3-3 模糊邏輯及不精確推理方法

1、.3-3 模糊邏輯及不精確推理方法3-3-1 模糊邏輯3-3-1-1 模糊、概率和傳統(tǒng)精確邏輯之間的關(guān)系傳統(tǒng)邏輯：強(qiáng)調(diào)精確性、嚴(yán)格性。概率事件的結(jié)局是：非此即彼。模糊事件的結(jié)局是：亦此亦彼。另外，處理概率問題和模糊問題的具體方法也不一樣。3-3-1-2 模糊邏輯的歷史 100多年前，Peirce指出了模糊性在思維中的重要作用；1923年Russel再次指出這一點(diǎn)；1937年美國哲學(xué)家Black首先對“模糊符號”進(jìn)行了研究；1940年德國數(shù)學(xué)家Weyl開始研究模糊謂詞；1951年法國數(shù)學(xué)家Menger第一個使用“模糊集”術(shù)語（但解釋僅在概率意義上）；1965年Zadeh發(fā)表了著名的“模糊集”論文

2、。模糊術(shù)語或模糊現(xiàn)象：“年輕”、“派頭大”“一般”“可接受”“舒服”等。3-3-1-3 模糊集合論一. 引入傳統(tǒng)集合論中，一個對象是否屬于一個集合是界線分明的?？梢杂闷涮卣骱瘮?shù)表示。定義在某集合上，則稱是的一個分明子集。在模糊集理論中，仍然定義在上，但取值是0到1之間的任何實(shí)數(shù)（包含0和1）。此時，是模糊子集。的元素可以：屬于（即=1）；或不屬于（即=0）；或“在一定程度上”屬于（即0v(U)v(F)。Post系統(tǒng)的真值表：PPTUFTUFTUFTUTFFUTTT TTTUUUFUFTUUTUUUTUFFTFUUUFTUFFTTTTUFTFFFUFTUFFUFPost系統(tǒng)的真值計(jì)算規(guī)則示例：分

3、析：排中律不成立，因?yàn)?；矛盾律不成立，因?yàn)椋缓愕嚷刹怀闪?，因?yàn)?，但；零冪律不成立，因?yàn)?，而是De Morgan律只成立了一半，因?yàn)殡m然有規(guī)則，但，。以上這些現(xiàn)象發(fā)生的根本原因在于，它們是以真值的正負(fù)兩極為基礎(chǔ)的，而目前討論的是三極邏輯系統(tǒng)，顯然，在三極邏輯系統(tǒng)下，有關(guān)兩極邏輯的基本定律和規(guī)則失去了存在的基礎(chǔ)。結(jié)論：三極邏輯系統(tǒng)三極化得越徹底，以前的定律失敗得也應(yīng)該越徹底。因此，Post系統(tǒng)由于不再以U為中心，而是真值之間的定向循環(huán)，使得三極之間的作用和地位更加平等。5. 平等三值邏輯（略）三. 多值邏輯模糊化1. 將多值邏輯推廣到任意的n值邏輯分析表明：前面介紹的幾種三值邏輯中，只有Lukac

4、iewicz是構(gòu)造模糊邏輯的最佳邏輯基礎(chǔ)。Lukaciewicz將其三值邏輯推廣到任意多值時，滿足如下規(guī)定：2. 引進(jìn)模糊變量和模糊謂詞以便從迷糊命題邏輯過度到模糊謂詞邏輯。模糊邏輯的基本概念定義：真值：閉區(qū)間0,1內(nèi)的所有值。聯(lián)結(jié)詞：。量詞：。常量：n目函數(shù)常數(shù)，n=0時為普通常量?；騨目（模糊）謂詞常數(shù)，n=0時為普通常量。變量：(1) 普通變量；(2) 迷糊變量：取值在閉區(qū)間0，1中。項(xiàng)：每個普通常量和變量，若為項(xiàng)，則也為項(xiàng)。原子公式（在閉區(qū)間0,1中取值）：（略）合適公式：（略）合適公式的真值計(jì)算規(guī)則：沿用Lukaciewicz規(guī)則。其它概念：永真：合適公式的值都大于或等于；永假：合適

