經(jīng)典可積系統(tǒng)與KTV方程

1、裝訂線經(jīng)典可積系統(tǒng)與KdV方程數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 費春生 指導(dǎo)教師 王鵬【摘要】在論文中，我們首先介紹可積系統(tǒng)的一些基本概念。之后，我們詳細介紹一下橢圓函數(shù)的有關(guān)知識，并演示KdV方程的推導(dǎo)過程，然后利用簡單的非線性方程和簡化的模型來將行波轉(zhuǎn)化為簡潔的常微分方程求解，獲得孤立波解并討論解的有關(guān)性質(zhì)。下一步，我們將介紹一種求解KdV方程的普遍方法-反散射法，并演示利用這種方法來求解KdV方程來獲得單孤立子解的過程?！娟P(guān)鍵詞】 可積系統(tǒng) KdV方程 橢圓函數(shù) 孤立波解 反散射法【Abstract】In the thesis,we firstly introduce some basic concept

2、s of integrability. After that we introduce the knowledge of the elliptic function in detail and demonstrate the derivation of the KdV equation,and then use simple non-linear equations and simplified models to simplify the traveling wave to simple ordinary differential equation.then we get the solit

3、ary wave solutions and discuss the nature of the solution.Next,we will introduce a method for solving general KdV equation,named the inverse scattering method,and demonstrate the use of this method to solve the KdV equation for the single-soliton solutions.【Keywords】integrability KdV equation ellipt

4、ic function solitary wave solutions the inverse scattering method 目錄1 可積系統(tǒng)與孤立波1.1 廣義的可積系統(tǒng)1.2 劉維爾可積系統(tǒng)2 KdV方程與孤立波解2.1 孤立子的歷史背景2.2 KdV方程的推導(dǎo)2.2.1 KdV方程關(guān)于孤立波的解釋2.2.2 KdV方程的導(dǎo)出2.3 預(yù)備知識：橢圓函數(shù)和橢圓方程2.4 KdV方程及其孤立波解3 反散射法3.1 反散射法求解KdV方程3.2 KdV方程的單孤立子解參考文獻謝辭1 可積系統(tǒng)1.1 廣義的可積系統(tǒng)一般地可積系統(tǒng)，我們沒有辦法給出非常明確的定義，但是我們可以通過一些說明來解釋

5、可積系統(tǒng)的一些相關(guān)知識和性質(zhì)，以助于我們更多地了解可積系統(tǒng)和KdV方程。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性模型已經(jīng)不足以反映客觀世界的變化規(guī)律。20世紀50年代以來，人們從對非線性現(xiàn)象的研究中提出了“孤子”的概念，并由此產(chǎn)生了孤子理論。在孤子理論中，通常將帶時間變量t及一維空間變量x的孤子方程稱為“1+1維的方程”。它可從對空間x與時間t的聯(lián)立譜問題中導(dǎo)出。設(shè) x=M， （1.1.1）t=N。 （1.1.2）這里是x，t的n維向量函數(shù)，M，N是nn矩陣，其元素中包含有譜參數(shù)及以x，t為自變量的m維向量函數(shù)u(x，t)及其各階導(dǎo)數(shù)。為了使方程（1.1.1）和（1.1.2）同時有解，必需滿足協(xié)調(diào)性條件, x

6、t=tx。由此，得， xt.=Mt+Mt=Mt+MN=tx=Nx+NM。即Mt-Nx+M,N=0.其中M,NMN-NM。 （1.1.3）這個方程在微分幾何中稱為零曲率方程。適當(dāng)選取M、N，可以導(dǎo)出許多孤子方程，例如KdV方程（KdV），廣義的KdV方程（MKdV），非線性薛定諤方程(NLS)，伯格方程（BG）等等。例：取M=-iqri，N=ABC-A，其中A=j=03ajj，B=j=03bjj，C=j=03cjj ，并假設(shè)a0=a1=a2=0，a3=-4i，得到孤子方程qt+6qqx+qxxx=0，這就是我們要討論的KdV方程。還有一種導(dǎo)出孤子方程的方法是由Lax最早指出的：.給定一個線性算子

