2008年(江蘇卷)含詳解

1、絕密啟用前2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）本試卷分第I卷（填空題）和第II卷（解答題）兩部分考生作答時，將答案答在答題卡上，在 本試卷上答題無效考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的準考證號、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上.2 選擇題答案使用 2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選 擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3 請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4 保持卡面清潔，不折疊，不破損.

2、5 作選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號:黑 八、參考公式：樣本數(shù)據(jù)Xi , X2 , L , Xn的標準差錐體體積公式s Jn(Xi x)2 (X2 X)2 L(Xn X)21V Sh3其中x為樣本平均數(shù)柱體體積公式V Sh其中S為底面面積，h為高其中S為底面面積、h為高球的表面積、體積公式243s 4nR2, vnR33其中R為球的半徑一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共70分.1 f （x） cos（ x ）最小正周期為f,其中0，貝V 2 一個骰子連續(xù)投 2次，點數(shù)和為4的概率 1 i 一3.表示為a bi（a,b R）的形式，則a b

3、 =1 i24A x（x 1） 3x7，則集合A Z中有個元素rr r r5a,b的夾角為120 ,a1, b 3，則5a b6在平面直角坐標系 xoy中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區(qū)域,到原點的距離不大于 1的點構成的區(qū)域，向 D中隨機投一點，則落入 E中的概率7某地區(qū)為了解 7080歲老人的日平均睡眠時間(單位： h)，現(xiàn)隨機地選擇 50位老人做調(diào)查,序號分組組中值頻數(shù)頻率(i)睡眠時間(G)(人數(shù))(Fi)14 , 5)4.560.1225 , 6)5.5100.2036 , 7)6.5200.4047 , 8)7.5100.2058 , 98.540.08F表是5

4、0位老人日睡眠時間頻率分布表:在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中，一部分計算見算法流程圖, 則輸出的S的值為1&直線y - x b是曲線y In x(x 0)的一條切線， 2則實數(shù)b的值為 9 在平面直角坐標系中，設三角形ABC的頂點分別為A(0,a), B(b,0),C(c,0)，點 P (0, p)在線段 AO上(異 于端點)，設a,b,c, p均為非零實數(shù)，直線 BP,CP分別交AC,AB于點E,F ,同學已正確算的 0E的方程:111111x-y 0,請你求OF的b cpa、 1 1方程：( ) xy 0p a10.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10按照以上排列的規(guī)

5、律，第門行(n 3)從左向右的第3個數(shù)為 *y211 x, y, z R ,x 2y 3z 0,的最小值為 xz2 212在平面直角坐標系中，橢圓 篤 篤 1(a b 0)的焦距為2,以0為圓心，a為半徑的圓,a2b22過點 ,0作圓的兩切線互相垂直，則離心率e=c13若 AB 2, AC 2BC，則 S ABC 的最大值314. f (x) ax 3x 1 對于 x 1,1 總有 f (x)0 成立，則 a =、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. (14分)如圖，在平面直角坐標系xoy中，以ox軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于(1)求 tan(A、B兩點，

6、已知A)的值；(2)求 2的值。B的橫坐標分別為16.( 14 分)在四面體 ABCD 中，CB CD, AD 求證：(1)直線EF/面ACD(2)面 EFC1 面 BCDBD，且E、F分別是AB BD的中點,AAB17. ( 14分)某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD的頂點A B及CD的中點P處，已知AB=2(km, BC=1Ckm為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形 ABCD勺區(qū)域上(含邊界)，且 A B與等距離的 一點0處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道 AO BO OP設排污管道的總長為 ykm(1) 按下列要求寫出函數(shù)關系式： 設/ BAO=9 (rad)，將y表示成0的函數(shù)關系

