01新初三數(shù)學(xué)自主招生進(jìn)度一塞瓦定理與相似三角形證明(教師)

1、塞瓦定理與相似三角形證明【塞瓦定理】在 ABC內(nèi)任取一點(diǎn)0直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F ,則BD CE AF 1。DC EA FB證明：法一：可利用梅涅勞斯定理證明:在厶ADC中，割線BOECBDOAE1 BDOAEC在厶AIBD中,割線COF.BCDOAF1CDOAFBBDCE AF心即得：1DCEA FB法二：也可以利用面積關(guān)系證明.bdS ABDS BODS ABDS BODDCS ACDS CODS ACDS CODCES BOCAFS AOC冋理 -EAS AOBFBS BOCBDCE AFXX得-1DCEA FB【塞瓦定理的逆定理】如果有三點(diǎn)F、D、E分別在 ABC的

2、三邊AB、BC、CA上，且滿足BD CE AFDC EA FB1，那么AD、BE、CF三線交于一點(diǎn)。注:利用塞瓦定理的逆定理可判定三線共點(diǎn)，如證明三角形三條中線交于一點(diǎn)；三角形三 條角平分線必交于一點(diǎn)；三角形三條高線交于一點(diǎn)等。BD 2 AE 41.已知 ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且-，品5，連接AF6AD、BE交于點(diǎn)P，連接CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F ,則盲.（二）FB5CF與對(duì)邊分別交于點(diǎn) D、E、F 。 （用塞瓦定理的逆定理證明）證明：由角平分線定理知ABBD CE 因此DC EAACAFBD ACDC，BCAB BC ACAF BCCEFBFBABEAAC AB BC由塞瓦定

3、理逆定理得 AD、BE、CF交于1.點(diǎn)。2.已知： ABC內(nèi)角平分線 AD、BE、求證：三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。3.設(shè)AM是厶ABC的BC邊上的中線，G是AM上任意一點(diǎn)，CG交AB于F , BG交AC于E，求證:EF / BC .證明：由塞瓦定理得:AF BM CEFB MC EA/ BMCMAFFBAEEC EF / BC .4.如圖，在 ABC中,F、E分別在邊 AB、AC上，且FE / BC ,設(shè)BE與CF交于點(diǎn)G，求證：AG通過(guò)BC的中點(diǎn)M . 證明：連結(jié)AM/ FE / BCAFAEFBECBMCMAFBMCE 1EAFBMCAM、BE、CF三線共點(diǎn), BE與 CF交于點(diǎn)G A

4、G通過(guò)BC的中點(diǎn)M .5.如圖，已知在 ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AD平分BAC，過(guò)點(diǎn)B作BE AD于點(diǎn)E , BE交AM于N。求證:DN /AB。C證明：連結(jié)EM并延長(zhǎng)交AB于G，延長(zhǎng)BE、AC交于F . AD 平分 BAC ,且BEAD ,AF , BEEF ,又 BM MC ,二 ME /CF BG GA在厶ABE中，由塞瓦定理，得AG BN EDGB NE DABNDANEEDDN / AB .ME /ACME / AFBMMCAC ME MAMDMDMEMNCF2MEAFMEAC CF MEAC MEBMMAMDMN法二:AF MEMEBG GA。BD 26.在厶ABC中，D是BC上

5、的點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，AD、BE交于點(diǎn)0,C0DC 5交AB于F。已知S ABC 63，求四邊形BDOF的面積。解：對(duì) ABC及點(diǎn)0，由塞瓦定理，得AFFB5,又對(duì)于 ABD，割線FOC，2S四邊形BDOFDBAsCBAs2 一 7BcAs一由梅氏定壬理AFBCDO1 DO,OA2S AFOAFAO575pq 1八i人l二七土FBCDOA7S ABDABAD799即 S AFO5S9ABD。法二:（面積法）對(duì)厶ABC及點(diǎn)O，由塞瓦AF定理，得FB2設(shè)2SBOD10x，則S boaAEAF5S COD25 x，二S BOC35x ,-1，二 SBOA35x , S BOCECFB2S AOBBD2

