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立, ,所以所以pbpb與平面與平面qcdqcd所成角的正弦所成角的正弦值的最大值為值的最大值為 . .232a613a136322a1332a1.33a11a【探究延伸】【探究延伸】本例條件不變本例條件不變, ,求求nbnb1 1與平面與平面mbmb1 1d d所成的角的正弦值所成的角的正弦值. .

10、【解析】【解析】由例題解析知由例題解析知m(1,0,2),bm(1,0,2),b1 1(0, ,3),d(0,0,0),n(-1, ,2).(0, ,3),d(0,0,0),n(-1, ,2).所以所以 =(1,0,1), , , =(1,0,1), , ,設(shè)設(shè)nbnb1 1與平面與平面mbmb1 1d d所成的角為所成的角為,平平面面mbmb1 1d d的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量m= ,= ,則則 所以所以 所以可取所以可取m= ,= ,所以所以sin = sin = 331nb 1db(03 3) ， ，dm(1,0,2) (x,y,z)1db0dm0 ，mm3y3z0 x2z0，(2, 3

11、, 1)11| nb|1.4| nb | | mm【素養(yǎng)提升】【素養(yǎng)提升】向量法求異面直線所成的角的關(guān)注點(diǎn)向量法求異面直線所成的角的關(guān)注點(diǎn)(1)(1)公式公式: :設(shè)異面直線設(shè)異面直線m,nm,n所成的角為所成的角為,a, ,b分別是異面直線分別是異面直線m,nm,n的方向向量的方向向量, ,則則cos =cos = ; ;(2)(2)關(guān)鍵關(guān)鍵: :找出兩異面直線的方向向量找出兩異面直線的方向向量; ;(3)(3)提醒提醒: :兩條異面直線所成角的范圍是兩條異面直線所成角的范圍是 , ,而兩向量的夾角的范圍是而兩向量的夾角的范圍是 , ,應(yīng)應(yīng)注意加以區(qū)分注意加以區(qū)分. .| | | |a ba

12、 b(0,20, 【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】1.(20201.(2020石家莊二模石家莊二模) )已知三棱錐已知三棱錐p-abcp-abc中中, ,abcabc為等腰直角三角形為等腰直角三角形,ab=ac=1,ab=ac=1,pb=pc=pb=pc= , ,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)e e為為papa中點(diǎn)中點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)d d為為acac中點(diǎn)中點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)f f為為pbpb上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,且且pf=2fb.pf=2fb.(1)(1)證明證明:bd:bd平面平面cef;cef;(2)(2)若若paac,paac,求直線求直線cece與平面與平面pbcpbc所成角的正弦值所成角的正弦值. .5【解析】【解析】(1)(

13、1)如圖如圖. .連接連接pdpd交交cece于于g g點(diǎn)點(diǎn), ,連接連接fg,fg,因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)e e為為papa的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)d d為為acac的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,所以點(diǎn)所以點(diǎn)g g為為pacpac的重心的重心, ,則則pg=2gd,pg=2gd,因?yàn)橐驗(yàn)閜f=2fb,pf=2fb,所以所以fgbd,fgbd,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒gfg平面平面cef,bdcef,bd 平面平面cef,cef,所以所以bdbd平面平面cef;cef;(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閍b=ac,pb=pc,pa=pa,ab=ac,pb=pc,pa=pa,所以所以pabpabpac,pac,因?yàn)橐驗(yàn)閜aac,paac,所以

14、所以paab,paab,可得可得pa=2,pa=2,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍bac,abac,則以則以ab,ac,apab,ac,ap所在直線分別為所在直線分別為x,y,zx,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz,a-xyz,則則a(0,0,0),b(1,0,0),c(0,1,0),p(0,0,2),e(0,0,1), =(-1,1,0), =a(0,0,0),b(1,0,0),c(0,1,0),p(0,0,2),e(0,0,1), =(-1,1,0), =(-1,0,2), =(0,-1,1).(-1,0,2), =(0,-1,1).設(shè)平面設(shè)平面pbcpbc的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向

15、量為n=(x,y,z),=(x,y,z),由由 取取z=1,z=1,得得n=(2,2,1).=(2,2,1).設(shè)直線設(shè)直線cece與平面與平面pbcpbc所成角為所成角為,則則sin =sin =所以直線所以直線cece與平面與平面pbcpbc所成角的正弦值為所成角的正弦值為 . .bc bpce bcxy0bpx2z0 ，nn| 2 1|2|cos,ce |.623 n262.(20202.(2020濰坊二模濰坊二模) )如圖如圖(1)(1)五邊形五邊形abcdeabcde中中,ed=ea,abcd,cd=2ab,ed=ea,abcd,cd=2ab,edc=150edc=150, ,將將ea