5、公式都小于或等于；可真：非永假的合適公式；可假；非永真的合適公式；Zadeh的不滿意：雖然人一個命題的真值在閉區(qū)間0,1中，但該實(shí)數(shù)仍是一個分明的數(shù)，并不模糊。因此，Zadeh提出了如下改進(jìn)的多值模糊邏輯體系。3. 使模糊變量和模糊謂詞的取值真正的模糊化使其以0,1區(qū)間上的模糊子集為其值。方法：修正前面的模糊邏輯定義的如下部分：(1) 真值：以閉區(qū)間0,1上的所有模糊子集為值。即以0,1的子集為基元集的所有模糊子集。(2) 原子公式和合適公式的取值：可取0,1上的任一模糊子集為值。(3) 真值的計(jì)算規(guī)則：（以隸屬函數(shù)表示），則，則，則，則，則注1：Zadeh模糊邏輯下，用隸屬函數(shù)表示真值的計(jì)算

6、規(guī)則與Lukaciewicz任意多值邏輯的計(jì)算規(guī)則形式是相同的！Zadeh的希望：利用模糊邏輯，不僅僅是為在一般模糊邏輯上進(jìn)行演繹，而是希望用語言的形式來表達(dá)模糊變量。例如：令一個模糊變量以年齡區(qū)間0,200上的模糊子集為值，則“年輕”、“年老”、“比較年輕”、“既不年老，也不年輕”、“年紀(jì)不算小”等被稱之為語言元素，每一語言元素即該模糊變量區(qū)間的一個模糊子集。注2：語言元素一般只能是可數(shù)多個，但不一定是有限多個。如“年輕”的情況有：“年輕”、“非常年輕”、“非常非常年輕”、“(非常)n年輕”、等。生成這些語言元素的Zadeh文法結(jié)構(gòu)(BNF結(jié)構(gòu))：=|:=年老|年輕:=非常|相當(dāng)|比較|不:

7、=而且|或者注3：每個描述詞相當(dāng)于一個基本模糊子集；每個程度詞相當(dāng)于模糊集上的一目運(yùn)算；聯(lián)結(jié)詞相當(dāng)于二目運(yùn)算，而利用這些運(yùn)算，可以將任一語言元素轉(zhuǎn)化為一個模糊集合。注4：以上文法生成的描述，應(yīng)當(dāng)是上下文有關(guān)的。否則，其生成的描述，也許有意義，如：“不年老而且相當(dāng)相當(dāng)年輕”；也許無意義，如：“非常年老而且非常年輕”。Zadeh的模糊“語義近似”概念的提出：原因：模糊語言演算模糊邏輯，將其轉(zhuǎn)換成嚴(yán)格的模糊邏輯是很困難的。且模糊演繹后得到的仍然是一個模糊集合，此時，不一定能將其翻譯成相應(yīng)的語言元素表示了。（因?yàn)?，這種模糊集合最多只有可數(shù)多個，而不是覆蓋0,1區(qū)間上的全體模糊邏輯?。罢Z義近似”的內(nèi)涵

8、和作用：定義兩個模糊集合之間的語義距離。使得在將模糊集合翻譯成語言元素時，可以翻譯成在語義上最接近該模糊集合的模糊集所對應(yīng)的語言元素。Zadeh對模糊邏輯之推廣的意義所在：分明邏輯到模糊邏輯是使邏輯變量及其謂詞之取值從0,1雙元素推廣到0,1閉區(qū)間，而Zadeh的推廣則是進(jìn)一步使其取值從0,1全序集合擴(kuò)展到一個格。因?yàn)椋?,1上的全體模糊子集之集合構(gòu)成一個格。注5：格是一種特殊偏序集合。偏序集：其元素之間的關(guān)系滿足自反、傳遞、恒等關(guān)系。在偏序集上，若能定義交和并運(yùn)算，且使得交換律、結(jié)合律和恢復(fù)律成立，則該偏序集是一個格。其它概念有：上確界、下確界、冪集、模糊冪集、完全格等。Zadeh的結(jié)果：在