7、式； 設OP=(km)，將y表示成x的函數(shù)關系式；(2) 請你選用(1)中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。18.（ 16分）設平面直角坐標系 xoy中，設二次函數(shù)f（x） x2 2x b（x R）的圖像與兩坐標軸 有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為G求：（1）求實數(shù)b的取值范圍（2）求圓C的方程（3） 問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論。19.（ 16分）（1）設a,a2,an是各項均不為零的等差數(shù)列（n 4）,且公差d 0,若將此數(shù)列 刪去某一項得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：a1當n 4時，求的數(shù)值；求n的所有可能值； d（2 ）

8、求證：對于一個給定的正整數(shù)n（n 4），存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列d,b2,bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列。f1 (x), f1 (x) f2(x) f2(X), f1(X) f2(X)20.(16 分)若 f1(x) 3儀 E,f2(x) 2 3x, x R, P1, P2為常數(shù)，且 f (x)（）求f（x） fj（x）對所有實數(shù)x成立的充要條件（用 P1, P2表示）(2)設 a,b為兩實數(shù)，a b且 p1, p2(a,b)若 f(a) f (b)求證：f（x）在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間 m,n的長度定義為n m）221.(選做題)從 A B

9、, C, D四個中選做2個，每題10分，共20分.A. 選修4 1幾何證明選講如圖，設厶ABC的外接圓的切線 AE與BC的延長線交于點 E, / BAC的平分線與 BC交于點D求證:ED2 EBgEC .AB. 選修4 2矩陣與變換1在矩陣A= 2；對應的變換作用下得到曲線F,在平面直角坐標系 xOy中，設橢圓4x2 y2 求F的方程.C. 選修4 4參數(shù)方程與極坐標2X2在平面直角坐標系xOy中，點P(x, y)是橢圓 y21上的一個動點，求S x y的最大值.3D. 選修4 5不等式證明選講設a, b, c為正實數(shù)，求證：一3 13 3 + abc2、- 3 .a b c必做題APC22

10、記動點P是棱長為1的正方體ABCD-ABGD,的對角線BD,上一點，記-DlP當B為鈍角時，求的取值范圍.23請先閱讀：在等式 cos2x 2cos2x 1 ( x R )的兩邊求導，得：2(cos 2x) (2cos x 1),由求導法則，得(sin 2x)g? 4cos xg sin x)，化簡得等式：sin2x 2cosxcsinx .(1)利用上題的想法(或其他方法)，試由等式(1+ x)n = C0C；xC；x2LC：xn(n正整數(shù) n 2)，證明：n(1 x)n 1 1 =kcAk 1k 1(2)對于正整數(shù)n 3，求證：n(i)( 1)kkcn = 0；k 1n(ii )( 1)k

11、k2cn = 0；k 12n1n 1(iii )Uk 1 k 1、填空題：本大題共 1小題，每小題5分，共70分.1.若函數(shù) y cos( x )(60）最小正周期為&，則2【解析】本小題考查三角函數(shù)的周期公式 T -10【答案】102 若將一顆質地均勻的骰子（一種各面上分別標有 拋擲兩次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率是【解析】本小題考查古典概型.基本事件共6X 6故P 316 6 12【答案】丄121 i3.若將復數(shù) 一-表示為a bi（a,b1 i1, 2,3,4, 5, 6個點的正方體玩具），先后個，點數(shù)和為4的有（1,3）、(2,2) (3,1)共 3 個,【解析】本小題考查復數(shù)的除

12、法運算R,i是虛數(shù)單位）的形式，則 a b1 i 2 i ，a = 0,2b =1,因此a【答案】14若集合 A x|(x 1)2 3x 7, xR，則AIZ中有 個元素2 2(x 1) 3x 7 得 x 5x 60,【解析】本小題考查集合的運算和解一元二次不等式由 A ( 1,6)，因此 AI Z 0,1,2,3,4,5 ，共有 6 個元素.【答案】6r r0 r rr r5已知向量a和b的夾角為1200, |a| 1,|b| 3，則| 5a b| 【解析】本小題考查向量的線性運算.r r 25a br r 2 r 2 r r “5a b 25a 10ago b2 1 225 110 1 3

