2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第三節(jié)基本不等式學(xué)案理含解析

1、第三節(jié)第三節(jié)基本不等式基本不等式最新考綱考情分析核心素養(yǎng)1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.本節(jié)是高考的熱點， 主要考查利用基本不等式求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等，常與函數(shù)結(jié)合命題， 解題時要注意應(yīng)用基本不等式的三個前提條件.1.數(shù)學(xué)運算2.邏輯推理3.數(shù)學(xué)建模知識梳理1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的條件：1a0，b0(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)2ab 時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b232ab(a，br)(2)baab42(a，b 同號)(3)ab5ab22(a，br)(4)a2b226ab22(a，br)以上不等式等號

2、成立的條件均為 ab.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè) a0，b0，則 a，b 的算術(shù)平均數(shù)為7ab2，幾何平均數(shù)為8ab，基本不等式可敘述為：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)常用結(jié)論基本不等式的變形公式：ab2 ab，abab22(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時，等號成立)(a0，b0)a1a2(a0)(當(dāng)且僅當(dāng) a1 時，等號成立)；a1a2(a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時，等號成立)abab22a2b22(a，br，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時，等號成立)基礎(chǔ)自測一、疑誤辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù) yx1x的最小值是 2.()(2)abab22成立的條件是 ab0.(

3、)(3)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要條件. ()(4)若 a0，則 a31a2的最小值是 2 a.()答案：(1)(2)(3)(4)二、走進教材2(必修 5p99例 1(2)改編)設(shè) x0，y0，且 xy18，則 xy 的最大值為()a80b77c81d82答案：c3(必修 5p100a 組 t2改編)若把總長為 20 m 的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.答案：25三、易錯自糾4(2019 屆阜陽模擬)下列結(jié)論正確的是()a若 a，br，則baab2b若 x0，則 x4x2x4x4c若 ab0，則b2aa2babd若 x2解析：選 d對于 a，當(dāng) ab0 時不

4、成立，因此 a 選項不成立；對于 b，若 x0，則 x4xx4x 2（x）4x4，當(dāng)且僅當(dāng) x2 時，等號成立，因此 b 選項不成立；對于 c，取 a1，b2，b2aa2b92ab3，因此 c 選項不成立；對于 d，若x0，2x0，2x2x2 2x2x2 成立故選 d5已知 a0，b0，且1a1b1，則 a2b 的最小值是()a32 2b32 2c2 2d4解析： 選 ba0， b0， 且1a1b1， 則 a2b(a2b)1a1b 32baab322baab32 2，當(dāng)且僅當(dāng) a 21，b122時取等號故選 b6(2019 屆沈陽模擬)已知實數(shù) x，y 滿足 x2y2xy1，則 xy 的最大值

5、為_解析：因為 x2y2xy1，所以 x2y21xy.所以(xy)213xy13xy22，當(dāng)且僅當(dāng) xy 時等號成立，即(xy)24，解得2xy2.所以 xy 的最大值為 2.答案：2考點一利用基本不等式求最值多維探究利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知兩個非負數(shù)的和為定值求其乘積的最大值，或已知兩個非負數(shù)的乘積為定值求其和的最小值，是每年高考的重點內(nèi)容常見的命題角度有：(1)通過配湊法利用基本不等式求最值；(2)通過常數(shù)代換法利用基本不等式求最值；(3)通過消元法利用基本不等式求最值；(4)利用兩次基本不等式求最值命題角度一通過配湊法利用基本不等式求最值【例 1】(1)(2020 屆惠州

6、調(diào)研)已知 x54，則函數(shù) y4x14x5的最小值為_(2)函數(shù) yx22x1(x1)的最小值為_解析(1)當(dāng) x54時，y4x14x54x514x552（4x5）14x557，當(dāng)且僅當(dāng) 4x514x5，即 x32時取等號，即 y4x14x5的最小值為 7.(2)yx22x1（x22x1）（2x2）3x1（x1）22（x1）3x1(x1)3x122 32.當(dāng)且僅當(dāng)(x1)3（x1），即 x 31 時，等號成立答案(1)7(2)2 32名師點津通過配湊法利用基本不等式求最值的實質(zhì)及關(guān)鍵點配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解