7、，滿足以下譜方程：L=；（其中是譜參數(shù)） （1.1.4）.設(shè)參數(shù)與t無關(guān)，譜不變，t=0； （1.1.5）.還滿足以下線性方程：t=A，（A也是一個算子） （1.1.6）若要求同時滿足（1.1.4）和（1.1.6），則L，A滿足一下算子方程：Lt=ALLAA，L. （1.1.7）（1.1.7）稱為Lax方程，L，A稱為Lax對。由Lax對能推導(dǎo)出一些重要的孤子方程。例：取L=x2+u（x，t）為薛定諤算子，A=（x3+2ax+axa）為反對稱算子，其中是常數(shù)，a=a（x，t）。可推導(dǎo)出ut+6uux+uxxx=0，這和我們利用零曲率方程推導(dǎo)出的方程一樣，也是一種KdV方程。一般意義上的可積系統(tǒng)

8、就是從孤子方程的定義中推廣而來的。1.2 劉維爾可積系統(tǒng)可積系統(tǒng)中還有一類十分特殊的類別，我們稱之為有限維可積系統(tǒng)。設(shè)qi、pi（其中i=1，n）是力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標和廣義動量。如存在哈密頓函數(shù)H=H（qi,pi）,使qi、pi的演化滿足以下方程dqidt=Hpi，dpidt=-Hqi，（i=1,2，n） （1.2.1）引進泊松括號F，G=j=1n（FqjGpj-FpjGqj） （1.2.2）則（1.2.1）可改寫為qi=（qi，H），pi=（pi，H），qi=dqidt，pi=dpidt （1.2.3）而且，qi、pi滿足以下基本關(guān)系式:qi,qj=pi、pj=0，qi，pj=ij. （1.

9、2.4）在引進泊松括號，且qi、pi滿足（1.2.4）時，方程（1.2.1）稱為哈密頓系統(tǒng)。qi、pi也稱為動力學(xué)變量。顯然，它是2n維的一階方程組。如果存在I=I（qi，pi），使得當(dāng)qi、pi是（1.2.1）的解時，有dIdt=0， （1.2.5）則稱I是“（1.2.1）的一個守恒量”。如果兩個互相獨立的守恒量I1、I2滿足I1，I2=0. （1.2.6）便稱I1、I2是對合的。由此我們可以給出有限維劉維爾意義下的可積系統(tǒng)。定義 如果哈密頓系統(tǒng)（1.2.1）存在n個互相獨立的守恒量Ii（i=1,2，,n）,它們兩兩對合，則稱（1.2.1）是“在劉維爾意義下的可積系統(tǒng)”。2 KdV方程及其孤

10、立波解2.1 孤立子的歷史背景孤立子理論是數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的一個重要的組成部分。近幾十年來引起國際上數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界的充分關(guān)注，得到迅速發(fā)展，孤立子往往也稱為孤立波，它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有特殊性質(zhì)的解以及與之對應(yīng)的物理現(xiàn)象。用物理的語言來說，這些性質(zhì)是：（1）能量集中在一個較狹小的區(qū)域；（2）孤立子之間相互作用時會出現(xiàn)彈性子和波的許多性能。這些特殊的性質(zhì)使得它在許多的科學(xué)領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用，如流體力學(xué)、等離子體物理、超導(dǎo)物理、非線性光學(xué)、經(jīng)典場論和量子場論等等都存在著孤立子以及與孤立子理論密切相關(guān)的重要現(xiàn)象。近年來，人們也在更廣泛的意義下理解孤立子這一術(shù)語，比如具有性質(zhì)（1）的一

11、些穩(wěn)定解有時也稱為孤子解。孤立子的發(fā)現(xiàn)可以追溯到1834年，英國數(shù)學(xué)家Scott Russel于1834年8月在一次偶然的機會中觀察到的。他在1844年英國科學(xué)促進協(xié)會第14屆會議報告文集中發(fā)表波動論一文，文中講述他在運河里發(fā)現(xiàn)一個波形不變的水團，該水團在一兩英里之外的河道轉(zhuǎn)彎處逐漸消失的奇觀。Russel本人當(dāng)時未能從理論上對此作出論證，致使有關(guān)孤立波的問題在物理學(xué)家中引起了長期而廣泛的爭論。直到1895年，Korteweg和他的學(xué)生de Vries提出了一個非線性演化方程（即著名的KdV方程），他們用該方程的行波解成功解釋了Russel所觀察到的孤立波現(xiàn)象。歷史跨越了70年，1965年，美