13、-349,5； b 721【答案】76.在平面直角坐標系xoy中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于 1的點構成的區(qū)域，向 D中隨機投一點，貝y 投點在E中的概率是【解析】本小題考查古典概型如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正形的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此. P 4 416【答案】167某地區(qū)為了解 70 80歲的老人的日平均睡眠時間（單位: 查，下表是這50位老人睡眠時間的頻率分布表：序號i分組（睡眠時間）組中值（Gi ）頻數(shù) （人數(shù)）頻率（Fj）1P4,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8

14、)7.5100.2058,98.5 n40.08在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中一部分計算見算法流程圖, 的S的值為 【解析】由流程圖S G1F1G 2 F2G 3 F3 G 4 F4G 5F5則輸出4.5 0.125.56.420.20 6.5 0.40 7.5 0.2 8.5 0.08【答案】6.42&設直線yb是曲線y In x（x 0）的一條切線，則實數(shù)b的值是1【解析】本小題考查導數(shù)的幾何意義、切線的求法.y 1x，令x-得x 2 ,故切點(2, ln2 ),2代入直線方程，得，所以b= ln2 1.【答案】In2 19 .如圖，在平面直角坐標系xoy中，設三角形 ABC的頂點分別為P（0,

15、p）在線段A0上的一點（異于端點），這里a, b, c, p均為非零實數(shù)，設直線 BP,CP分別與邊A(0,a),B(b,0),C(c,0)，點xv11直線CP1 ,兩式相減得xc pbe此方程，又原點 0也滿足此方程，故為所求直線1 1【答案】丄丄e b10.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：1231 1V 0 ,顯然直線AB與CP的交點F滿足P aOF的方程.45 678 9101112131415按照以上排列的規(guī)律，第 門行(n 3)從左向右的第【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式前3個數(shù)為 n 1行共有正整數(shù)1 + 2+( n 1)2個，即nn個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中

16、第2+ 3個，即為n2 n 62【答案】n2n 6211.設x,y,z為正實數(shù)，滿足 x 2y 3z 0,則 乞 的最小值是xz【解析】本小題考查二元基本不等式的運用由x 2y 3z 0得 y2y-得xz2 2x 9z 6xz4xz6xz 6xz4xz3，當且僅當x = 3z時取“=12.在平面直角坐標系2xxOy中，橢圓飛a【答案】32篤 1(a b 0)的焦距為2c,以O為圓心，a為半徑b22作圓M，若過P ,0c作圓M的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為【解析】設切線 PA PB互相垂直，又半徑 OA垂直于PA,所以OAP是等腰直角三角形，故-129，解得e 2于【答案】2213滿足條件

17、 AB 2,AC 、2BC的三角形 ABC的面積的最大值x【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想設B8 X ,則 AC=、. 2x ,B，根據(jù)余弦定理得根據(jù)面積公式得 S ABC =1 AB BCsin B x , 1 cos2AB2 BC2 AC24 x2 2x2cosB -2AB BC4 x24x4x代入上式得SABC = x1 子 2128 x2 1216由三角形三邊關系有2x x _2 解得 2.2x 2、2x2、2 2 ,故當x 2.2時取得S ABC最大值2 2【答案】2、. 214.設函數(shù)f(x)ax3 3x 1(x R),若對于任意的x 1,1 都有 f (x)

18、0成立，則實數(shù)a的x 0顯然成立；當x0 即 x 1,1 時，fax3 3x設g x $ A，則gx x3 1 2x4x,所以g x在區(qū)間0i1上單調(diào)遞增，在區(qū)間-,12值為【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運用若x= 0,則不論a取何值,上單調(diào)遞減，因此 g xmax當x v 0即 1,0時，f xax3 3x3 1 2x 0g 14，從而a 0,解得bv 1且0.(n)設所求圓的一般方程為x2 y2 Dx Ey F 022令y = 0得x Dx F 0這與x 2x b = 0是同一個方程，故 D= 2, F= b .令x = 0得y2 Ey = 0,此方程有一個根為 b，代入得出E= b1

