2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第三講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案新人教版

1、第三講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)梳理雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的_兩點(diǎn)_在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)公理2：過(guò)_不共線_的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們_有且只有一條_過(guò)該點(diǎn)的公共直線知識(shí)點(diǎn)二空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言aba相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言abaaal獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線a知識(shí)點(diǎn)三異面直線所成角、平行公理及等角定理(1)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)o作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的_銳角

2、或直角_叫做異面直線a與b所成的角范圍：.(2)平行公理平行于同一條直線的兩條直線_平行_.(3)等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角_相等或互補(bǔ)_.異面直線的判定定理過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線用符號(hào)可表示為：若l，a，b，bl，則直線ab與l是異面直線(如圖)題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)如果兩個(gè)不重合的平面，有一條公共直線a，就說(shuō)平面，相交，并記作a.()(2)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)a，就說(shuō)，相交于過(guò)a點(diǎn)的任意一條直線()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合()(4)經(jīng)過(guò)兩條相交

3、直線，有且只有一個(gè)平面()(5)兩兩相交的三條直線共面()(6)若a，b是兩條直線，是兩個(gè)平面，且a，b，則a，b是異面直線()題組二走進(jìn)教材2(必修2p52b組t1)如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，則異面直線b1c與ef所成角的大小為(c)a30b45c60d90解析連接b1d1，d1c，則b1d1ef，故d1b1c即為所求的角又b1d1b1cd1c，b1d1c為等邊三角形，d1b1c60.故選c3(必修2p45例2)如圖，在三棱錐abcd中，e，f，g，h分別是棱ab，bc，cd，da上的點(diǎn)，(1)若且，則e、f、g、h是否共面_共面_.(2)若

4、e、f、g、h分別為棱ab、bc、cd、da的中點(diǎn)，當(dāng)ac，bd滿足條件_acbd_時(shí)，四邊形efgh為菱形；當(dāng)ac，bd滿足條件_acbd且acbd_時(shí)，四邊形efgh為正方形題組三走向高考4(2019新課標(biāo))如圖，點(diǎn)n為正方形abcd的中心，ecd為正三角形，平面ecd平面abcd，m是線段ed的中點(diǎn)，則(b)abmen，且直線bm，en是相交直線bbmen，且直線bm，en是相交直線cbmen，且直線bm，en是異面直線dbmen，且直線bm，en是異面直線解析點(diǎn)n為正方形abcd的中心，ecd為正三角形，m是線段ed的中點(diǎn)，bm平面bde，en平面bde，bm是bde中de邊上的中線，

5、en是bde中bd邊上的中線，直線bm，en是相交直線，設(shè)de a，則bda，平面ecd平面abcd，bea，bma，ena，bmen，故選b5(2017新課標(biāo))已知直三棱柱abca1b1c1中，abc120，ab2，bccc11，則異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為(c)abcd解析解法一：如圖所示，補(bǔ)成四棱柱abcda1b1c1d1，連dc1、bd，則dc1ab1，bc1d即為異面直線ab1與bc1所成的角，由題意知bc1，bd，c1d，bcbd2c1d2，dbc190，cosbc1d.故選c解法二：(向量法)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則b(0,0,0)，a(2,0,0)，b1(0,0,

6、1)，c1，從而(2,0,1)，記異面直線ab1與bc1所成角為，則cos ，故選c解法三：如圖所示，分別延長(zhǎng)cb，c1b1至d，d1，使bdbc，b1d1b1c1，連接dd1，b1d由題意知，c1b b1d，則ab1d即為異面直線ab1與bc1所成的角連接ad，在abd中，由ad2ab2bd22abbdcosabd，得ad.又b1dbc1，ab1，cosab1d.考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用自主練透例1 如圖，在空間四邊形abcd中，e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，g，h分別在bc，cd上，且bggcdhhc12.(1)求證：e，f，g，h四點(diǎn)共面；(2)設(shè)eg與fh交于點(diǎn)p，求證

