滿足協(xié)變性的機械能守恒定律的條件

1、polytechnicu niversit y1 9 9 7 年 8 月aug. 1 9 9 7滿足協(xié)變性的機械能守恒定律的條件劉士元( 基礎(chǔ)部)摘 要 機械能守恒定律適用于慣性參照系 ,它應(yīng)滿足協(xié)變性的要求 。但是 ,一般來講機械能守 恒定律并不滿足這一要求 。討論滿足協(xié)變性的機械能并給出了守恒的充分必要條件 。關(guān)鍵詞 :慣性系統(tǒng) ;協(xié)變性 ;哈密頓函數(shù) ;拉格朗日函數(shù)中圖法分類 :o 3011滿足協(xié)變性要求的條件機械能守恒定律適用于慣性參照系 ,在某一慣性系中機械能守恒 ,但對于另一慣性系機械能就不一定守恒了 。這是因為勢能只決定于始末位置 ,于參照系的變換無關(guān) ,而外力作功與參照系的變換

2、有關(guān) ,也就是說 ,在某一慣性系中有 a 外 = 0 ,而在另一參照系中可能有 a 外 0 ,這 樣由系統(tǒng)的功能原理a 外 +a 非保內(nèi)= e2 - e1可見 ,一般來講 ,在兩個慣性系中機械能守恒定律不能同時滿足 ,也就是說不滿足協(xié)變性的要求 。因此 ,研究在什么條件下機械能守恒定律才滿足協(xié)變性的要求是非常必要的 。下面來比 較詳細地討論這一問題 。由質(zhì)點系的功能原理= ea 外 +及 d e/ dt = 0 , e = 恒量 ,得 ,= ( ek - ep ) - ( ek0 +ep0 )a 非保內(nèi)da 外 / d t + d a 非保內(nèi) / d t = 0在慣性系 k中動能增量為( m

3、1 v1 2 / 2 + m 2 v2 2 / 2)兩慣性系以速度 u 作相對運動 , 則有- ( m 1 v10 2 / 2 +m 2 v20 2 / 2)v10 =其代入式 ( 2) , 得v 10 - u , v20 =v 20 -u , v1 = v 1 - u , v2 = v 2 - u .m 1 ( v 1 - u ) 2 / 2 +m 2 ( v 2 - u) 2 / 2 -m 1 ( v 10 - u) 2 / 2 - m 2 ( v 20 - u) 2 = m 1 ( v 2 - 2 v u + u 2) / 2 + m ( v 2 - 2 v u + u 2) / 2 -

4、m ( v 2 - 2 vu + u 2) / 2 -m ( v 2 - 21 12 2 21 10102 20 ( m 1 v 2/ 2 + m v 2/ 2) - ( m v 2 / 2 + m v 2 / 2) + ( m v + m v ) - ( m v + mv ) u12 21 102 201 102 201 1 2 2見 , 若其與式 ( 1) 相等 ,則有 ( m 1 v 10 +v 20 )( m 1 v 1 +m 2-m 2v 2 ) u = 0于 u是任一常矢量 ,所以有( m 1 v 10 +v 20 )( m 1 v 1 +v 2 ) = 0m 2-m 2正是在 k

5、 系中的動量守恒 。因此系統(tǒng)在 k 系中滿足動量守恒條件時 , 就有動條件 , 因而 , 滿足協(xié)變要求的機械能守恒的充要條件是fi外= 0d a 外 / d t + d a 非保內(nèi) / d t = 0se hq i考慮到正則是方程= e pie hp i = -eqi有d h e he h e h e h e h e h( eq e peq e p ) et+h , h = 0=+-d teti ii i即當(dāng)滿足 eh/ et = 0 時 , h 為一運動積分 廣義的能量守恒. 由 h = el q - l , 用廣義坐kk eq k標(biāo)表示的動能表達式為t = t 0 + t 1 + t 2e

6、 ee ensns1ri riri rit 0 =m i ;t =( m= b q ;其中) q k1ik k2et etnet eqi = 1k = 1 i = 1k = 1ke ess1ri ri ( m i) q q : ; ( s 為體系的自由度數(shù)) .t 2 =k2 k = 1 l = 1 i = 1eq eqk如果加于質(zhì)點的約束是穩(wěn)定的 , 即不顯含時間 t , 即 e/ e = 0 , 則 t = t , 又由2ri t el q= et q = 2 t , 則有h = t + v = e .kkeq keq kkk在此情況下 , 體系的 h 即為機械能 , 這樣得出體系機械能守

7、恒的充要條件為e h/ et = 0e20 r / et = 0ik 系中的動能為 1n2t = m i v i =t 22i = 1k 系中 , 由 vi = v i - u , 有ererssv 2 = ( v - u ) ( v - u ) = ( iqiq- u ) ( i- u)iiikieqkeqikeees ssriririu 2= q k q- 2 q u +ikeqk eqieqkk lk系中系統(tǒng)的動能為n1m i vi 2t= i = 12k 系中的動能增量為eeeen s s1r2 i r1 i q qn s s1r1 i r1 i q = i = 1 k l i = 1

8、 k lm-m2i eqk eqik i2i eqk eqikk系中的動能增量為n s s = i = 1 k leeee1r2 i r2 i q qn s s1r1 i r1 i q qm- i = 1 k lm2i eqkeqik i2i eqk eqikeen sn sr1 ir2 i+ m iq- m i q ukkeqkeqki = 1 ki = 1 k較 和, 可得協(xié)變條件為n seen sr1 ir2 iq m i q u = 0 m i-kkeqkeqki = 1 ki = 1 k于 u的任意性 , 有een sn sr1 ir2 iq m i q = 0 m i-kkeqke

9、qki = 1 ki = 1 k即當(dāng)體系的哈密頓不顯含時間 , 且約束是穩(wěn)定的 , 質(zhì)點系的動量守恒 , 這時體系的機械能守恒 , 且滿足協(xié)變性要求 。參考文獻1 史玉昌 。勢能和機械能守恒定律 。大學(xué)物理 。1988 (7 )2 丁俊華 。關(guān)于機械能守恒條件問題的來稿綜述 。大學(xué)物理 。1988 (1 )3 盧圣治 。用牛頓力學(xué)方法和分析力學(xué)方法分析機械能守恒條件時遇到的一些問題 。大學(xué)物理 , 1988 (1 )con dit ion of the la w of conservat ion of mechan icalenergy un der sat isf ying covarian

10、cel i u s hi y u a n(dep t . of science)abstractthe law of co nservatio n of mechanical energy is applied to inertial coo rdinate system. a p hysi2 cal law must satisf y t he demand of covariance . but in general , t he law of co nservatio n of mechani2 cal energy doesn t satisf y t he dmand above mentio ned. this paper has discussed t he p ro blem be2fo re mentio ned an