9、模糊冪集（一個完全格）上取值的邏輯。問題：Zadeh的文法結(jié)構(gòu)中，程度詞和描述詞是分開的，但到了其模糊邏輯中，它們卻是合二為一的。其程度詞隱含在了作為描述詞的謂詞中了，而不能顯示地處理！Zadeh模糊邏輯與Lukaciewicz模糊邏輯的區(qū)別：Zadeh模糊邏輯指的是在0,1區(qū)間上的模糊冪集上的模糊邏輯，而Lukaciewicz模糊邏輯指的是在0,1區(qū)間上的模糊邏輯。3-3-1-5 算子模糊邏輯(Operator Fuzzy Logic)(劉敘華教授)目的：把程度詞從謂詞符號中分離出來，將其看成作用于謂詞的算子?；舅枷耄核阕樱?,1中的一個數(shù)，記為。算子作用于一個命題時，即可影響的真值。命題

10、的取值既與有關(guān)，也與原來的有關(guān)，因此，具有這種影響的真值取值方法用符號表示。其計(jì)算規(guī)則表示為，其中是原來的真值，代表在作用下的真值計(jì)算方式。的解釋意義：表示，命題在程度上是可信的。其中，的含義如下：例如：表示烏鴉都是黑的，0.9表示烏鴉幾乎都是黑的，0.1P表示幾乎沒有烏鴉是黑的。 假定表示天鵝是白的，則有表示 “幾乎沒有烏鴉是黑的等價于幾乎天鵝都是白的”這句話是很像是不對的。算子模糊邏輯類型及詳細(xì)描述（略，參見陸汝鈐人工智能（下），P600-615）。3-3-2 不精確推理方法注：不精確性和不確定性，在下文中不加區(qū)分。3-3-2-1 現(xiàn)實(shí)世界中的不精確現(xiàn)象人類知識與思維行為的精確性是相對的，

11、不精確性是絕對的。因此，人工智能的知識工程研究與應(yīng)用中，往往采取不精確推理技術(shù)來模擬人類的推理行為過程。例如：(1) 多種原因可能導(dǎo)致一種結(jié)果時，原因的不確定性或精確性。例如：引起低燒的原因很多，那么，醫(yī)生根據(jù)病者發(fā)低燒的持續(xù)時間、方式、病人的體質(zhì)及過往病史等作出的猜測性推斷是不精確的或不確定的。(2) 推理所需的信息不完全時，對推理結(jié)論的肯定性或否定性。例如：打仗時，如果完全知道敵人的計(jì)劃和行動，則必勝，但這是不可能的。所以，對敵情的判斷多數(shù)是要猜測的。又如：股市的波動與消息和情報(bào)之間的關(guān)系，對操縱股票市場者言，當(dāng)不能確證時，只能靠不確切的推斷進(jìn)行決策。(3) 背景知識不足引起的不精確推理。

12、例如：對癌癥現(xiàn)象，由于對其機(jī)理沒有完全掌握，因此，其治療、預(yù)防、檢查、診斷等工作，往往是不確定的。(4) 信息描述模糊引起。如被害者對警察描述犯罪人的時候，可能采取如下語言描述其特征：“兇手是個高個子年輕人，三角眼，鷹爪鼻，山羊胡子”。又如征婚廣告會如下描述：“本人希望尋求年輕、貌美、富裕、風(fēng)度瀟灑的意中人”。(5) 信息噪聲。例如：為逃避稅收，公司往往做假帳。為了爭功，下級往往虛報(bào)成績。雷達(dá)、聲納測試，化學(xué)、醫(yī)學(xué)分析等往往均含噪聲信息。使得基于這些信息的推理結(jié)果是不精確的。(6) 推理規(guī)則是模糊的。例如：“如果物價漲得過快，就要緊縮信貸”，“如果犯罪活動猖獗，就要趕快加大打擊力度”等。(7)