7、：p，a，c三點(diǎn)共線解析(1)證明：e，f分別為ab，ad的中點(diǎn)，efbd在bcd中，ghbd，efgh.e，f，g，h四點(diǎn)共面(2)egfhp，peg，eg平面abc，p平面abc同理p平面adcp為平面abc與平面adc的公共點(diǎn)又平面abc平面adcac，pac，p，a，c三點(diǎn)共線注：本題(2)可改為：求證ge、hf、ac三線共點(diǎn)名師點(diǎn)撥1證明空間點(diǎn)共線問(wèn)題的方法(1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上2點(diǎn)、線共面的常用判定方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，

8、再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合3證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)變式訓(xùn)練1如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab，aa1的中點(diǎn)求證：(1)e，c，d1，f四點(diǎn)共面；(2)ce，d1f，da三線共點(diǎn)解析(1)如圖，連接ef，cd1，a1b因?yàn)閑，f分別是ab，aa1的中點(diǎn)，所以efa1b又a1bcd1，所以efcd1，所以e，c，d1，f四點(diǎn)共面(2)因?yàn)閑fcd1，efcd1，所以ce與d1f必相交，設(shè)交點(diǎn)為p，則由pce，ce平面abcd，得p

9、平面abcd同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，所以p直線da所以ce，d1f，da三線共點(diǎn).考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系師生共研例2 (1)(2019上海)已知平面、兩兩垂直，直線a、b、c滿足：a，b，c，則直線a、b、c不可能滿足以下哪種關(guān)系(b)a兩兩垂直b兩兩平行c兩兩相交d兩兩異面(2)如圖所示，正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別為棱c1d1，c1c的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線am與cc1是相交直線；直線am與bn是平行直線；直線bn與mb1是異面直線；直線am與dd1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(kāi)(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)解析(1)如圖1

10、，可得a、b、c可能兩兩垂直；如圖2，可得a、b、c可能兩兩相交；如圖3，可得a、b、c可能兩兩異面；故選b(2)因?yàn)辄c(diǎn)a在平面cdd1c1外，點(diǎn)m在平面cdd1c1內(nèi)，直線cc1在平面cdd1c1內(nèi)，cc1不過(guò)點(diǎn)m，所以am與cc1是異面直線，故錯(cuò)；取dd1中點(diǎn)e，連接ae，則bnae，但ae與am相交，故錯(cuò)；因?yàn)閎1與bn都在平面bcc1b1內(nèi)，m在平面bcc1b1外，bn不過(guò)點(diǎn)b1，所以bn與mb1是異面直線，故正確；同理正確，故填.名師點(diǎn)撥1異面直線的判定方法(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線

11、異面此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到(2)判定定理法：平面外一點(diǎn)a與平面內(nèi)一點(diǎn)b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)b的直線是異面直線2判定平行直線的常用方法(1)三角形中位線的性質(zhì)(2)平行四邊形的對(duì)邊平行(3)平行線分線段成比例定理(4)公理：若ab，bc，則ac.變式訓(xùn)練2(1)(2021甘肅診斷)如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的ab，cd，ef，gh在原正方體中互為異面直線的有_3_對(duì)(2)(多選題)(2021湘潭調(diào)研改編)下圖中，g，n，m，h分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線gh，mn是異面直線的圖形是(bd)解析(1)畫(huà)出該正方體的直觀圖如圖所示，其

12、中異面直線有(ab，gh)，(ab，gd)，(gh，eb)故共有3對(duì)故答案為：3.(2)圖a中，直線ghmn；圖b中，g，h，n三點(diǎn)共面，但m平面ghn，nhg，因此直線gh與mn異面；圖c中，連接mg，gmhn，因此gh與mn共面；圖d中，g、m、n共面，但h平面gmn，gmn因此gh與mn異面，故選b、d考點(diǎn)三異面直線所成的角師生共研例3 (1)(2021廣西玉林模擬)如圖，正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為a1b1，cd的中點(diǎn)，則異面直線d1e與a1f所成的角的余弦值為(a)abcd(2)(2021山東泰安模擬)如圖，在三棱錐abcd中，abacbdcd3，adbc2，點(diǎn)m，