16、dead沿沿adad折到折到padpad的位置的位置, ,得到四得到四棱錐棱錐p-abcd,p-abcd,如圖如圖(2),(2),點(diǎn)點(diǎn)m m為線段為線段pcpc的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,且且bmbm平面平面pcd.pcd.(1)(1)求證求證: :平面平面padpad平面平面abcd;abcd;(2)(2)若直線若直線pcpc與與abab所成角的正切值為所成角的正切值為 , ,求直線求直線bmbm與平面與平面pdbpdb所成角的正弦值所成角的正弦值. .12【解析】【解析】(1)(1)取取pdpd的中點(diǎn)的中點(diǎn)n,n,連接連接an,mn,an,mn,則則mncd,mn= cd.mncd,mn= cd.又

17、又abcd,ab= cd,abcd,ab= cd,所以所以mnab,mn=ab,mnab,mn=ab,則四邊形則四邊形abmnabmn為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以anbm,anbm,又又bmbm平面平面pcd,pcd,所以所以anan平面平面pcd,pcd,所以所以anpd,ancd.anpd,ancd.由由ed=ea,ed=ea,即即pd=papd=pa及及n n為為pdpd的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,可得可得padpad為等邊三角形為等邊三角形, ,所以所以pda=60pda=60, ,又又edc=150edc=150, ,所以所以cda=90cda=90, ,所以所以cdad,cdad,

18、所以所以cdcd平面平面pad,cdpad,cd平面平面abcd,abcd,所以平面所以平面padpad平面平面abcd.abcd.1212(2)abcd,(2)abcd,所以所以pcdpcd為直線為直線pcpc與與abab所成的角所成的角, ,由由(1)(1)可得可得pdc=90pdc=90, ,所以所以tanpcd= ,tanpcd= ,所以所以cd=2pd,cd=2pd,設(shè)設(shè)pd=1,pd=1,則則cd=2,pa=ad=ab=1,cd=2,pa=ad=ab=1,取取adad的中點(diǎn)的中點(diǎn)o,o,連接連接po,po,過過o o作作abab的平行線的平行線, ,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系可

19、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz,o-xyz,則則 pd1cd21113d(0 0)b(1 0)c(2 0)p(0 0)2222， ， ，所以所以所以所以 =(1,1,0),=(1,1,0), 設(shè)設(shè)n=(x,y,z)=(x,y,z)為平面為平面pbdpbd的法向量的法向量, ,則則 取取x=3,x=3,則則 為平面為平面pbdpbd的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量, ,因?yàn)橐驗(yàn)閯t直線則直線bmbm與平面與平面pdbpdb所成角的正弦值為所成角的正弦值為 . . 13m(1)44 ，db 1333pb(1) bm(0)2244 ， ，xy0db0,13xyz0pb0,22 ，即，nn(3, 3,3

20、)nbm32 7cos,bm7| |bm|3212 ，nnn2 77【加練備選】【加練備選】(2020(2020日照一模日照一模) )如圖如圖, ,已知四邊形已知四邊形abcdabcd為等腰梯形為等腰梯形,bdef,bdef為正方形為正方形, ,平面平面bdefbdef平面平面abcd,adbc,ad=ab=1,abc=60abcd,adbc,ad=ab=1,abc=60. .(1)(1)求證求證: :平面平面cdecde平面平面bdef;bdef;(2)(2)點(diǎn)點(diǎn)m m為線段為線段efef上一動(dòng)點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn), ,求求bdbd與與平面平面bcmbcm所成角正弦值的取值范圍所成角正弦值的取值范圍.

21、 .【解析】【解析】(1)(1)在等腰梯形在等腰梯形abcdabcd中中,adbc,ad=ab=1,abc=60,adbc,ad=ab=1,abc=60, ,所以所以bad=cda=120bad=cda=120,adb=30,adb=30,cdb=90,cdb=90. .即即bdcd.bdcd.又因?yàn)槠矫嬗忠驗(yàn)槠矫鎎defbdef平面平面abcd,abcd,平面平面bdefbdef平面平面abcd=bd,cdabcd=bd,cd平面平面abcd,abcd,所以所以cdcd平面平面bdef,bdef,因?yàn)橐驗(yàn)閏dcd平面平面cde,cde,所以平面所以平面cdecde平面平面bdef.bdef.