12、國物理學(xué)家Kruskal和Zabusky通過數(shù)值模擬方法詳細研究了KdV方程兩波相互作用的全過程。他們對作用前后所得的數(shù)據(jù)進行分析后發(fā)現(xiàn)孤波的形狀和速度保持不變而具有彈性散射的性質(zhì)，所以Kruskal和Zabusky又將這種穩(wěn)定的孤波稱為孤子。從此一個研究非線性發(fā)展方程與孤子的熱潮在學(xué)術(shù)界蓬勃發(fā)展起來，隨著研究的不斷深入，孤立波現(xiàn)象在分子生物等多個領(lǐng)域不斷被實驗觀察到，孤子已經(jīng)被人們看做是解釋復(fù)雜非線性系統(tǒng)動力學(xué)行為的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)?，F(xiàn)在孤子已經(jīng)形成了自己獨特的理論和研究方法，并且在科學(xué)的多個領(lǐng)域中尋覓到它應(yīng)用的蹤跡，其他相關(guān)學(xué)科的發(fā)展也不斷補充和豐富著孤子理論。2.2 KdV方程的推導(dǎo)2.2.1

13、KdV方程關(guān)于孤立波的解釋波動中會出現(xiàn)兩種常見的現(xiàn)象，一種是非線性的會聚現(xiàn)象，還有一種是色散現(xiàn)象。當(dāng)這兩種效應(yīng)之間達到相互間的巧妙平衡時，就產(chǎn)生了孤立波。下面我們進行稍微詳細一點的說明。首先對不可壓縮介質(zhì)，在用 nt+nxxt=0 （2.2.1）所表示的粒子隨時間與坐標變化的關(guān)系中，粒子密度n應(yīng)該可以用粒子的速度v來代替（這是因為v=v（n）而n=n（v）=v+k1v2+k2v3+,取一階近似）。將速度看成是常數(shù)，則總加速度dvdt=vt+vvx=0，即有 vt+vvx=0 （2.2.2）其中vvx為非線性項?，F(xiàn)在考慮水面波動的色散關(guān)系，可以證明，若忽略表面張力，在重力作用下，水波的色散關(guān)系為

14、 （k）=gktanh（kh） （2.2.3）其中h為水深，g為重力加速度。對式（2.2.3）進行級數(shù)展開，并略去高階項后，有 （k）=k-k3 （2.2.4）式中=gh，=16h2gh。由對應(yīng)關(guān)系寫t-i，xik出對應(yīng)的方程應(yīng)為 vt+vx+3vx3=0 （2.2.5）現(xiàn)在將導(dǎo)致波形坍塌的非線性效應(yīng)的方程（2.2.2）和色散效應(yīng)的方程包含到一個方程中，就得到KdV方程 vt+(+v)vx+3vx3=0 （2.2.6）KdV方程一個重要的特點就是同事包含色散項vxxx和非線性項vvx，但方程的解卻沒有色散，這時由于色散和非線性兩種效應(yīng)所產(chǎn)生的結(jié)果相互抵消，所形成的解才以孤立波的形式出現(xiàn)，在傳播

15、過程中保持不變。接下來我們將詳細推導(dǎo)KdV方程并且討論它的孤立波解，由于KdV方程的孤立波解是由一類橢圓函數(shù)來說明的，所以接下來我們先介紹一下橢圓函數(shù)和橢圓方程的有關(guān)知識。2.2.2 KdV方程的導(dǎo)出考慮在三維空間某確定區(qū)域中的流體的運動。設(shè)在時刻t，點（x，y，z）出流體的速度為v=v（x，y，z，t）。以=（x，y，z，t）表示流體的密度，F(xiàn)=F（x，y，z，t）表示作用在單位流體質(zhì)量上的體力，p=p（x，y，z，t）是流體內(nèi)部的壓強，則流體的連續(xù)性方程和動量方程分別為 t+v=0， (2.2.7) vt+（v）v=-1p+F， (2.2.8)其中=（x，y，z）是Hamilton算子（或