13、n分別為ad，bc的中點(diǎn)，則異面直線an，cm所成的角的余弦值是(c)abcd(3)若兩條異面直線a、b所成角為60，則過(guò)空間一點(diǎn)o與兩異面直線a、b所成角都為60的直線有_3_條解析(1)解法一：(平移法)如圖，連接be，bf、d1f，由題意知bed1f為平行四邊形，d1ebf，異面直線d1e與a1f所成角為a1f與bf所成銳角，即a1fb，連接a1b，設(shè)ab2，則在a1bf中，a1b2，bf，a1f3，cosa1fb.異面直線d1e與a1f所成的角的余弦值為.故選a解法二：(向量法)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，異面直線d1e與a1f所成角為，則(2,1,0)，(2,1，

14、2)，cos .故選a(2)連接nd，取nd的中點(diǎn)e，連接me，則mean，異面直線an，cm所成的角就是emc，an2，meen，mc2，又ennc，ec，cosemc.故選c(3)如圖，過(guò)o分別作aa，bb，則a，b所成角為60，如圖易知過(guò)o與a、b所成角都為60的直線有3條，即與a，b所成角都為60的直線有3條引申1本例(2)中mn與bd所成角的余弦值為_(kāi).解析取cd的中點(diǎn)h，連dn，nh，mh，則nhbd，hnm為異面直線mn與bd所成的角，由題意知an2，從而mn，又nhmh，coshnm.引申2本例(3)中與異面直線a、b所成角都為75的直線有_4_條注：本例中，若直線與異面直線所

15、成角都為，則(1)0時(shí)，0條；(2)時(shí)，1條；(3)時(shí)，2條；(4)時(shí)，4條；(5)時(shí)，1條名師點(diǎn)撥求異面直線所成角的方法1平移法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角(3)三求：解三角形，求出所作的角注：為便于作出異面直線所成角，可用補(bǔ)形法，如將三棱柱補(bǔ)成四棱柱；注意余弦定理的應(yīng)用2向量法建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式|cos |求出異面直線的方向向量的夾角若向量夾角是銳角或直角，則該角即為異面直線所成角；若向量夾角是鈍角，則異面直線所成的角為該角的補(bǔ)角變式訓(xùn)練3(1)(2021山西運(yùn)城調(diào)研)如圖，等邊abc為圓錐的軸截面，d為ab的中點(diǎn)，

16、e為弧bc的中點(diǎn)，則直線de與ac所成角的余弦值為(c)abcd(2)(2021黑龍江師大附中期中)直三棱柱abca1b1c1中，abac，abacaa1，則直線a1b與ac1所成角的大小為(b)a30b60c90d120解析(1)取bc的中點(diǎn)o，連接oe，od，d為ab的中點(diǎn)，odac，edo即為de與ac所成的角，由e為的中點(diǎn)得oebc，又平面abc平面bce，oe平面abc，從而oeod，設(shè)正abc的邊長(zhǎng)為2a，則odaoe，cosedocos ，故選c(2)解法一：(平移法)在直三棱柱abca1b1c1中，連接a1c，a1cac1o，則o為a1c的中點(diǎn)，取bc的中點(diǎn)h，連接oh，則oh

17、a1b，aoh或其補(bǔ)角即為直線a1b與ac1所成的角設(shè)abacaa11，則bc，易得aoahoh，三角形aoh是正三角形，aoh60，即異面直線所成角為60.故選b解法二：(向量法)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)ab1，a1b與ac1所成角為，則(1,0，1)，(0,1,1)，cos .60，故選b名師講壇素養(yǎng)提升空間幾何體的截面問(wèn)題例4 (原創(chuàng))e、f分別為正方體abcda1b1c1d1的棱cc1、c1d1的中點(diǎn)，若ab6，則過(guò)a、e、f三點(diǎn)的截面的面積為_(kāi).解析作直線ef分別與直線dc、dd1相交于p、q，連ap交bc于m，連aq交a1d1于n，連接nf、me.則五邊形amefn即為過(guò)a、e、f三點(diǎn)的截面由題意易知apaq，pq9，sapq，又meaq，且，smpesqnfsapq，samefnsapq.名師點(diǎn)撥