6、175xS BOF10x ,5 * *S AOCS AOCCD52175x235x35x63,解得x -, -SBDOF20x8。257.如圖， BDF是直角三角形，以直角邊BD、DF為邊長(zhǎng)分別向外作正方形 ABDC、DFHG，聯(lián)結(jié)AF交BH于點(diǎn)N，交BG于點(diǎn)Q ,BH交CF于點(diǎn)M，求證:DN BF證明：過(guò)D點(diǎn)作DE BF于點(diǎn)E，（分析：只需證：DE、FQ、BM三線共點(diǎn)即可，即證：匹 竺 1即可）MF EB QD/ BD / FH , AB / DF.DMBQ AB_MF FH QD DF/ BDF是直角三角形， DE BF由射影定理知：DF 2FEFB , BD2BE BFFEDF2EBBD

7、 2 DMFEBQBDDF2AB1MFEBQDFHBD2DF由塞瓦定理逆定理知：DE、FQ、BM三線共點(diǎn) DN BF 。法二：利用三條垂線交于一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作DE BF于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BS點(diǎn)P，只需證：BP SF ,易證： ABF = BDS , BF BFH N SDF , DFP 在厶 BSF 中，SE BF , BP N BSF的垂心AF交直線DE于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)SF交BH于DS ,FHP , BP SF。SF , FA BS , N在DE上。AC于點(diǎn)F , CE8.如圖，AM是銳角 ABC的角平分線，ME AB于點(diǎn)E , MF 與BF交于點(diǎn)P。求證：AP BC 。證明：作AD BC于點(diǎn)D。易證

8、 BEMBDA , MCF ACD BEBMCFMCBDAB，CDAC/ AM 是:銳角ABC的角平分線, BMMCABACBECFBDCD又 AEAFAE BD CF BD CFEB DC FA DC EB由塞瓦定理逆定理知，AD、BF、CE三線共點(diǎn)， AP BC。9.設(shè)AD是厶ABC的高，且D在BC邊上，若P是AD上任一點(diǎn)，BP、CP分別與AC、AB交于E和F，求證：EDA證明：過(guò)A點(diǎn)作AD的垂線， 欲證 EDA FDA易知MNFDA。與DE、，只需證ANAFAMAEBDFB，DC ECAD、BE、CF相交與點(diǎn)P，由塞瓦定理得：AFBDCE 1FBDCEAANBDDC 1AMBDDCAMA

9、N/ BCFDA。F作BC的垂線，垂足分別為N、H。E、DF的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) M、N。AM AN EDA法二：構(gòu)造截割性質(zhì)，如圖分別過(guò) FH AD ENFGAPEMFHADENFHFGENEMFG / EM ,HGPD/IFGGPGPHDEMPE，PEDNFHFGGPHDENEMPEDNFHDEND90 , FHDENDFDHEDNEDAFDA?！菊n后作業(yè)】1.已知：銳角 ABC三邊上的高線 求證：三角形三條高線交于一點(diǎn)。AD、BE、CF與對(duì)邊分別交于點(diǎn)（用塞瓦定理的逆定理證明）D、C同理可證ACCDBCBCCE1 AB所以1ABACBCACBCAB剛AECDBF1。即-ECDBFA證明：在

10、銳角三角形中，易證ACF口 ABAEABE，即-ACAF ；BFBDAECDBFAE CDBFAFCEBDEC DB。FA由于三角形的三條高線不可能平行，由塞瓦定理逆定理得AD、BE、CF 交于點(diǎn)?！緜溆谩?、 塞瓦定理的逆定理1. 如果有三點(diǎn)AF BD |FB DCF、D、E分別在 ABC的三邊 AB、BC、CA上，且滿足CE1，那么AD、BE、CF三線交于一點(diǎn)；EA證明：設(shè)AD、根據(jù)塞瓦定理:AF AFBE交于點(diǎn)0，聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交 AB于F。BDDCABAFFBCEEAABF B2. 如果AFF BFBD在邊BC上，BD CEFBF、, F B FB , F與 F 重合，即證。E分別在B