16、稱梯度算子）。假設(shè)流體不可壓縮（=常數(shù)）且在重力作用下做無旋運動，即rotv=v=0，對單連通區(qū)域無旋運動必有一個勢函數(shù)，使 v=， (2.2.9)此時由公式（ab）=b（a）+（b）a+a（b）+（a）b，有（12vv）=（12|v|2）=（12|2）=（v）v-v（v）=（v）v，由此并適當(dāng)選取坐標系，使重力加速度g的方向為z軸的負方向，則方程（2.2.7）和方程（2.2.8）化為 v=0， （2.2.10） vt+12|v|2=-1p-gk. （2.2.11）將速度勢（2.2.9）帶入方程（2.2.10）和方程（2.2.11），并對式（2.2.11）的空間部分進行積分得 2=0 （2.2

17、.12） t+12（）2+gz+p=C(t). （2.2.13）為了避免任意函數(shù)C（t）的出現(xiàn)，可取=-0tC（t）dt+p0pt來代替速度勢而不受影響，即仍有 v= （2.2.14）于是方程（2.2.12）和方程（2.2.13）化為 2=0 （2.2.15） t+12（）2+gz+p-p0=0. （2.2.16）其中p0表示流體自由表面上的大氣壓力。方程（2.2.15）是Laplace方程。所以實質(zhì)上我們要求的是滿足Laplace方程還要依賴于t的解，解出以后，從式（2.2.16）便可以計算出壓強p，再從式（2.2.14）得出速度v。此時動量方程（2.2.11）自動滿足。現(xiàn)在假設(shè)流體在固壁容

18、器中運動，但流體的表面和空氣接觸。設(shè)流體表面的方程為 f（x，y，z，t）=0 （2.2.17）若用x=x（t），y=y（t），z=z（t）表示此表面上一條流線的方程，它們也應(yīng)該同時滿足流體表面的方程，即 f（x（t），y（t），z（t），t）0 (2.2.18)沿著這條流線，流體速度向量v的分量為u=dxdt，v=dydt，w=dzdt （2.2.19）將式（2.2.18）對t求導(dǎo)，并注意式（2.2.19），有fxu+fyv+fzw+ft=0.用速度勢表示，上式就是 fxx+fyy+fzz+ft=0 （2.2.20）這就是流體表面的一個邊界條件，特別地，如果流體表面的方程可表示為顯式z=（x

19、，y，t），那么此時表面上的邊界條件（2.2.20）就可以寫成 xx+yy+t=z （2.2.21）同樣，在運動的剛性底面z=h（x，y）上，流線的法向速度為零，即有 hxx+hyy-z=0 （2.2.22）若底面為一平面z=-h（h為常數(shù)），則得剛性邊界條件 z=0 （2.2.23）此外，流體表面上的壓強應(yīng)和大氣壓強相等，設(shè)大氣壓強為常數(shù)，那么由式（2.2.16）可以得到流體表面上的另一個邊界條件。這樣，就得到了不可壓縮流體在無限大剛性河床上的流動所滿足的定解問題，即Laplace方程（2.2.15）和自由表面及剛性底面條件： （xx+yy+t-z）z=（x，y，t） =0， （2.2.24

20、a） t+12（x2+y2+z2）+gzz=（x，y，t） =0， （2.2.24b） zz=-h=0. （2.2.24c）現(xiàn)在考慮平面波的情形。假設(shè)在與一豎直平面平行的各平面內(nèi)流體具有完全相同的運動，取這豎直平面為xOz坐標面，且Ox軸位于流體靜止時的水平面上，這時只需考慮處在坐標面xOz上流體質(zhì)點的運動。從而上述定解問題化為 xx+zz=0， （2.2.25a） （xx+t-z）z=（x，t）=0， （2.2.25b） t+12（x2+z2）+gzz=（x，t） =0， （2.2.25c） zz=-h=0. （2.2.25d）式中z=（x，t）是流體自由表面與坐標平面的交線。引入?yún)?數(shù) =

21、ah，=h2l2 （2.2.26）其中a為平面波德振幅，l為波長，因此當(dāng)取最小值時表示波長較長，取最小值時表示振幅較小。再取為水平剛性底面測量的流體高度，在變換z=+h，t=lct，x=lx，z=hz =a，=glac，c2=gh （2.2.27）下，定解問題（2.2.25）變?yōu)椋ㄊ÷宰兞孔帜干系钠蔡枺﹛x+zz=0（0z1+ ）， （2.2.28a）zz=0=0， （2.2.28b）（xx+t-1z）z=1+=0， （2.2.28c）t+12x2+12y2+ z=1+=0. (2.2.28d)式（2.2.28a）和式（2.2.28b）的通解可以表示為=m=0（-1）m1（2m）!2mfx2m