13、 推理能力不足。天氣預(yù)報(bào)問題，雖然，已有很好的理論研究成果，但實(shí)際上，當(dāng)前的計(jì)算設(shè)備無法滿足推理計(jì)算要求。如其Navi-Stocks方程的定量數(shù)值解，用巨型計(jì)算機(jī)都難以完成。3-3-2-2 不確定性推理要解決的問題不確定性推理：建立在非經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上的基于不確定性知識的推理。一般而言，它是一個從不確定性初始證據(jù)出發(fā)，運(yùn)用不確定性知識，經(jīng)過不確定性推理規(guī)則，推出具有一定程度不確定性的結(jié)論或合理的或近乎合理的結(jié)論之過程。不確定性推理中，要解決的主要問題：推理方向、方法、控制策略等基本問題；不確定性表示與度量、匹配、傳遞、合成等。一 不確定性的表示問題(1) 知識的不確定性表示：要求滿足用戶實(shí)際問題

14、的需要，同時，便于推理過程中計(jì)算結(jié)論或中間結(jié)論的不確定性。(2) 證據(jù)的不確定性表示：一是觀察或由用戶提供的初始證據(jù)的不確定性，一是推理過程中得到的結(jié)論或中間結(jié)論性證據(jù)。(3) 結(jié)論的不確定性。二 不確定性的度量問題度量標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)遵循以下原則：(1) 應(yīng)能充分表達(dá)領(lǐng)域知識和領(lǐng)域證據(jù)的不確定性；(2) 便于領(lǐng)域?qū)＜液陀脩暨M(jìn)行不確定性估計(jì)或估算；(3) 便于進(jìn)行不確定的傳遞計(jì)算，保證結(jié)論之不確定性度量不超范圍；(4) 應(yīng)當(dāng)直觀，并有理論依據(jù)支持。三 不確定性的計(jì)算問題(1) 不確定性匹配算法與確定推理不同。不確定性匹配往往用計(jì)算匹配雙方的匹配度，或者相似程度來衡量。如果相似度達(dá)到一定限度，則認(rèn)為是匹配

15、的，否則，認(rèn)為是不匹配的。該限度往往被稱為閾值。(2) 不確定性更新算法更新問題即不確定性的動態(tài)積累和傳遞問題。1) 已知前提的不確定性，規(guī)則的強(qiáng)度,其中，表示假設(shè)，則求的不確定性的算法為：。2) 并行規(guī)則算法。設(shè)為不獨(dú)立的證據(jù)，假設(shè)求得的不確定性分別為和。求證據(jù)的組合導(dǎo)致結(jié)論的不確定性的算法為：。3) 證據(jù)合取的不確定性算法。據(jù)的不確定性和，求證據(jù)合取的不確定性算法為：。4) 證據(jù)析取的不確定性算法。據(jù)的不確定性和，求證據(jù)析取的不確定性算法為：。注：證據(jù)析取和合取的不確定性統(tǒng)稱為組合證據(jù)的不確定性。(3) 常用的組合證據(jù)之不確定算法1) 最大最小法：即取組合證據(jù)之大者或者其最小者。2) 概率

16、法：即合取時取概率之乘積式，析取時取概率的和式。3) 有界法：3-3-2-3 概率推理一. 概率推理的基礎(chǔ)1 基本性質(zhì)令表示一個事件，表示事件發(fā)生的概率，則有：(1) ；(2) 必然事件的概率，不可能事件的概率為；(3) ；(4) 若事件兩兩互不相容或互斥，即，則有：。(5) 若的發(fā)生必然導(dǎo)致的發(fā)生，即，則有：。其中，表示發(fā)生而不發(fā)生。(6) 對任一事件，有。2 主要概率計(jì)算公式(1) 條件概率與乘法公式條件概率：，假定事件的發(fā)生概率；而時，規(guī)定。乘法公式：由條件概率公式可得。因此，有：，其中。(2) 獨(dú)立性公式其充要條件是。(3) 全概率公式若事件序列滿足，則對任一事件，有。(4) Baye