22、22bdabad2ab ad cos 1203bc2. ，(2)(2)由由(1)(1)知知, ,分別以直線分別以直線db,dc,dedb,dc,de為為x x軸軸,y,y軸軸,z,z軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系, ,設(shè)設(shè)em=m(0m ),em=m(0m ),則則 設(shè)平面設(shè)平面bmcbmc的法向量為的法向量為 所以所以 3b( 3,0,0),c(0,1,0),d(0,0,0)m(m,0, 3),bc(3,1,0) bmm3,0, 3 ,db3,0,0 ，（）（），(x,y,z)，nbc03xy0bm0(m3)x3z0 ，即，nn令令x= ,x= ,則則y=3,z= -m,y=3,z

23、= -m,所以平面所以平面bmcbmc的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為n=( ,3, -m).=( ,3, -m).設(shè)設(shè)bdbd與平面與平面bcmbcm所成角為所成角為,所以所以所以當(dāng)所以當(dāng)m=0m=0時(shí)時(shí), ,取最小值取最小值 , ,當(dāng)當(dāng)m= m= 時(shí)時(shí), ,取最大值取最大值 , ,故故bdbd與平面與平面bcmbcm所成角正弦所成角正弦值的取值范圍為值的取值范圍為 . . 33332|bd|3sin|cos,bd| | |bd|(m3)12 |，nnn553125 1, 52考向二求二面角考向二求二面角( (規(guī)范解答規(guī)范解答) )【典例】【典例】(2020(2020全國全國卷卷) )如圖如圖,

24、d,d為圓錐的頂點(diǎn)為圓錐的頂點(diǎn),o,o是圓錐底面的圓心是圓錐底面的圓心,ae,ae為底面為底面直徑直徑,ae=ad.,ae=ad.abcabc是底面的內(nèi)接正三角形是底面的內(nèi)接正三角形,p,p為為dodo上一點(diǎn)上一點(diǎn),po=,po= do.do.(1)(1)證明證明:pa:pa平面平面pbc;pbc;(2)(2)求二面角求二面角b-pc-eb-pc-e的余弦值的余弦值. .66【思維流程圖】【思維流程圖】(1)(1)設(shè)出圓設(shè)出圓o o的半徑的半徑各線段的長度各線段的長度papc,papbpapapc,papbpa平面平面pbc;pbc;(2)(2)建系建系, ,寫坐標(biāo)寫坐標(biāo)求出平面求出平面pbc

25、pbc及平面及平面pcepce的法向量的法向量二面角二面角b-pc-eb-pc-e的余弦值的余弦值. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)不妨設(shè)圓不妨設(shè)圓o o的半徑為的半徑為1,oa=ob=oc=1,ae=ad=2,ab=bc=ac= ,do= 1,oa=ob=oc=1,ae=ad=2,ab=bc=ac= ,do= 3 3分分在在pacpac中中,pa,pa2 2+pc+pc2 2=ac=ac2 2, ,故故papc,papc,同理可得同理可得papb,papb,又又pbpc=p,pbpc=p,故故papa平面平面pbc.pbc.6 6分分32222626daoa3podopapbpcpo

26、ao622，(2)(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, ,則有則有故故 8 8分分考查要求考查要求基礎(chǔ)性基礎(chǔ)性學(xué)科素養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)直觀想象、邏輯推理直觀想象、邏輯推理評(píng)分細(xì)則評(píng)分細(xì)則設(shè)出圓設(shè)出圓o o的半徑為的半徑為1,1,求出求出ab=bc=acab=bc=ac的值的值, ,給給1 1分分, ,求出求出popo的值給的值給1 1分分; ;證明證明papc,papb,papc,papb,各給各給1 1分分. .3 13 12b(0)c(0)p(0 0)e01 022222， ， （ ，），3 1312bc3 0 0ce(0) cp()22222 （， ，），設(shè)平面設(shè)平面

27、pbcpbc的法向量為的法向量為m=(x,y,z),=(x,y,z),則則 可取可取m=(0, ,1),=(0, ,1),同理可求得平面同理可求得平面pcepce的法向量為的法向量為n=( ,- ,-2 ),=( ,- ,-2 ),1010分分故故coscos= = 由圖知二面角由圖知二面角b-pc-eb-pc-e為銳角為銳角, ,所以二面角所以二面角b-pc-eb-pc-e的余弦值為的余弦值為 . .1212分分bc3x0312cpxyz0222 ，mm22632 55 ，m nm n2 55考查要求考查要求綜合性綜合性學(xué)科素養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算評(píng)分細(xì)則評(píng)分細(xì)則只建