22、mz2m， （2.2.29）這里f=f（x，t）是x的解析函數(shù)。將解（2.2.29）代入到邊界條件（2.2.28c）和式（2.2.28d），得到t+（1+）fxx-16（1+）3fxxx+12（1+）2fxxxx +O( 2)=0， （2.2.30）+ft+12fx2-12（1+）2(fxxt+fxfxxx-fxx2) +O（ 2）=0. （2.2.31）在以上兩式中忽略一次以上的項，又令=fx，并將式（2.2.31）對x求導(dǎo)一次，得到t+（1+） x=0， （2.2.32）t+t+x=0. （2.2.33）在式中（2.2.30）和式（2.2.31）中，保留的一次項，忽略2以上的項，得到t+（

23、1+） x-16xxx=0， （2.2.34）t+t+x-2xxt=0. （2.2.35）由式（2.2.32）和式（2.2.33）可設(shè) =+A+B， （2.2.36）其中A,B是及其導(dǎo)數(shù)的待定函數(shù)。將式（2.2.36）代入到式（2.2.34）和式（2.2.35）中，得到t+x+（Ax+2x）+（Bx-16xxx）=0， （2.2.37）t+x+（At+x）+（Bt-16xxt）=0. （2.2.38）若取A=-142，B=13xx，則式（2.2.37）和式（2.2.38）分別成為t+x+ 32x+ 16xxx=0， （2.2.39）t+x-（12t-x）-16xxt=0. （2.2.40）在式

24、（2.2.39）中再做變換t=（6）1/2t，x=（6）1/2x，=14（+23）， （2.2.41）且將t，x和仍記為t，x，就得到了KdV方程t+6x+xxx=0. （2.2.42）而方程（2.2.40）稱為BBM方程。如果在式（2.2.39）和式（2.2.40）中只保留和的零次項，則有t=-x，這時BBM方程也變成KdV方程。需要指出的是，我們推導(dǎo)出的KdV方程（2.2.42）只是常見的標準型式之一。KdV方程的一般形式可以表示為ut+auux+buxxx=0， （2.2.43）其中u=u（u，t）是動力學(xué)量，而a和b是不為零的常數(shù)。我們可以通過標度變換使uxxx項或uux項前得系數(shù)有常

25、數(shù)倍的改變，這并不會改變方程的基本性質(zhì)。KdV方程的常見形式有ut+6uux+ uxxx=0ut-6uux+ uxxx=0ut+uux+ uxxx=0ut+uux+uxxx=0等等。2.3 預(yù)備知識：橢圓函數(shù)和橢圓方程（1）橢圓積分：形如R（x，y）dx的積分稱之為一般橢圓積分，其中R(x，y)是x和y的有理函數(shù)，而y2是x的四次或三次多項式，即y2=P（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e. （2.3.1）當(dāng)a=0時，y2是x的三次多項式，即P（x）是x的三次多項式，此時做變換x=1，則y2=P（x）=P（1）= b（1）3+c（1）2+d（1）+e=P1()4=14（e4+d3+c2+b

26、）， （2.3.2）即P1()是的四次多項式。反之，若已知函數(shù)（2.3.1）的一個零點x1，做變換x=x1+1，則有y2=P（x）=P（x1+1）=a（x1+1）4+b（x1+1）3+c（x1+1）2+d（x1+1）+e=P2()4 =14（4ax13+3bx12+2cx1+d）3+（6ax12+3bx1+c）2+（4ax1+b）+a， （2.3.3）可見P2()是的三次多項式。由于三次多項式和四次多項式情形可以簡單地相互變換，它們相應(yīng)的積分的性質(zhì)是一樣的，都是橢圓積分。普通橢圓積分可以歸結(jié)為幾個基本橢圓積分的組合，由于我們行波解中利用到的只是第一類Legendre橢圓積分所誘導(dǎo)的橢圓函數(shù)，所

