01新初三數(shù)學(xué)自主招生進度一塞瓦定理與相似三角形證明(教師)

1、塞瓦定理與相似三角形證明【塞瓦定理】在 ABC內(nèi)任取一點0直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F ,則BD CE AF 1。DC EA FB證明：法一：可利用梅涅勞斯定理證明:在厶ADC中，割線BOECBDOAE1 BDOAEC在厶AIBD中,割線COF.BCDOAF1CDOAFBBDCE AF心即得：1DCEA FB法二：也可以利用面積關(guān)系證明.bdS ABDS BODS ABDS BODDCS ACDS CODS ACDS CODCES BOCAFS AOC冋理 -EAS AOBFBS BOCBDCE AFXX得-1DCEA FB【塞瓦定理的逆定理】如果有三點F、D、E分別在 ABC的

2、三邊AB、BC、CA上，且滿足BD CE AFDC EA FB1，那么AD、BE、CF三線交于一點。注:利用塞瓦定理的逆定理可判定三線共點，如證明三角形三條中線交于一點；三角形三 條角平分線必交于一點；三角形三條高線交于一點等。BD 2 AE 41.已知 ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且-，品5，連接AF6AD、BE交于點P，連接CP并延長交AB于點F ,則盲.（二）FB5CF與對邊分別交于點 D、E、F 。 （用塞瓦定理的逆定理證明）證明：由角平分線定理知ABBD CE 因此DC EAACAFBD ACDC，BCAB BC ACAF BCCEFBFBABEAAC AB BC由塞瓦定

3、理逆定理得 AD、BE、CF交于1.點。2.已知： ABC內(nèi)角平分線 AD、BE、求證：三角形三條內(nèi)角平分線交于一點。3.設(shè)AM是厶ABC的BC邊上的中線，G是AM上任意一點，CG交AB于F , BG交AC于E，求證:EF / BC .證明：由塞瓦定理得:AF BM CEFB MC EA/ BMCMAFFBAEEC EF / BC .4.如圖，在 ABC中,F、E分別在邊 AB、AC上，且FE / BC ,設(shè)BE與CF交于點G，求證：AG通過BC的中點M . 證明：連結(jié)AM/ FE / BCAFAEFBECBMCMAFBMCE 1EAFBMCAM、BE、CF三線共點, BE與 CF交于點G A

4、G通過BC的中點M .5.如圖，已知在 ABC中，M是BC的中點，AD平分BAC，過點B作BE AD于點E , BE交AM于N。求證:DN /AB。C證明：連結(jié)EM并延長交AB于G，延長BE、AC交于F . AD 平分 BAC ,且BEAD ,AF , BEEF ,又 BM MC ,二 ME /CF BG GA在厶ABE中，由塞瓦定理，得AG BN EDGB NE DABNDANEEDDN / AB .ME /ACME / AFBMMCAC ME MAMDMDMEMNCF2MEAFMEAC CF MEAC MEBMMAMDMN法二:AF MEMEBG GA。BD 26.在厶ABC中，D是BC上

5、的點，E是AC中點，AD、BE交于點0,C0DC 5交AB于F。已知S ABC 63，求四邊形BDOF的面積。解：對 ABC及點0，由塞瓦定理，得AFFB5,又對于 ABD，割線FOC，2S四邊形BDOFDBAsCBAs2 一 7BcAs一由梅氏定壬理AFBCDO1 DO,OA2S AFOAFAO575pq 1八i人l二七土FBCDOA7S ABDABAD799即 S AFO5S9ABD。法二:（面積法）對厶ABC及點O，由塞瓦AF定理，得FB2設(shè)2SBOD10x，則S boaAEAF5S COD25 x，二S BOC35x ,-1，二 SBOA35x , S BOCECFB2S AOBBD2

6、175xS BOF10x ,5 * *S AOCS AOCCD52175x235x35x63,解得x -, -SBDOF20x8。257.如圖， BDF是直角三角形，以直角邊BD、DF為邊長分別向外作正方形 ABDC、DFHG，聯(lián)結(jié)AF交BH于點N，交BG于點Q ,BH交CF于點M，求證:DN BF證明：過D點作DE BF于點E，（分析：只需證：DE、FQ、BM三線共點即可，即證：匹 竺 1即可）MF EB QD/ BD / FH , AB / DF.DMBQ AB_MF FH QD DF/ BDF是直角三角形， DE BF由射影定理知：DF 2FEFB , BD2BE BFFEDF2EBBD

7、 2 DMFEBQBDDF2AB1MFEBQDFHBD2DF由塞瓦定理逆定理知：DE、FQ、BM三線共點 DN BF 。法二：利用三條垂線交于一點過點D作DE BF于點E，過點B作BS點P，只需證：BP SF ,易證： ABF = BDS , BF BFH N SDF , DFP 在厶 BSF 中，SE BF , BP N BSF的垂心AF交直線DE于點S，聯(lián)結(jié)SF交BH于DS ,FHP , BP SF。SF , FA BS , N在DE上。AC于點F , CE8.如圖，AM是銳角 ABC的角平分線，ME AB于點E , MF 與BF交于點P。求證：AP BC 。證明：作AD BC于點D。易證