28、系正確給只建系正確給1 1分分, ,每求對(duì)一個(gè)法向量給每求對(duì)一個(gè)法向量給1 1分分, ,結(jié)果錯(cuò)誤結(jié)果錯(cuò)誤扣扣2 2分分. .【答題模板】【答題模板】【素養(yǎng)提升】【素養(yǎng)提升】求二面角的常用方法求二面角的常用方法1.1.幾何方法幾何方法: :一找二證三計(jì)算一找二證三計(jì)算, ,即先找出二面角的平面角即先找出二面角的平面角, ,再證明再證明( (一、二往往同時(shí)進(jìn)行一、二往往同時(shí)進(jìn)行),),最后最后在三角形內(nèi)計(jì)算在三角形內(nèi)計(jì)算. .2.2.空間向量法空間向量法: :求兩個(gè)平面的法向量求兩個(gè)平面的法向量, ,利用兩向量的夾角公式求解利用兩向量的夾角公式求解. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】1.1.如圖如圖,

29、,在三棱錐在三棱錐p-abcp-abc中中, ,已知已知ac=2,ab=bc=pa=ac=2,ab=bc=pa= , ,頂點(diǎn)頂點(diǎn)p p在平面在平面abcabc上的射影為上的射影為abcabc的外接圓圓心的外接圓圓心. .(1)(1)證明證明: :平面平面pacpac平面平面abc;abc;(2)(2)若點(diǎn)若點(diǎn)m m在棱在棱papa上上, , =,=,且二面角且二面角p-bc-mp-bc-m的余弦值為的余弦值為 , ,試求試求的值的值. .2amap5 3333【解析】【解析】(1)(1)如圖如圖, ,設(shè)設(shè)acac的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為o,o,連接連接po, po, 由題意由題意, ,得得bcbc2

30、2+ab+ab2 2=ac=ac2 2, ,則則abcabc為直角三角形為直角三角形, ,點(diǎn)點(diǎn)o o為為abcabc的外接圓圓心的外接圓圓心. . 又點(diǎn)又點(diǎn)p p在平面在平面abcabc上的射影為上的射影為abcabc的外接圓圓心的外接圓圓心, ,所以所以popo平面平面abc, abc, 又又popo平面平面pac,pac,所以平面所以平面pacpac平面平面abc. abc. (2)(2)由由(1)(1)可知可知popo平面平面abc,abc,所以所以poob,pooc,obac,poob,pooc,obac,于是以于是以oc,ob,opoc,ob,op所在直線分別為所在直線分別為x x軸

31、軸,y,y軸軸,z,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, ,則則o(0,0,0),c(1,0,0),b(0,1,0),a(-1,0,0),p(0,0,1),o(0,0,0),c(1,0,0),b(0,1,0),a(-1,0,0),p(0,0,1),由題意知由題意知 = ,0,1, =(1,0,1),m(-1,0,), =(1,-1,0), = ,0,1, =(1,0,1),m(-1,0,), =(1,-1,0), =(1,0,-1), =(2-,0,-). =(1,0,-1), =(2-,0,-).am ap ap bc pcmc設(shè)平面設(shè)平面mbcmbc的法向量為的

32、法向量為m=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),則則 得得 令令x x1 1=1,=1,得得y y1 1=1,z=1,z1 1= ,= ,即即設(shè)平面設(shè)平面pbcpbc的法向量為的法向量為n=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),由由 得得 令令x x2 2=1,=1,得得y y2 2=1,z=1,z2 2=1,=1,即即n=(1,1,1),=(1,1,1), bc0mc0 ，mm1111xy0(2)xz0，22(1 1).，mbc0pc0 ，nn2222xy0 xz0，coscos= = 解得解得= ,m ,= ,m ,即即m m為為papa的中點(diǎn)的中點(diǎn). .22

33、225 3333232，（）n mn m1211(0)22 ， ，2.(20202.(2020泰安一模泰安一模) )在四邊形在四邊形abcpabcp中中,ab=bc=,ab=bc= ,p=,p= ,pa=pc=2;,pa=pc=2;如圖如圖, ,將將pacpac沿沿acac邊折起邊折起, ,連接連接pb,pb,使使pb=pa.pb=pa.(1)(1)求證求證: :平面平面abcabc平面平面pac;pac;(2)(2)若若f f為棱為棱abab上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,且且apap與平面與平面pcfpcf所成角的正弦值為所成角的正弦值為 , ,求二面角求二面角f-pc-af-pc-a的的大小大小. .

