線性代數綜合練習題

1、.線性代數綜合練習題時間：120分鐘一、選擇題（每小題3分，共15分）:1設a是三階矩陣，將a的第一列與第二列交換得b，再把b的第二列加到第三列得c，則滿足aq=c的可逆矩陣q為（ ）。（a）； （b）；（c）； （d）。 2設a、b為滿足ab=0的任意兩個非零矩陣，則必有（ ）。（a）a的列向量組線性相關，b的行向量組線性相關；（b）a的列向量組線性相關，b的列向量組線性相關；（c）a的行向量組線性相關，b的行向量組線性相關；（d）a的行向量組線性相關，b的列向量組線性相關。3下列向量集按rn的加法和數乘構成r上一個線性空間的是（ ）。（a）rn中，坐標滿足x1+x2+xn=0的所有向量；（

2、b）rn中，坐標是整數的所有向量；（c）rn中，坐標滿足x1+x2+xn=1的所有向量；（d）rn中，坐標滿足x1=1，x2， xn可取任意實數的所有向量。4設=2是非奇異矩陣a的一個特征值，則矩陣（a2）-1有一個特征值等于（ ）。（a）； （b）； （c）； （d）。 5任一個n階矩陣，都存在對角矩陣與它（ ）。（a）合同； （b）相似； （c）等價； （d）以上都不對。二、填空題（每小題3分，共15分）1設矩陣a=，矩陣b滿足：aba*=2ba*+e，其中a*為a的伴隨矩陣，e是三階單位矩陣，則|b|= 。2已知線性方程組無解，則= 。精品.3若a=為正交矩陣，則= ，= 。4設a為n階

3、矩陣，且|a|0，a*為a的伴隨矩陣，e為n階單位矩陣。若a有特征值，則（a*）2+e必有特征值 。5若二次型f= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的，則t的取值范圍是 。三、（15分）設有齊次線性方程組： 試問取何值時，該方程組有非零解？并用一基礎解系表示出全部的解。四、（10分）設r3的兩組基為：和，向量=（2，3，3）t（1）求基到基的過渡矩陣；（2）求關于這兩組基的坐標。五、（15分）設三階實對稱矩陣a的特征值為1 = -2，2 = 1（2重），1=（1，1，1）t是屬于1 = -2的特征向量。試求：（1）屬于2 = 1（2重）的特征向量；（2）a的伴隨矩

4、陣a*。六、（10分）設二次型通過正交變換化為：，求、。七、（10分）已知a ，b為n階可逆方陣，且滿足2a-1b=b-4e，其中e是n階單位矩陣，試證：a-2e可逆。并求出（a-2e）-1=？精品.八、（10分）設為階矩陣，且，其中是中元素的代數余子式（=1，2，n）。試證：的伴隨矩陣*的特征值是0和1，并說明各個特征值的重數。精品.線性代數綜合練習參考答案一、選擇題：1（d）；2（a）；3（a）；4（b）；5c）；二、填空題： 1；2-1；3 ，；4；5-三、解：a=（1）當=0時，r(a)=14，故齊次線性方程組有非零解，其同解方程組為：x1+x2+x3+ x4=0由此得一基礎解系為：，

5、 故全部解為： （其中為任意常數）（7分）（2）當0時，當=-10時，r（a）=34，故齊次線性方程組也有非零解，其同解方程組為：，解之，可得一個基礎解系為：y=（1，2，3，4）t，故全部解為：x=ky（其中k為任意常數）（15分）備注：此題也可另解|a|=（+10）3當|a|=0時，即=0或=-10時，齊次線性方程組有無窮解。精品.四、解：（1）記b=（）=，c=（）=則有： 從而，由基到基的過渡矩陣為：a=b-1c=（5分）（2）設關于基的坐標為（）即：由此可得：，解之得：，故關于基的坐標為（0，1，1），又=即關于基的坐標為（1，1，2）（10分）五、解：（1）設a的屬于特征值2=1（

6、2重）的特征向量為（x1，x2，x3）t，則a是實對稱矩陣，精品.（x1，x2，x3）t與1正交，即有：（x1，x2，x3）=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：2=（-1，1，0）t3=（-1，0，1）ta的屬于2=1的全部特征向量為：k12+ k23（k1，k2不同時為0）（5分）（2） a*=|a|a-1a*的特征值為：|a|（-），|a|1（2重） 又|a|=-2 a*的特征值為：1，-2（2重）（10分）a*（1，2，3）=（1，2，3）a*=（1，2，3）（1，2，3）-1=精品.=（15分）六、解：f的正交變換前后的矩陣分別為： 和于是，a、b相似，從而有相同的特征多項式即：|e-a|=|e-b|（5分）也即：3-32+（2-a2-b2）+（a-b）2=3-32+2，比較上式等號兩邊的各冪次項系數有：（10分）七、證明：2a-1b=b-4e左乘a，得：2b=ab-4a（5分）即：ab-2b-4a=0（a-2e）（b-4e）=8e故a-2e可逆，且（a-2e）-1=（b-4e）（10分）精品.八、證明：r（a）=n-1 r（a*）=1（2分）又齊次線性方程組（0e-a*）x=0的基礎解系含有n-1個線性無關的解向量，0是a*的特征值，其