17、s公式公式若事件序列滿足全概率公式條件，則對任一事件（），有：。二. 推理方法目的：求出證據(jù)下，結(jié)論的發(fā)生概率。原始條件：已知前提的概率，結(jié)論的先驗(yàn)概率，并已知成立時出現(xiàn)的條件概率，則。單證據(jù)支持多個假設(shè)時：則有。多證據(jù)和多結(jié)論之間：如果它們之間都有一定程度的支持和被支持關(guān)系，則有。計(jì)算實(shí)例：（參見教材P95-96）評價：概率推理方法有較好的理論支持和數(shù)學(xué)形式描述。但要求給出結(jié)論的先驗(yàn)概率和證據(jù)的條件概率卻是很困難的。同時，要求各事件之間必須獨(dú)立。三. 主觀Bayes推理方法1. 不確定性知識的表示方法IF E THEN (LS,LN) H其中，(LS,LN)被稱為知識的靜態(tài)強(qiáng)度，LS稱為該規(guī)

18、則的充分性因子，表示證據(jù)E對結(jié)論H的支持程度，LN稱為必要性因子，表示E對結(jié)論H的支持程度。 和的取值范圍均為，具體值有領(lǐng)域?qū)＜覜Q定。主觀Bayes方法：根據(jù)前提E的概率P(E)，利用規(guī)則的LS和LN，將結(jié)論的先驗(yàn)概率P(H)更新為后驗(yàn)概率P(H|E)的過程。結(jié)論：LS越大，說明E對H的支持強(qiáng)度越強(qiáng)，而LN反映對H的支持強(qiáng)度。2. 證據(jù)不確定性的表示根據(jù)觀察得到的有關(guān)證據(jù)的概率表示為，相當(dāng)于動態(tài)強(qiáng)度。由于難以給出，所以，往往采用可信度概念，讓用戶在某一數(shù)值范圍內(nèi)選取一數(shù)作為初始證據(jù)的可信度。然后，通過某種映射關(guān)系，將轉(zhuǎn)換成。（參見教材P97P99）如：在PROSPECTOR中，用戶可在-5+5

19、之間選一數(shù)表示之。表示證據(jù)肯定不存在；表示觀察與證據(jù)無關(guān)；表示證據(jù)肯定存在；其它數(shù)與的對應(yīng)關(guān)系如教材圖3.4所示。3. 主觀Bayes方法的推理過程由Duda和Hart等于1976年提出。當(dāng)用初始證據(jù)進(jìn)行推理時，對將采用公式求出；當(dāng)采用推理中間結(jié)論作為證據(jù)時，將采用公式求出。如果條知識都支持同一結(jié)論，而每條知識的前提條件分別是個相互獨(dú)立的證據(jù)，且與觀察相對應(yīng)，則首先求出每條知識的后驗(yàn)概率，然后按下式求出所有觀察下的后驗(yàn)幾率：例如：已知下列規(guī)則：IF THEN (2,0.000001) IF THEN (100,0.000001) IF THEN (65,0. 01) IF THEN (300,

20、0.0001) 且有先驗(yàn)幾率，通過用戶得到可信度。(100,0.000001)圖2-6-2-3-1 主觀Bayes推理網(wǎng)絡(luò)(65,0.01)(300,0.0001)(2.0,0.000001)求：求解過程：（見教材P99-101）結(jié)果：?？梢姡南闰?yàn)概率經(jīng)過推理后，其后驗(yàn)概率增加到8倍多。評價：優(yōu)點(diǎn)：(1) 主觀Bayes方法的計(jì)算公式基于扎實(shí)的概率理論基礎(chǔ)。(2) 規(guī)則的和值由領(lǐng)域?qū)＜医o出，避免了大量的統(tǒng)計(jì)工作。兩者一起，全面地反映了證據(jù)與結(jié)論之間的因果關(guān)系，使推出的結(jié)論具有比較準(zhǔn)確的確定性。(3) 不僅給出了由先驗(yàn)概率確定時更新為后驗(yàn)概率的方法，也給出了不確定時的更新方法。同時，實(shí)現(xiàn)了不確