34、2334【解析】【解析】(1)(1)在在pacpac中中,pa=pc=2,p= ,pa=pc=2,p= ,所以所以pacpac為正三角形為正三角形, ,且且ac=2,ac=2,在在abcabc中中,ab=bc= ,ab=bc= ,所以所以abcabc為等腰直角三角形為等腰直角三角形, ,且且abbc,abbc,取取acac的中點(diǎn)的中點(diǎn)o,o,連連接接ob,op,ob,op,所以所以obac,opac,obac,opac,因?yàn)橐驗(yàn)閛b=1,op= ,pb=pa=2,ob=1,op= ,pb=pa=2,所以所以pbpb2 2=ob=ob2 2+op+op2 2, ,所以所以opob,opob,因?yàn)?/p>

35、因?yàn)閛pac=o,ac,opopac=o,ac,op平面平面pac,pac,所以所以obob平面平面pac.pac.因?yàn)橐驗(yàn)閛bob平面平面abc,abc,所以平面所以平面abcabc平面平面pac.pac.323(2)(2)以以o o為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz,o-xyz,則則a(0,-1,0),b(1,0,0),c(0,1,0),p(0,0, ), =(1,1,0), =(0,1, ),a(0,-1,0),b(1,0,0),c(0,1,0),p(0,0, ), =(1,1,0), =(0,1, ), =(0,-1, ), =

36、(0,-2,0), =(0,-1, ), =(0,-2,0),設(shè)設(shè) (0m1).(0m1).則則 = + =(m,m-2,0),= + =(m,m-2,0),3ab ap cp33ca afmab ca cfaf 設(shè)平面設(shè)平面pfcpfc的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量n=(x,y,z).=(x,y,z).則則 所以所以令令y= ,y= ,解得解得所以所以n= = 因?yàn)橐驗(yàn)閍pap與平面與平面pfcpfc所成角的正弦值為所成角的正弦值為 , ,cf0,cp0，nnmxy(m2)0y3z0 ，32mx3mz1，2m(331)m， ，34所以所以 整理得整理得3m3m2 2+4m-4=0+4m-4=0解得

37、解得m= m= 或或m=-2(m=-2(舍去舍去),),所以所以n=(2 , ,1),=(2 , ,1),又又 為平面為平面pacpac的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量, ,所以所以coscos=, =所以所以 = , = ,由圖知二面角由圖知二面角f-pc-af-pc-a為銳角為銳角, ,所以二面角所以二面角f-pc-af-pc-a的大小為的大小為 . .22ap2 33|,4ap2m2 33 1m （）nn2333ob ob ob32ob ，nnob 66考向三立體幾何中的探索問題考向三立體幾何中的探索問題【典例】【典例】如圖如圖, ,在五面體在五面體abcdefabcdef中中,abcdef,a

38、dcd,dcf=60,abcdef,adcd,dcf=60,cd=ef=cf=2ab=2ad=2,cd=ef=cf=2ab=2ad=2,平面平面cdefcdef平面平面abcd. abcd. (1)(1)求證求證:ce:ce平面平面adf;adf;(2)(2)已知已知p p為棱為棱bcbc上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,試確定點(diǎn)試確定點(diǎn)p p的位置的位置, ,使二面角使二面角p-df-ap-df-a的大小為的大小為6060. .【解析】【解析】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閏def,cd=ef=cf,cdef,cd=ef=cf,所以四邊形所以四邊形cdefcdef是菱形是菱形, ,所以所以cedf.cedf.因?yàn)槠矫?/p>

39、因?yàn)槠矫鎐defcdef平面平面abcd,abcd,平面平面cdefcdef平面平面abcd=cd,adcd,adabcd=cd,adcd,ad平面平面abcd,abcd,所以所以adad平面平面cdef,cdef,因?yàn)橐驗(yàn)閏ece平面平面cdef,cdef,所以所以adce.adce.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍dad平面平面adf,dfadf,df平面平面adf,addf=d,adf,addf=d,所以所以cece平面平面adf.adf.(2)(2)由由(1)(1)知四邊形知四邊形cdefcdef為菱形為菱形, ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閐cf=60dcf=60, ,所以所以defdef為正三角形為正三角形. .如

40、圖如圖, ,取取efef的中點(diǎn)的中點(diǎn)g,g,連接連接gd,gd,則則gdef.gdef.因?yàn)橐驗(yàn)閑fcd,efcd,所以所以gdcd.gdcd.因?yàn)槠矫嬉驗(yàn)槠矫鎐defcdef平面平面abcd,gdabcd,gd平面平面cdef,cdef,平面平面cdefcdef平面平面abcd=cd,abcd=cd,所以所以gdgd平面平面abcd.abcd.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍dcd,adcd,所以直線所以直線da,dc,dgda,dc,dg兩兩垂直兩兩垂直. .以以d d為原點(diǎn)為原點(diǎn), ,分別以分別以da,dc,dgda,dc,dg所在的直線為所在的直線為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸軸, ,建立如圖的