19、.所以圓C的方程為x2 y2 2x (b 1)y b 0.(川)圓C必過定點，證明如下：假設圓C過定點(X。，y)(x, y。不依賴于b)，將該點的坐標代入圓C的方程，2 2并變形為 x y 2x yb(1 y)0(*)為使(*)式對所有滿足b 1(b 0)的b都成立，必須有1 y0 0，結合(*)式得2 22x0x00,亠x0-2,xy0y。0，解得或1,1經(jīng)檢驗知，占八、(0,1),(2,0)均在圓C上，因此圓C過定點。19. (1)設3(42丄,an是各項均不為零的n ( n 4)項等差數(shù)列，且公差 d 0 ,若將此數(shù)列 刪去某一項后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列.(i )當n 4

20、時，求31的數(shù)值；d(ii )求n的所有可能值.(2)求證：對于給定的正整數(shù) n( n 4)，存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b, btL ,bn，其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數(shù)列.解：(1)當n=4時,aLa2.a3.a4中不可能刪去首項或末項，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比數(shù)列，則推出d=0。22a,若刪去 a2，則 a3a,，即(a, 2d) a, (a, 3d)化簡得 a 4d 0，得 一 4d若刪去 a3，則a?2a,a4，即(a,d)2a,(a,3d)化簡得a,d 0，得旦 1d綜上，得蟲 4或色仁d d當n=5時，印424344. a5中同樣不可能刪去 a,.a2

21、.a4.a5，否則出現(xiàn)連續(xù)三項。若刪去 a3，則a,a5a2a4，即a, (a,4d)(a,d)(a,3d)化簡得 3d20，因為d 0,所以a3不能刪去；當n6時，不存在這樣的等差數(shù)列。事實上，在數(shù)列a,.a2. a3,L .an 2,an , ,an中，由于不能刪去首項或末項，若刪去a2，則必有a, an a3 an 2，這與d 0矛盾；同樣若刪去 an,也有a,ana3an 2，這與d 0矛盾；若刪去a3,L.an2中任意一個，則必有a,a“a?a“,，這與d 0矛盾。(或者說：當n6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續(xù)的三項)綜上所述，n 4。(2)假設對于某個正整數(shù) n，存在一個公

22、差為d的n項等差數(shù)列b,.b2. bn，其中Q ,. by, .bz ,(0 x y z n ,)為任意三項成等比數(shù)列，貝U b2y, bx, bz,，即2 2 2(b, yd)(bi xd) (bi zd)，化簡得(y xz)d (x z 2y)bid(*)2由b,d 0知，y xz與x z 2y同時為0或同時不為0當y xz與x z 2y同時為0時，有x y z與題設矛盾。,2biy2 xz故y xz與x z 2y同時不為0，所以由(*)得匚d x z 2y因為0 x y z n ,，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。d于是，對于任意的正整數(shù) n(n 4)，只要R為無

23、理數(shù)，相應的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。d例如n項數(shù)列,，,2，, 2 2,，,(n ,)2滿足要求。20 已知函數(shù) f,(x) 3x P,，f2(x)個給定的實數(shù)x， f (x)f,(x).若 f, (x) f2(x) f2(X).若 f,(x) f2 (x)2 3x P(x R. p,. P2為常數(shù))函數(shù)f(x)定義為：對每(D求f (x)f,(x)對所有實數(shù)x成立的充分必要條件(用p,. P2表示);(2)設a.b是兩個實數(shù)，滿足 a b，且口衛(wèi) (a.b) 若f(a) f(b)，求證：函數(shù)f (x)在區(qū)間b aa,b上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為(閉區(qū)間m,n的長度定義為n m )2解：(

