2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合常用邏輯用語(yǔ)與不等式1.4一元二次方程與一元二次不等式學(xué)案新人教A版

1、1.4一元二次方程與一元二次不等式必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表判別式=b2-4ac0=00)的圖象ax2+bx+c=0(a0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2xx-b2arax2+bx+c0)的解集x|x1x0f(x)g(x)0.考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(xr),當(dāng)x=-b2a時(shí),y取得最小值為4ac-b24a.()(2)一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(xr)的函數(shù)值恒為負(fù)的充要條件是a0,b2-4ac0.()(3)若關(guān)于x的不等式ax

2、2+bx+c0.()(4)不等式x-2x+10的解集是-1,2.()(5)若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c0的解集為r.()2.(2020遼寧沈陽(yáng)模擬)滿足關(guān)于x的不等式(ax-b)(x-2)0的解集為x12x2,則滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)的值可以是.3.(2019天津,文10)設(shè)xr,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范圍為.4.不等式(x+3)(1-x)0的解集為.5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式mx2+mx-10恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)一元二次不等式的解法(多考向探究)考向1不含參數(shù)的一元二次不等式【

3、例1】解下列不等式:(1)2x2+5x-30;(4)-x2+6x-100.解題心得1.解一元二次不等式的4個(gè)步驟變把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式判計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式求求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)數(shù)根寫(xiě)利用“大于取兩邊,小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集2.求解不含參數(shù)的一元二次不等式口訣函數(shù)方程不等式,圖象交點(diǎn)是標(biāo)志;首項(xiàng)系數(shù)先化正,判別式,符號(hào)定;若為正,記口訣,小于中間大于側(cè).考向2含參數(shù)的一元二次不等式【例2】解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+10).解題心得解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)不等式-2x2+x+30的解集是()a.x|x

4、32c.x-1x32d.xx32(2)(2020云南玉溪一中月考)不等式x+5(x-1)22的解集是()a.-3,12b.-12,3c.12,1(1,3d.-12,1(1,3(3)(2020福建廈門(mén)模擬)求不等式12x2-axa2(ar)的解集.考點(diǎn)一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例3】某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè),上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元/輛,出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛,年銷(xiāo)售量為1 000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次,適度增加投入成本.若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x(0x1),則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.6x.已知年利潤(rùn)=(出廠價(jià)-投入成本)年

5、銷(xiāo)售量.(1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式;(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加,問(wèn)投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解題心得解不等式應(yīng)用題的步驟對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖所示,某小區(qū)內(nèi)有一個(gè)矩形花壇abcd,現(xiàn)將這一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇ampn,要求點(diǎn)b在am上,點(diǎn)d在an上,且對(duì)角線mn過(guò)點(diǎn)c,已知ab=3 m,ad=2 m.要使矩形ampn的面積大于32 m2,則dn的長(zhǎng)度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?考點(diǎn)三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用【例4】設(shè)拋物線y=x2+mx+2與以a(0,1),b(2,3)為端點(diǎn)的線段總有兩個(gè)交點(diǎn),求m的取值范圍.解題心得一元二次不等式解集逆向應(yīng)用問(wèn)題

6、的解法及步驟(1)求解方法:由已知不等式的解可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩根,從而由根與系數(shù)的關(guān)系,找出系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,寫(xiě)出不等式的解集.(2)求解步驟:第一步:審結(jié)論明確解題方向如要解cx2+bx+a0,首先確定c的符號(hào),最好能確定a,b,c的值.第二步:審條件挖掘題目信息利用一元二次方程的根與一元二次不等式的解集的關(guān)系列出關(guān)于a,b,c的方程組,用a表示b,c.第三步:建聯(lián)系找解題突破口由給定不等式的解集形式確定關(guān)于a,b,c的方程組用a表示b,c代入所求不等式求解cx2+bx+a0的解集.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)變量x滿足x2+bx-x(b-1),并且x2+bx的最小值是-12,求b.考點(diǎn)一元二

7、次不等式恒成立問(wèn)題(多考向探究)考向1在r上恒成立【例5】(2020北京東城高三模擬)若一元二次不等式2kx2+kx-380(a0)恒成立的充要條件是a0,b2-4ac0.(2)ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要條件是a0,b2-4ac0在集合a中恒成立,即集合a是不等式f(x)0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題,即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閙,n,則f(x)a恒成立f(x)mina,即ma;f(x)a恒成立f(x)maxa,即na.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2020山西忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于x的不等式x2-4xm對(duì)任意x(0,1恒成立,

8、則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()a.(-,-3b.-3,+)c.-3,0)d.-4,+)(2)(2020河北石家莊模擬)若不等式x2+mx-10,x1x2=m0,解得m|0m1;(2)=(m-3)2-4m0,3-m0,解得m|m9;(3)0,m0,解得m|m0.【例2】關(guān)于x的方程x2+(m-3)x+m=0滿足下列條件,求m的取值范圍:(1)一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于1;(2)一個(gè)根在(-2,0)內(nèi),另一個(gè)根在(0,4)內(nèi);(3)一個(gè)根小于2,一個(gè)根大于4;(4)兩個(gè)根都在(0,2)內(nèi).思考對(duì)于此題韋達(dá)定理適合嗎?還有哪些方法可以解決此問(wèn)題呢?能否利用數(shù)形結(jié)合的思想列出符合題意的不等式?解令f(x)=x

9、2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于1,則f(1)=2m-20,解得m0,f(0)=m0,解得-45m0,故m的取值范圍為-45,0.(3)若方程x2+(m-3)x+m=0的一個(gè)根小于2,一個(gè)根大于4,則f(2)=3m-20,f(4)=5m+40,2-m-324,解得-5m0,f(0)=m0,0-m-322,=(m-3)2-4m0,解得230)滿足下列條件,請(qǐng)畫(huà)出方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象,列出滿足條件的不等式.(1)一個(gè)根在(m,n)內(nèi),另一根在(p,q)內(nèi);(2)兩個(gè)根都在(m,n)內(nèi).解(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),滿足題意的圖象如