41、空間直角坐標(biāo)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系系d-xyz.d-xyz.因?yàn)橐驗(yàn)閏d=ef=cf=2,ab=ad=1,cd=ef=cf=2,ab=ad=1,所以所以d(0,0,0),b(1,1,0),c(0,2,0),e(0,-1, ),d(0,0,0),b(1,1,0),c(0,2,0),e(0,-1, ),f(0,1, ),f(0,1, ),所以所以 =(0,-3, ), =(0,1, ), =(1,-1,0), =(0,2,0).=(0,-3, ), =(0,1, ), =(1,-1,0), =(0,2,0).由由(1)(1)知知 是平面是平面adfadf的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量. .33ce 3

42、df 3cb dc ce 設(shè)設(shè) =(a,-a,0)(0a1),=(a,-a,0)(0a1),則則 =(a,2-a,0).=(a,2-a,0).設(shè)平面設(shè)平面pdfpdf的法向量為的法向量為n=(x,y,z),=(x,y,z),則則令令y= a,y= a,則則x= (a-2),z=-a,x= (a-2),z=-a,所以所以n=( (a-2), a,-a). =( (a-2), a,-a). cpacb dpdccp df0y3z0ax(2a)y0.dp0 ，即，nn3333因?yàn)槎娼且驗(yàn)槎娼莗-df-ap-df-a的大小為的大小為6060, ,所以所以解得解得a= a= 或或a=-2(a=-2(

43、不合題意不合題意, ,舍去舍去).).所以所以p p在靠近點(diǎn)在靠近點(diǎn)b b的的cbcb的三等分點(diǎn)處的三等分點(diǎn)處. . |cos|= ，n|ce| |ce| nn2224 3a1212 3(a2)3aa，23【素養(yǎng)提升】【素養(yǎng)提升】解決立體幾何中探索性問題的基本方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法1.1.通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立, ,再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理, ,如果如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí), ,說明假設(shè)成立說明假設(shè)成立, ,并可進(jìn)一步證明并可進(jìn)一步證明; ;否則假設(shè)不成否則假設(shè)不成立立

44、. .2.2.探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí), ,一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】1.(20201.(2020南充一模南充一模) ) 如圖如圖, ,在四棱錐在四棱錐p-abcdp-abcd中中, ,底面底面abcdabcd是矩形是矩形,ab=2,bc=a,ab=2,bc=a,papa底面底面abcd. abcd. (1)(1)當(dāng)當(dāng)a a為何值時(shí)為何值時(shí),bd,bd平面平面pac?pac?證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)pa=pa= a=2a=2時(shí)時(shí), ,求面求面pdcpdc與面與面pabpab

45、所成二面角的正弦值所成二面角的正弦值. .12【解析】【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=2a=2時(shí)時(shí), ,四邊形四邊形abcdabcd為正方形為正方形, ,則則bdac.bdac.因?yàn)橐驗(yàn)閜apa平面平面abcd,bdabcd,bd平面平面abcd,abcd,所以所以bdpa,bdpa,又又acpa=a.acpa=a.所以所以bdbd平面平面pac.pac.故當(dāng)故當(dāng)a=2a=2時(shí)時(shí),bd,bd平面平面pac.pac.(2)(2)以以a a為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), , 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)閤 x軸的正方向軸的正方向, , 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)閥 y軸的正方向軸的正方向, , 的的方向?yàn)榉较驗(yàn)閦 z軸的正方向軸的

46、正方向, ,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz,a-xyz,ad ab ap 則則 設(shè)設(shè)n= = 是面是面pdcpdc的法向量的法向量, ,則則可取可取n= , = , 是平面是平面pabpab的法向量的法向量, ,所以所以coscos= , = ,所以所以sinsin= , = ,所以面所以面pdcpdc與面與面pabpab所成二面角的正弦值為所成二面角的正弦值為 . .d(4,0,0)c(4,2,0)p(0,0,2) dc(0,2,0) pc(4,2,2) ，(x,y,z)dc0,2y04x2y2z0pc0 ，即，nn(1,0,2)ad ad ad ad55ad nn2 552

47、 552.(20202.(2020宜賓一診宜賓一診) )在斜三棱柱在斜三棱柱abc-aabc-a1 1b b1 1c c1 1中中, ,側(cè)面?zhèn)让鎍ccacc1 1a a1 1平面平面abc,aaabc,aa1 1= = a,a,a a1 1c=ca=ab=a,abac,dc=ca=ab=a,abac,d是是aaaa1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). .(1)(1)求證求證:cd:cd平面平面abbabb1 1a a1 1; ;(2)(2)在側(cè)棱在側(cè)棱bbbb1 1上確定一點(diǎn)上確定一點(diǎn)e,e,使得使得二面角二面角e-ae-a1 1c c1 1-a-a的大小為的大小為 . .23【解析】【解析】(1)(1)因?yàn)?/p>