21、定推理的不確定性的逐級傳遞過程。是比較實(shí)用的方法。缺點(diǎn)：(1) 要求領(lǐng)域?qū)＜医o出規(guī)則的同時，必須給出結(jié)論的先驗(yàn)概率，比較困難。(2) 關(guān)于事件獨(dú)立性的假設(shè)太嚴(yán)格。3-3-2-4 可信度方法由Shortliffe等人提出：在確定性理論基礎(chǔ)上結(jié)合了概率理論的一種不精確推理方法?？尚哦龋簱?jù)經(jīng)驗(yàn)對一個事物或現(xiàn)象的相信程度。1 知識的不確定性表示基本表示形式：IF E THEN H CF(H,E)CF(H,E)是規(guī)則的可信度，取值范圍為-1,1，CF=1表示證據(jù)使結(jié)論為真，CF=0表示證據(jù)和結(jié)論無關(guān)系，CF0表示證據(jù)增加了結(jié)論為真的可能，CF0表示證據(jù)減少了結(jié)論為真的可能。：信任增長度；：不信任增長度；

22、討論：，則；，則；若，即為真時，；若，即為假時， ；若，即對沒有影響時，；對同，若有個互不相容的假設(shè)，則有：，若發(fā)現(xiàn)1的情形，表明專家給定的可信度不合理，應(yīng)當(dāng)調(diào)整。與概率既有一定關(guān)系，又有區(qū)別。例如：，而，即證據(jù)對假設(shè)有利，則對其不成立就不利，且兩者的影響程度相同。結(jié)論：由于先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率難以獲得。因此，往往由領(lǐng)域?qū)＜抑苯咏o出。即：如果證據(jù)增加結(jié)論的可信度，則可信度大于零，否則，小于零，如果沒有關(guān)系，則為零。2 證據(jù)的不確定性表示初始證據(jù)的可信度由用戶在系統(tǒng)運(yùn)行時給出，中間結(jié)果的可信度則由推理過程計(jì)算出。3 可信度方法的實(shí)現(xiàn)(1) 組合證據(jù)的不確定性算法對多個單一證據(jù)的合取，采用：對多個單

23、一證據(jù)的析取，采用：(2) 不確定性的傳遞方法即由證據(jù)的可信度和規(guī)則的可信度，計(jì)算結(jié)論的可信度。方法如下：(3) 兩個獨(dú)立證據(jù)推出同一假設(shè)的合成算法IF THEN ()IF THEN ()則，所以注：MYCIN系統(tǒng)對第三種情形做了修正，結(jié)果如下：計(jì)算實(shí)例：假定有五條規(guī)則如下：IF THEN (0.8):IF THEN (0.6):IF THEN (-0.5):IF THEN (0.7):IF THEN (0.9)從用戶處獲得了以下證據(jù)的可信度：（計(jì)算過程參見教材P105-106）3-3-2-5 證據(jù)理論由Dempster提出，由Shafer發(fā)展，又稱D-S理論。1 形式化描述基本假設(shè)：(1)用

24、集合表示命題。(2)設(shè)變量所有取值的集合，且中各元素互斥，任一時刻只能取中某一元素為值，則稱為的樣本空間。(3)的任何一個子集都對應(yīng)一個關(guān)于的命題，表述為“的值在中”?；靖拍睿?1) 概率分配函數(shù)定義3-3-2-5-1 設(shè)為樣本空間，領(lǐng)域內(nèi)的命題都由的子集表示，則概率分配函數(shù)定義如下：，且滿足，則稱是上的概率分配函數(shù)，為的基本概率數(shù)。注1：表示樣本空間的冪集，其子集個數(shù)為，如果的元素個數(shù)為。注2：概率分配函數(shù)的作用是把的任一子集都映射成0,1上的一個數(shù)。定義3-3-2-5-2 命題的精確信任度：當(dāng)時，且由單個元素構(gòu)成時，表示相應(yīng)命題的精確信任度；當(dāng)由多個元素構(gòu)成時，也表示該多個元素構(gòu)成的子集的整體精確信任度，但對該子集的任何更小的子集單位，不能確定其精確信任度（由于存在未知信息導(dǎo)致無法進(jìn)一步分配該整體信任度于子集的各成員及其它子子集成員?。┳?：概率分配函數(shù)不是概率。(2) 信任函數(shù)定義3-3-2-5-3 命題的信任函數(shù)為，。