27、以在此我們只做一下簡單的說明：定理1：由y2=P（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e我們可以把R(x,y)表示為R(x,y)=R1（x）+R2（x）y，其中R1（x），R2（x）為x的有理函數(shù)。積分R1（x）dx可以用初等函數(shù)表達，只剩下R2（x）ydx是橢圓積分。R2（x）可表示為R2（x）=m=0namxm+p=1qk-1pbpk(x-hp)k。其中am，bpk為常數(shù)。由此可見橢圓函數(shù)歸結(jié)為下面兩種類型Im=xmydx，Jk=dx（x-h）ky （2.3.4）在P（x）是三次多項式的情形下，可以證明Im和Jk能用三個基本橢圓積分I0,I1,J1表達。證明過程如下:求微商ddx(xmP(

28、x)=mxm-1P(x)+xm2P（x）P(x)=1y mxm-1（ax4+bx3+cx2+dx+e）+12xm（4ax3+3bx2+2cx+d） =1y（m+2）axm+3+（m+32）bxm+2+（m+1）cxm+1+（m+12）dxm+mexm-1. （2.3.5）求積分，得，(m+2)aIm+3+（m+32）bIm+2+（m+1）cIm+1+（m+12）dIm+meIm-1=xmP(x)+C，其中C為積分常數(shù)。 （2.3.6）當(dāng)P（x）為三次多項式時，a=0，上式中依次令m=0,1，時，給出Im用兩個基本橢圓積分I0,I1表達。同樣求微商有ddxP(x)（x-h）k=1（x-h）k+1

29、yx-h2Px-kP(x)=1y-kP(h)（x-h）k+1+(12-k)Ph（x-h）k+1-kP（h）2（x-h）k-1+（14-k6）P（h）（x-h）k-2， （2.3.7）求積分，得，-kP(h) Jk+1+（12-k）PhJk+（1-k）2P（h）Jk-1+（14-k6）P（h）Jk-2=P(x)（x-h）k+C. （2.3.8）很顯然有J0=I0，J-1=I1-hI0。上式中依次令k=1,2，我們求出Jk由I0,I1,J1表達。接下來我們討論P（x）為四次多項式時，如何得到第一類Legendre橢圓積分的標準型.1.根據(jù)代數(shù)學(xué)基本定理，實系數(shù)四次多項式可以表示為兩個實系數(shù)二次三項

30、式的形狀，ax4+bx3+cx2+dx+e=a（x2+px+q）（x2+px+q）。利用分式線性替換x=ut+vt+1，選取合適的u與v，我們得到R（x，P(x)）dx=R（ut+vt+1，M+Nt2（M+Nt2）（t+1）2）u-v（t+1）2dt，這樣可以改寫成如下形狀R（t，A1+mt2（1+mt2）dt，當(dāng)A，m與m異于0時.2.仿照定理1的證明過程，可以把這么積分在相差一個有理函數(shù)積分的范圍內(nèi)化為R（t）A1+mt2（1+mt2）dt.然后分解有理函數(shù)R（t）成為兩項R（t）=R（t）+R（-t）2+R（t）-R（-t）2.第一項當(dāng)以-t代替t時不改變自己的值，所以，可化為t2的有理

31、函數(shù)：R1（t2）；第二項在前述的代換時改變符號，因此有R2（t2）t的形狀。所考慮的積分可表示為積分的和R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt+R2（t2）tA1+mt2（1+mt2）dt的形式。但是，它們中的第二項可用過替換u=t2立即化成初等積分并在有限形狀中求得，所以只需進一步研究積分R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt就夠了。3.我們要說明積分R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt的每一種可能性都可以表示為下面形式R（z2）1-z2（1-k2z2）dz其中k是某一正真分數(shù)：0kh0）。為了使根式有實值，必須使t1h。我們令ht=z，這里0zhh。在這種情況下dty=dzh1-z2（1-h2h2z2）于是這里應(yīng)該取k=hh。.A=+1，m=-h2，m=h2（h，h0）。為了使根式有實值，必須使t1h。令ht=1-z2，這里0h0）.t的變換不受任何限制。令ht=z1-z2，這里0z0）。t的變化受不等式t1h所限制。取ht=11-z2，這里0zh0）。為了使根式有實值，必須使1ht1h。令ht=1-h2-h2h2z2，這里0z0，方程（2.4.11）成為u2=-A（u-b1）（u-b2）（u-b3），A0，b1b2b3，其中