48、面因?yàn)槊鎍ccacc1 1a a1 1面面abc,abac,abc,abac,所以所以abab面面accacc1 1a a1 1, ,即有即有abcd;abcd;又又ac=aac=a1 1c,dc,d為為aaaa1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則cdaacdaa1 1. .因?yàn)橐驗(yàn)閍baaabaa1 1=a,=a,所以所以cdcd面面abbabb1 1a a1 1. .(2)(2)如圖所示如圖所示. .以點(diǎn)以點(diǎn)c c為坐標(biāo)系原點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn),ca,ca為為x x軸軸, ,過過c c點(diǎn)平行于點(diǎn)平行于abab的直線的直線為為y y軸軸,ca,ca1 1為為z z軸軸, ,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐

49、標(biāo)系c-xyz,c-xyz,則有則有設(shè)設(shè) 即有即有 所以所以e e點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為由條件易得面由條件易得面a a1 1c c1 1a a的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為n1 1= = 設(shè)平面設(shè)平面eaea1 1c c1 1的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為n2 2= = 由由 可得可得 111a(a,0,0)b(a,a,0)a (0,0,a)b (0,a,a)c ( a,0,a)，1e(x,y,z)bebb ，且，(xa,ya,z)( a,0,a) ，(1)a,a, a).(0,1,0).(x ,y ,z ) ，21121a c ,a e nnax0,(1)axay(1)az0 ，令令y=1,y=1,則

50、有則有n2 2= = 則則得得=1- .=1- .所以所以, ,當(dāng)當(dāng) =1- =1- 時(shí)時(shí), ,二面角二面角e-ae-a1 1c c1 1-a-a的大小為的大小為 . . 1(0,1,)1，1212211cos| 3|211(1)，n nn n331|be|bb | 3333.3.已知已知abcabc的各邊長為的各邊長為3,3,點(diǎn)點(diǎn)d,ed,e分別是分別是ab,acab,ac上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,且滿足且滿足 = = ,d,d為為abab的三的三等分點(diǎn)等分點(diǎn)( (靠近點(diǎn)靠近點(diǎn)a),(a),(如圖如圖(1),(1),將將adeade沿沿dede折起到折起到a a1 1dede的位置的位置, ,使二面

51、角使二面角a a1 1-de-de-b b的平面角為的平面角為9090, ,連接連接a a1 1b,ab,a1 1c(c(如圖如圖(2).(2).ceea12(1)(1)求證求證:a:a1 1dd平面平面bced;bced;(2)(2)在線段在線段bcbc上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)p,p,使直線使直線papa1 1與平面與平面a a1 1bdbd所成的角為所成的角為6060? ?若存在若存在, ,求出求出pbpb的長的長; ;若不存在若不存在, ,請(qǐng)說明理由請(qǐng)說明理由. .【解析】【解析】(1)(1)由題圖由題圖(1)(1)可得可得:ae=2,ad=1,a=60:ae=2,ad=1,a=60.

52、.從而從而 故得故得adad2 2+de+de2 2=ae=ae2 2, ,所以所以adde,bdde.adde,bdde.所以所以a a1 1dde,bdde,dde,bdde,22de122 1 2 cos 603 ，所以所以aa1 1dbdb為二面角為二面角a a1 1-de-b-de-b的平面角的平面角, ,又二面角又二面角a a1 1-de-b-de-b為直二面角為直二面角, ,所以所以aa1 1db=90db=90, ,即即a a1 1ddb,ddb,因?yàn)橐驗(yàn)閐edb=ddedb=d且且de,dbde,db平面平面bced,bced,所以所以a a1 1dd平面平面bced;bce

53、d;(2)(2)存在存在, ,由由(1)(1)知知eddb,aeddb,a1 1dd平面平面bced.bced.以以d d為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,以射線以射線db,de,dadb,de,da1 1分別為分別為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸的正半軸建立空間直角坐軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系標(biāo)系d-xyz,d-xyz,如圖如圖, ,過過p p作作phdephde交交bdbd于點(diǎn)于點(diǎn)h,h,設(shè)設(shè)pb=2a(02a3),pb=2a(02a3),則則bh=a,ph= a,dh=2-a,bh=a,ph= a,dh=2-a,易知易知a a1 1(0,0,1),p(2-a, a,0),e(0, ,0)

54、,(0,0,1),p(2-a, a,0),e(0, ,0),所以所以 =(a-2,- a,1).=(a-2,- a,1).因?yàn)橐驗(yàn)閑ded平面平面a a1 1bd,bd,33331pa 所以平面所以平面a a1 1bdbd的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 =(0, ,0),=(0, ,0),因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€papa1 1與平面與平面a a1 1bdbd所成的角為所成的角為6060, ,所以所以sin 60sin 60= = 解得解得a= .a= .所以所以pb=2a= ,pb=2a= ,滿足滿足02a3,02a3,符合題意符合題意. .所以在線段所以在線段bcbc上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)p,p,使直線使直