8、 BEMBDA , MCF ACD BEBMCFMCBDAB，CDAC/ AM 是:銳角ABC的角平分線, BMMCABACBECFBDCD又 AEAFAE BD CF BD CFEB DC FA DC EB由塞瓦定理逆定理知，AD、BF、CE三線共點， AP BC。9.設(shè)AD是厶ABC的高，且D在BC邊上，若P是AD上任一點，BP、CP分別與AC、AB交于E和F，求證：EDA證明：過A點作AD的垂線， 欲證 EDA FDA易知MNFDA。與DE、，只需證ANAFAMAEBDFB，DC ECAD、BE、CF相交與點P，由塞瓦定理得：AFBDCE 1FBDCEAANBDDC 1AMBDDCAMA

9、N/ BCFDA。F作BC的垂線，垂足分別為N、H。E、DF的延長線分別交于點 M、N。AM AN EDA法二：構(gòu)造截割性質(zhì)，如圖分別過 FH AD ENFGAPEMFHADENFHFGENEMFG / EM ,HGPD/IFGGPGPHDEMPE，PEDNFHFGGPHDENEMPEDNFHDEND90 , FHDENDFDHEDNEDAFDA?！菊n后作業(yè)】1.已知：銳角 ABC三邊上的高線 求證：三角形三條高線交于一點。AD、BE、CF與對邊分別交于點（用塞瓦定理的逆定理證明）D、C同理可證ACCDBCBCCE1 AB所以1ABACBCACBCAB剛AECDBF1。即-ECDBFA證明：在

10、銳角三角形中，易證ACF口 ABAEABE，即-ACAF ；BFBDAECDBFAE CDBFAFCEBDEC DB。FA由于三角形的三條高線不可能平行，由塞瓦定理逆定理得AD、BE、CF 交于點?！緜溆谩?、 塞瓦定理的逆定理1. 如果有三點AF BD |FB DCF、D、E分別在 ABC的三邊 AB、BC、CA上，且滿足CE1，那么AD、BE、CF三線交于一點；EA證明：設(shè)AD、根據(jù)塞瓦定理:AF AFBE交于點0，聯(lián)結(jié)CO并延長交 AB于F。BDDCABAFFBCEEAABF B2. 如果AFF BFBD在邊BC上，BD CEFBF、, F B FB , F與 F 重合，即證。E分別在B

11、A、CA的延長線上，且滿足FB DC EA1，那么AD、BE、CF三線交于一點或 AD / BE /CF。E證明：設(shè)DA、塞瓦定理:OE CFEB F0OBADFBE交于點0，聯(lián)結(jié)CO交BA的延長線于F ，下面證F與F重合。OE BD CF1EB DC FOAF CES AOCS BOCS AOCFBEAS BOCS AOBS AOBS AOC S abcSaocS ABC S AOBSaobAF BD CE 1F B DC EAAF AFABAB,二，二 FBF B FBFB FBFB，二F與F重合，即證。(2)若 AD / BE ,AFFBBD CEDC EA1及比例線段:BD EADC

12、ACAFFBACCEBE /CF , AD/BE/CF點；三角形【注】利用塞瓦定理的逆定理可判定三線共點，如證明三角形三條中線交于 三條角平分線必交于一點；三角形三條高線交于一點等。1.如圖，在 ABC中，CD AB交BA的延長線于點 D , ACB、 CEB和 CEA的平分線分別交 AB、BC、AC于點E、F、G，連結(jié)AF、BG相交于點0。(1) 求證：點0在CE 上;(2) 若 AC 15, BC 20, CD 12，求 CO 的長。解：(1 ) EG平分CEA , EF 平分 CEB,CG EC BFEBGA EA，F(xiàn)CEC. CGAEBFECAE EB1GAEBFCEAEB EC1由塞

13、瓦定理逆定理知：點 O在CE上。(2 ) AC15,BC20,CD 12, AD9 ,BD16, AB 7,AECA3- AE3 , EB4 ,EBCB4在厶BCE中,割線AOFCOEABF “BF由梅式定理得：1,tOEABFCFCCO3412,2OE7ED 12, CE 12、.2.EB 4EC 12 一 2COOE7 2，: CO OE 12 . 2 , CO罟（7 2 1）。2.已知 ABC ,向外作長方形 ABDE、ACFG、BCHK ,又設(shè)直線DE與直線GF交 于P，直線DE與直線KH交于Q ,直線KH與直線GF交于R。證明：AP、BQ、CR共點。D解：延長PA交BC、QR于點A、

14、P，同理定義B、C。只須證AA、BB、CC共點即可。記長方形 ABDE、ACFG、BCHK的面積分別為S1、S2、S3 。BAS PAB色，同理可證：CBS3ACS2A CS PACS2BAS1,C BS3.BA CB AC - 1 ,AC BA C B AA、BB、CC不平行根據(jù)塞瓦定理逆定理，AA、BB、CC共點。3.設(shè) ABC的邊AB、BC、CA上分別有點F、D、E，且AD、BE、CF共點, 有 DEF的邊DE、EF、FD上分別有點Z、X、Y , DX、EY、FZ也共點。求證：AX、BY、CZ共點。AAC塞瓦定理：AFBD CE ,EXFYDZ11 ,FBDC EAXFYDZEAB BXS ABXAF S AFXABAEFXXCS ACXACSAEXACAFEXAE同理可證：CYBC BF YDAZACCDEZYAAB BD FYZBBCCEDZ BXCYAZ 1ZB XCYA AX、BY、CZ共點。B解：延長AX交BC于點X，同理定義Y、Z。4.已知 ABC中，AD、BE、CF是角平分線，求證: DE DF。BACo120BAC 120o當(dāng)且僅當(dāng)證明：（i）若延長CA至一點K，那么 KAFBA