24、1)由f(x)的定義可知，f(x) f,(x)(對所有實數(shù)x )等價于flxf2x(對所有實數(shù)x)這又等價于3xp12g3xp2，即3X 卜P2|g1093 22對所有實數(shù)x均成立.(*)由于 xP!xP2(xpj(xP2)P!P2(x R)的最大值為口 P2，故( *)等價于3P嗎2，即p,p2log32，這就是所求的充分必要條件(i )當PiP21og32時，由(1) 知 f (x) fi(x)則由f a上，pa bf b及a p , b易知p,，2再由fi(x)3P1 xp,x Pi的單調(diào)性可知， ox Pi3 ,x Pi(2)分兩種情形討論函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長度

25、a b b a 厶、一“為b(參見示意圖1)2 2(ii ) p, p21og32時，不妨設 Pi P2,，則 p?當 xpi 時，有fi(x)3Pix3P2x f2(x)，從而 f (x) fi(x)；當 xp2 時，有fi(x)3xP13P2Pix P230 P230932g3xP2f2(x)從而 f (x)f2 (x)；當 PixP2時，fi(x)3xPl，及f2(x)23P2x，由方程3xPl23P2x解得fi(x)與f2(x)圖象交點的橫坐標為XoPiP221尹932顯然pi xop2 2(P2 Pi) 1093 2 P2，這表明x0在p,與p2之間。由易知O圖2fi(x) , 口

26、x Xof2(X),Xo X P2綜上可知，在區(qū)間a,b上，f(x)fl(X)，a X Xo(參見示意圖2)f2(x) ,Xo x b故由函數(shù)f1(x)及f2(x)的單調(diào)性可知，f (x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為(Xo pi) (b P2)，由于 f(a) f(b)，即 3P, a 2 3b P2，得PlP2 a b logs 2故由、得(XoPi) (b P2),1b abPiP2 g 22 2綜合(i )( ii)可知，f(x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為b a22008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學附加題參考答案21:從A, B, C, D四個中選做2

27、個，每題10分，共20分A.選修4 1幾何證明選講如圖，設厶ABC的外接圓的切線 AE與BC的延長線交于點 E, Z BAC的平分線與 BC交于點D.求證:2ED EBgEC .證明：如圖，因為 AE是圓的切線，所以,ABCCAE,又因為AD是BAC的平分線，所以BADCAD從而ABCBADCAE CAD因為ADEABCBAD,DAECADCAE所以ADEDAE ,故 EA ED.因為EA是圓的切線，所以由切割線定理知A2EA EC EB,而 EA ED,所以 ED2 ECgEBB.選修42矩陣與變換2 0F,求F在平面直角坐標系 xOy中，設橢圓4x2 y21在矩陣01對應的變換作用下得到曲

28、線的方程.解：設P（x,y）是橢圓上任意一點，點P（x,y。）在矩陣A對應的變換下變?yōu)辄cP（X。，y。）則有xy2 0x0 1y 1即Xo 2x0，所以y yxx0y。y又因為點p在橢圓上，故4x0 y01，從而(x。)2(y)2 1所以，曲線F的方程是 x2 y2 1在平面直角坐標系xOy 中，點 P(x, y2)是橢圓y231上的一個動點，求S x2解：因橢圓Ly21的參數(shù)方程為x、3 cos (為參數(shù)）3ysin故可設動點P的坐標為（,3 cos,sin），其中02 .因此S x廠31y .3 cos sin2(cos sin ) 2sin(-)223所以，當時，S取最大值62C.選修4

29、4參數(shù)方程與極坐標y的最大值.D.選修45不等式證明選講111廠設a, b, c為正實數(shù)，求證：一3 3 + abc23 .a b c證明：因為a, b,c為正實數(shù)，由平均不等式可得XUb ca b c刖1113即13.33.abc abc1113所以 333 abcabc，abcabc而abc 2J-gabc 243 abc abc所以3 -3 -3 + abc 2 . 3abc22 .【必做題】記動點P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線 BD,上一點，記D,PAPC為鈍角時，求的取值范圍.uuur uuiruuuu解：由題設可知，以 DA、DC、DD1為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系D所D1B. 當xyz ，貝U有uuuuD1B(1,1, 1),得uuuuD1PuuuiD1B(,uua uuuu