10、圖,則f(m)f(n)0,f(p)f(q)0.(2)0,m-b2a0,f(n)0.歸納小結(jié)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a0)分布情況兩根都在(m,n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m,n)內(nèi)一根在(m,n)內(nèi),另一根在(p,q)內(nèi)大致圖象(a0)得出的結(jié)論0,f(m)0,f(n)0,m-b2anf(m)f(n)0,f(n)0,f(p)0,或f(m)f(n)0,f(p)f(q)0大致圖象(a0)得出的結(jié)論0,f(m)0,f(n)0,m-b2anf(m)f(n)0f(m)0,f(p)0,f(q)0,或f(m)f(n)0,f(p)f(q)0的解集為x12x2,方程(ax-b)(x-2)=0的實(shí)數(shù)根

11、為12和2,且a0,ba=12,即a=2b0,則滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)的值可以是(-2,-1).3.-1,23由3x2+x-20,得(x+1)(3x-2)0.解得-1x23.滿足題意的x的取值范圍是-1,23.4.x|-3x1由題知,(x+3)(1-x)0,即(x+3)(x-1)0,解得-3x1,所以不等式的解集為x|-3x1.5.(-4,0當(dāng)m=0時(shí),mx2+mx-1=-10,不等式恒成立;當(dāng)m0時(shí),由m0,=m2+4m0,解得-4m0,方程2x2+5x-3=0的兩根為x1=-3,x2=12,作出函數(shù)y=2x2+5x-3的圖象,如圖1所示.由圖可得原不等式的解集為x-3x0,解方

12、程3x2-6x+2=0,得x1=3-33,x2=3+33,作出函數(shù)y=3x2-6x+2的圖象,如圖2所示,由圖可得原不等式的解集為xx3-33,或x3+33.圖3(3)=0,方程4x2+4x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=-12.作出函數(shù)y=4x2+4x+1的圖象如圖3所示.由圖可得原不等式的解集為xx12,xr.(4)原不等式可化為x2-6x+100,=-40,方程x2-6x+10=0無(wú)實(shí)根,原不等式的解集為.例2解原不等式變?yōu)?ax-1)(x-1)0,所以x-1a(x-1)1時(shí),解得1ax1;當(dāng)a=1時(shí),解集為;當(dāng)0a1時(shí),解得1x1a.綜上,當(dāng)0a1時(shí),不等式的解集為x1x1時(shí),不等

13、式的解集為x1ax1.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)d(2)d(1)不等式-2x2+x+30,因?yàn)?(-1)2-42(-3)=250,所以方程2x2-x-3=0的兩根為x1=-1,x2=32.又二次函數(shù)y=2x2-x-3的圖象開(kāi)口向上,所以不等式-2x2+x+30的解集是xx32,故選d.(2)不等式可化為2x2-5x-3(x-1)20,即(2x+1)(x-3)(x-1)20,則2x+10,x-30,x-10,解得-12x1,或10,即(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.當(dāng)a0時(shí),不等式的解集為-,-a4a3,+;當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為(-,0)(0

14、,+);當(dāng)a0時(shí),不等式的解集為-,a3-a4,+.例3解(1)由題意,得y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1000(1+0.6x)(0x1),整理得y=-60x2+20x+200(0x0,0x0,0x1,解得0x0)m,則an的長(zhǎng)為(x+2)m.因?yàn)閐nan=dcam,所以am=3(x+2)x,所以s矩形ampn=anam=3(x+2)2x.由s矩形ampn32,得3(x+2)2x32.又x0,得3x2-20x+120,解得0x6.即dn的長(zhǎng)的取值范圍是0,23(6,+).例4解線段ab的方程為y=x+1(0x2),代入拋物線方程得x2+(m-1)x+1=0.則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程f(x)

15、=x2+(m-1)x+1=0在0,2上總有兩個(gè)根.由題可得f(0)=10,f(2)=2m+30,0,0-m-123或m-1,-3m1.故m的取值范圍是-32,-1.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3解由x2+bx-x,得xx+(b+1)0.又b-1,b+10,則0x-(b+1).令f(x)=x2+bx,則f(x)=x+b22-b24.求f(x)在的范圍內(nèi)的最小值.(1)若-(b+1)-b2,即-2b-1,則f(x)在x=-(b+1)時(shí)取到最小值,f(x)min=f(-b-1)=b2+12-b24=b+1,因而b+1=-12,即b=-32.(2)若-b2-(b+1),即b-2,則f(x)在x=-b2時(shí)取到最小值,f(x

16、)min=f-b2=-b24,因而-b24=-12,即b=2.b=2不滿足b-2,故b=2舍去.綜上,得b=-32.例5d一元二次不等式2kx2+kx-380對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則必有2k0,=k2-42k(-38)0,解得-3k0.例6a(方法1)令f(x)=x2-2x+a,則由題意,得f(-1)=(-1)2-2(-1)+a0,f(2)=22-22+a0,解得a-3,故選a.(方法2)當(dāng)x-1,2時(shí),不等式x2-2x+a0恒成立,等價(jià)于a-x2+2x恒成立,即在區(qū)間-1,2上,a小于函數(shù)f(x)=-x2+2x的最小值.而f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,則當(dāng)x=-1時(shí),f(x)min=-3,故可得a-3,故選a.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)a(2)-22,0(1)x2-4xm對(duì)任意x(0,1恒成立,令f(x)=x2