7、最值的方法配湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵命題角度二通過常數(shù)代換法利用基本不等式求最值【例 2】(1)已知 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，則1x13y的最小值是()a2b2 2c4d2 3(2)已知 a0，b0，a2b3，則2a1b的最小值為_解析(1)因為 lg 2xlg 8ylg 2，所以 lg(2x8y)lg 2，所以 2x3y2，所以 x3y1.因為 x0，y0，所以1x13y(x3y)1x13y 23yxx3y223yxx3y4，當(dāng)且僅當(dāng) x3y，即 x12，y16時取等號所以1x13y的最小值為 4.故選 c(2)由 a2b3 得13a23b1，所以

8、2a1b13a23b2a1b 43a3b4b3a432a3b4b3a83.當(dāng)且僅當(dāng) a2b，即 a32，b34時取等號答案(1)c(2)83名師點津通過常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))(2)把確定的定值(常數(shù))變形為 1.(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積為定值的形式(4)利用基本不等式求解最值命題角度三通過消元法利用基本不等式求最值【例 3】已知正數(shù) x，y，z 滿足 x2y2z21，則 s1z2xyz的最小值為_解析由條件得，x2y21z2(1z)(1z)，0z1，01z0，y0，x2y5，則（x1） （2

9、y1）xy的最小值為_解析（x1） （2y1）xy2xy2yx1xy2xy6xy2xy6xy.由 x2y5 得52 2xy，即 xy5 24，即 xy258，當(dāng)且僅當(dāng) x2y52時等號成立所以 2 xy6xy22 xy6xy4 3，當(dāng)且僅當(dāng) 2 xy6xy，即 xy3 時取等號，結(jié)合 xy258可知，xy 可以取到 3，故（x1） （2y1）xy的最小值為 4 3.答案4 3名師點津利用兩次基本不等式求最值的注意點當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否都能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性|跟蹤訓(xùn)練|1(2019 屆常州調(diào)研)若實數(shù) x 滿足 x4，則函數(shù) f(x)x9x4的最

10、小值為_解析：x4，x40，f(x)x9x4x49x442（x4）9x442，當(dāng)且僅當(dāng) x49x4，即x1 時取等號故函數(shù) f(x)x9x4的最小值為 2.答案：22若正數(shù) x，y 滿足 x26xy10，則 x2y 的最小值是_解析：因為正數(shù) x，y 滿足 x26xy10，所以 y1x26x.由x0，y0，即x0，1x26x0，解得 0 x1.所以 x2yx1x23x2x313x22x313x2 23，當(dāng)且僅當(dāng)2x313x，即 x22，y212時取等號故 x2y 的最小值為2 23.答案：2 23考點二基本不等式的實際應(yīng)用【例 5】(2019 屆孝感模擬)經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛的過程中每

11、小時耗油量 y(l)與速度 x(km/h)(50 x120)的關(guān)系可近似表示為 y175（x2130 x4 900） ，x50，80） ，12x60，x80，120.(1)該型號汽車的速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？(2)已知 a，b 兩地相距 120 km，假定該型號汽車勻速從 a 地駛向 b 地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？解(1)當(dāng) x50，80)時，y175(x2130 x4 900)175(x65)2675，當(dāng) x65 時，y 有最小值，為1756759；當(dāng) x80，120時，函數(shù) y12x60單調(diào)遞減，故當(dāng) x120 時，y 有最小值，為 10.因為 910，所以該型號汽

12、車的速度為 65 km/h 時，每小時耗油量最低(2)設(shè)總耗油量為 l，由題意可知 ly120 x，當(dāng) x50，80)時，ly120 x85x4 900 x130852x4 900 x13016，當(dāng)且僅當(dāng) x4 900 x，即 x70 時，l 取得最小值，最小值為 16；當(dāng) x80，120時，ly120 x1 440 x2 為減函數(shù)，故當(dāng) x120 時，l 取得最小值，最小值為10，因為 100，0)，則41的最小值為()a16b8c4d2解析由題意可知，apab4ad，又 b，p，d 三點共線，由三點共線的充分必要條件可得41， 又因為0， 0， 所以4141 (4)816821616，當(dāng)且僅當(dāng)16，即12，18時等號成立，故41的最小值為 16.故選 a答案a名師點津利用基本不等式求最值常與向量、三角、直線與圓、數(shù)列等知識交匯考查，求解時注意交匯知識運用及等號成立條件的確定|跟蹤訓(xùn)練|(2019 屆廣東