55、線papa1 1與平面與平面a a1 1bdbd所成的角為所成的角為6060, ,此時(shí)此時(shí)pb= .pb= .3de 121|pa de|3a32|pa | |de|4a4a53 ，545252專題能力提升練專題能力提升練十一空間角、空間距離的計(jì)算問題十一空間角、空間距離的計(jì)算問題(40(40分鐘分鐘8080分分) )1.(20201.(2020北京高考北京高考) )如圖如圖, ,在正方體在正方體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中中,e,e為為bbbb1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). .(1)(1)求證求證:bc:bc1 1平面平面adad1 1e;e;(2)(2)求直線

56、求直線aaaa1 1與平面與平面adad1 1e e所成角的正弦值所成角的正弦值. .【解析】【解析】不妨設(shè)棱長不妨設(shè)棱長ab=2,ab=2,如圖建系如圖建系, ,則則a(0,0,0),b(0,2,0),c(2,2,0),d(2,0,0),aa(0,0,0),b(0,2,0),c(2,2,0),d(2,0,0),a1 1(0,0,2),(0,0,2),b b1 1(0,2,2),c(0,2,2),c1 1(2,2,2),d(2,2,2),d1 1(2,0,2),e(0,2,1),(2,0,2),e(0,2,1),(1) =(2,0,2), =(2,0,2), =(0,2,1),(1) =(2,

57、0,2), =(2,0,2), =(0,2,1),設(shè)平面設(shè)平面adad1 1e e的法向量的法向量m=(x,y,z),=(x,y,z),則則 不妨取不妨取m=(-2,-1,2), =(-2,-1,2), m=0, =0, m, ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閎cbc1 1 平面平面adad1 1e,e,所以所以bcbc1 1平面平面adad1 1e;e;1bc 1ad ae 1ad0,2x2z0,2yz0,ae0, 即mm1bc 1bc (2) =(0,0,2),(2) =(0,0,2),所以所以cos ,cos= = 所以直線所以直線aaaa1 1與平面與平面adad1 1e e所成角的正弦值為所成角的正弦

58、值為 . .1aa 1aa 11aa42,2 33|aa | mm232.2.如圖如圖, ,已知四棱錐已知四棱錐p-abcdp-abcd的底面是等腰梯形的底面是等腰梯形,adbc,ad=2,bc=4,abc=60,adbc,ad=2,bc=4,abc=60, ,padpad為等邊三角形為等邊三角形, ,且點(diǎn)且點(diǎn)p p在底面在底面abcdabcd上的射影為上的射影為adad的中點(diǎn)的中點(diǎn)g,g,點(diǎn)點(diǎn)e e在線段在線段bcbc上上, ,且且ceeb=13.ceeb=13.(1)(1)求證求證:de:de平面平面pad;pad;(2)(2)求二面角求二面角a-pc-da-pc-d的余弦值的余弦值. .

59、【解題導(dǎo)引】【解題導(dǎo)引】(1)(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得由等腰梯形的性質(zhì)可證得dead,dead,由射影可得由射影可得pgpg平面平面abcd,abcd,進(jìn)進(jìn)而求證而求證; ;(2)(2)取取bcbc的中點(diǎn)的中點(diǎn)f,f,連接連接gf,gf,以以g g為原點(diǎn)為原點(diǎn),ga,ga所在直線為所在直線為x x軸軸,gf,gf所在直線為所在直線為y y軸軸,gp,gp所所在直線為在直線為z z軸軸, ,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系, ,分別求得平面分別求得平面apcapc與平面與平面dpcdpc的法向量的法向量, ,再利再利用數(shù)量積求解即可用數(shù)量積求解即可. .【解析】【解析】(1)(1)在等腰

60、梯形在等腰梯形abcdabcd中中, ,因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)e e在線段在線段bcbc上上, ,且且ceeb=13,ceeb=13,所以點(diǎn)所以點(diǎn)e e為為bcbc上靠近上靠近c(diǎn) c點(diǎn)的四等分點(diǎn)點(diǎn)的四等分點(diǎn), ,因?yàn)橐驗(yàn)閍d=2,bc=4,ce=1,ad=2,bc=4,ce=1,所以所以dead,dead,因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)p p在底面在底面abcdabcd上的射影為上的射影為adad的中點(diǎn)的中點(diǎn)g,g,連接連接pg,pg,所以所以pgpg平面平面abcd,abcd,因?yàn)橐驗(yàn)閐ede平面平面abcd,abcd,所以所以pgde.pgde.又又adpg=g,adadpg=g,ad平面平面pad,pgpad,pg