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微專題(十七)共線定理的推廣共線定理:已知,為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,設(shè)xy,則a,b,c三點(diǎn)共線的充要條件為xy1.推廣形式:如右圖所示,直線deab,c為直線de上任一點(diǎn),設(shè)xy(x,yr)當(dāng)直線de不過點(diǎn)p時(shí),直線pc與直線ab的交點(diǎn)記為f,因?yàn)辄c(diǎn)f在直線ab上,所以由三點(diǎn)共線結(jié)論可知,若(,r),則1.由pab與ped相似,知必存在一個(gè)常數(shù)mr,使得m,則mmm.又xy(x,yr),所以xymmm.以上過程可逆因此得到結(jié)論:xy,則xym(定值),反之亦成立例1如圖,在正六邊形abcdef中,p是cde內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn),設(shè)(,r),則的取值范圍是_解析:當(dāng)p在cde內(nèi)時(shí),直線ec是最近的平行線,過d點(diǎn)的平行線是最遠(yuǎn)的,所以,3,4答案:3,4例2如圖所示,a,b,c是圓o上的三點(diǎn),線段co的延長線與ba的延長線交于圓o外的一點(diǎn)d,若mn,則mn的取值范圍是_解析:由點(diǎn)d是圓o外的一點(diǎn),可設(shè)(1),則(1).因?yàn)閏、o、d三點(diǎn)共線,令(1)所以(1,1)因?yàn)閙n,所以m,n,所以mn(1,0)答案:(1,0)變式練如圖,在扇形oab中,aob,c為弧ab上的動(dòng)點(diǎn),若xy,則x3y的取值范圍是_微專題(十七)變式練解析:x3y(),如圖作,則考慮以向量,為基底,顯然,當(dāng)c在a點(diǎn)時(shí)經(jīng)過m1的平行線,當(dāng)c在b點(diǎn)時(shí)經(jīng)過m3的平行線,這兩條線分別是
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