11、A、CA的延長(zhǎng)線上，且滿足FB DC EA1，那么AD、BE、CF三線交于一點(diǎn)或 AD / BE /CF。E證明：設(shè)DA、塞瓦定理:OE CFEB F0OBADFBE交于點(diǎn)0，聯(lián)結(jié)CO交BA的延長(zhǎng)線于F ，下面證F與F重合。OE BD CF1EB DC FOAF CES AOCS BOCS AOCFBEAS BOCS AOBS AOBS AOC S abcSaocS ABC S AOBSaobAF BD CE 1F B DC EAAF AFABAB,二，二 FBF B FBFB FBFB，二F與F重合，即證。(2)若 AD / BE ,AFFBBD CEDC EA1及比例線段:BD EADC

12、ACAFFBACCEBE /CF , AD/BE/CF點(diǎn)；三角形【注】利用塞瓦定理的逆定理可判定三線共點(diǎn)，如證明三角形三條中線交于 三條角平分線必交于一點(diǎn)；三角形三條高線交于一點(diǎn)等。1.如圖，在 ABC中，CD AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D , ACB、 CEB和 CEA的平分線分別交 AB、BC、AC于點(diǎn)E、F、G，連結(jié)AF、BG相交于點(diǎn)0。(1) 求證：點(diǎn)0在CE 上;(2) 若 AC 15, BC 20, CD 12，求 CO 的長(zhǎng)。解：(1 ) EG平分CEA , EF 平分 CEB,CG EC BFEBGA EA，F(xiàn)CEC. CGAEBFECAE EB1GAEBFCEAEB EC1由塞

13、瓦定理逆定理知：點(diǎn) O在CE上。(2 ) AC15,BC20,CD 12, AD9 ,BD16, AB 7,AECA3- AE3 , EB4 ,EBCB4在厶BCE中,割線AOFCOEABF “BF由梅式定理得：1,tOEABFCFCCO3412,2OE7ED 12, CE 12、.2.EB 4EC 12 一 2COOE7 2，: CO OE 12 . 2 , CO罟（7 2 1）。2.已知 ABC ,向外作長(zhǎng)方形 ABDE、ACFG、BCHK ,又設(shè)直線DE與直線GF交 于P，直線DE與直線KH交于Q ,直線KH與直線GF交于R。證明：AP、BQ、CR共點(diǎn)。D解：延長(zhǎng)PA交BC、QR于點(diǎn)A、

14、P，同理定義B、C。只須證AA、BB、CC共點(diǎn)即可。記長(zhǎng)方形 ABDE、ACFG、BCHK的面積分別為S1、S2、S3 。BAS PAB色，同理可證：CBS3ACS2A CS PACS2BAS1,C BS3.BA CB AC - 1 ,AC BA C B AA、BB、CC不平行根據(jù)塞瓦定理逆定理，AA、BB、CC共點(diǎn)。3.設(shè) ABC的邊AB、BC、CA上分別有點(diǎn)F、D、E，且AD、BE、CF共點(diǎn), 有 DEF的邊DE、EF、FD上分別有點(diǎn)Z、X、Y , DX、EY、FZ也共點(diǎn)。求證：AX、BY、CZ共點(diǎn)。AAC塞瓦定理：AFBD CE ,EXFYDZ11 ,FBDC EAXFYDZEAB BXS ABXAF S AFXABAEFXXCS ACXACSAEXACAFEXAE同理可證：CYBC BF YDAZACCDEZYAAB BD FYZBBCCEDZ BXCYAZ 1ZB XCYA AX、BY、CZ共點(diǎn)。B解：延長(zhǎng)AX交BC于點(diǎn)X，同理定義Y、Z。4.已知 ABC中，AD、BE、CF是角平分線，求證: DE DF。BACo120BAC 120o當(dāng)且僅當(dāng)證明：（i）若延長(zhǎng)CA至一點(diǎn)K，那么 KAFBA