自動控制原理習(xí)題及其解答第三章

1、.第三章例3-1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-1所示。已知傳遞函數(shù) 。 今欲采用加負反饋的辦法，將過渡過程時間ts減小為原來的0.1倍，并保證總放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)kh和k0的數(shù)值。解 首先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（s），并整理為標準式，然后與指標、參數(shù)的條件對照。 一階系統(tǒng)的過渡過程時間ts與其時間常數(shù)成正比。根據(jù)要求，總傳遞函數(shù)應(yīng)為即 比較系數(shù)得 解之得 、 解畢。例3-10 某系統(tǒng)在輸入信號r(t)=(1+t)1(t)作用下，測得輸出響應(yīng)為： （t0）已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解 因為故系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 精品. 解畢。例3-3 設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-2所示。試分析參數(shù)b的取值對系統(tǒng)階躍響應(yīng)動

2、態(tài)性能的影響。解 由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)是一階的。動態(tài)性能指標為因此，b的取值大將會使階躍響應(yīng)的延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間都加長。解畢。例 3-12 設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-34所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。h(t)t0.1034圖3-34 二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)解 首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為3，故此系統(tǒng)的增益不是1，而是3。系統(tǒng)模型為bs然后由響應(yīng)的、及相應(yīng)公式，即可換算出、。精品.（s）由公式得換算求解得： 、 解畢。例3-13 設(shè)系統(tǒng)如圖3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于，峰值時間等于0.8s，試確定增益k1和速度反饋系數(shù)kt 。同時，確定在此

3、k1和kt數(shù)值下系統(tǒng)的延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間。1+kts圖3-35c(s)r(s)解 由圖示得閉環(huán)特征方程為即 ，由已知條件 解得于是 精品. 解畢。圖3-36 例3-14 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖h(s)c(s)r(s)例3-14 設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-36所示。試設(shè)計反饋通道傳遞函數(shù)h(s)，使系統(tǒng)阻尼比提高到希望的1值，但保持增益k及自然頻率n不變。解 由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù) 在題意要求下，應(yīng)取 此時，閉環(huán)特征方程為：令： ，解出，故反饋通道傳遞函數(shù)為： 解畢。例3-15 系統(tǒng)特征方程為試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 特征式各項系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。上述方程中s一次項的系數(shù)為零，故系統(tǒng)肯定

4、不穩(wěn)定。解畢。精品.例3-16 已知系統(tǒng)特征方程式為試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。解 勞斯表為 1 18 8 16 由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項均具有正號，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。例3-17 已知系統(tǒng)特征方程為試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解 本例是應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種特殊情況。如果在勞斯行列表中某一行的第一列項等于零，但其余各項不等于零或沒有，這時可用一個很小的正數(shù)來代替為零的一項，從而可使勞斯行列表繼續(xù)算下去。勞斯行列式為 由勞斯行列表可見，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個很小的正數(shù)來代替；第四行第一列系數(shù)為（2+2/，當趨

5、于零時為正數(shù)；第五行第一列系數(shù)為（4452）/（2+2），當趨于零時為。由于第一列變號兩次，故有兩個根在右半s平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。精品.解畢。例3-18 已知系統(tǒng)特征方程為試求：（1）在右半平面的根的個數(shù)；（2）虛根。解 如果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根平面內(nèi)存在對原點對稱的實根，共軛虛根或（和）共軛復(fù)數(shù)根。此時，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，并對輔助多項式求導(dǎo)，將導(dǎo)數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)計算勞斯行列表。對原點對稱的根可由輔助方程（令輔助多項式等于零）求得。勞斯行列表為 由于行中各項系數(shù)全為零，于是可利用行中的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，即求輔助多項式

6、對s的導(dǎo)數(shù)，得原勞斯行列表中s3行各項，用上述方程式的系數(shù)，即8和24代替。此時，勞斯行列表變?yōu)?1 8 20 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 2.67 16精品.新勞斯行列表中第一列沒有變號，所以沒有根在右半平面。對原點對稱的根可解輔助方程求得。令 得到 和 解畢。例3-19 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求： （1）位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)；（2）當參考輸入為，和時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解 根據(jù)誤差系數(shù)公式，有位置誤差系數(shù)為 速度誤差系數(shù)為加速度誤差系數(shù)為對應(yīng)于不同的參考輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。參考輸入為，即階躍函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為參考輸

7、入為，即斜坡函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為參考輸入為，即拋物線函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為精品. 解畢。例3-20 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為輸入信號為r（t）=a+t，a為常量，=0.5弧度/秒。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解 實際系統(tǒng)的輸入信號，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號的組合。此時，輸入信號的一般形式可表示為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應(yīng)用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起的誤差的總和。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按下式計算：對于本例，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為本題給定的開環(huán)傳遞函數(shù)中只含一個積分環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 解畢。例3-21 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-37

8、所示。假設(shè)輸入信號為r(t)=at (為任意常數(shù))。證明：通過適當?shù)卣{(diào)節(jié)ki的值，該系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差能達到零。精品.kis+1圖3-37 例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖c(s)r(s)解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為即 因此 當輸入信號為r(t)=at時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為要使系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，即ess=0，必須滿足所以 解畢。例3-22 設(shè)單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。如果要求系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差ess=0，單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量mp%=4.3%，試問kp、kg、t，各參數(shù)之間應(yīng)保持什么關(guān)系？解 開環(huán)傳遞函數(shù)精品.顯然 解得:由于要求故應(yīng)有 0.707。于是，各參數(shù)之間應(yīng)有如下

9、關(guān)系本例為i型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差ess=0的要求自然滿足。解畢。例3-23 設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-38所示。其中 ， ， 試求 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。sk3c(s)圖3-38 復(fù)合控制系統(tǒng)r(s)k1解 閉環(huán)傳遞函數(shù)等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)精品.表明系統(tǒng)為ii型系統(tǒng)，且當時，穩(wěn)態(tài)誤差為 解畢。例3-24 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 。 試選擇參數(shù)及的值以滿足下列指標：（1）當r(t)= t時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess0.02；（2）當r(t)=1(t)時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標mp%30%，ts0.3s (=5%)解 開環(huán)增益應(yīng)取k50 。現(xiàn)取k=60 。因故有，于是 取% ，計算得此時(s)滿足指

10、標要求。最后得所選參數(shù)為：k=60 t=0.02 (s) 解畢。例3-25 一復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-39所示。精品.圖3-39 復(fù)合控制r(s)c(s)g2(s)g1(s)gr(s)e(s)圖中：k1、k2、t1、t2均為已知正值。當輸入量r(t)= t2/2時，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試確定參數(shù) a和b 。解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為故 誤差為 代入 及、, 得 閉環(huán)特征方程為 易知，在題設(shè)條件下，不等式成立。由勞斯穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且與待求參數(shù)、 無關(guān)。此時，討論穩(wěn)態(tài)誤差是有意義的。而若 精品.則有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為因此可求出待定參數(shù)為 解畢。e(s)c(s)n(s)r(s)2.5 圖3-40

11、 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例3-26 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-40所示。誤差e(s)在輸入端定義。擾動輸入是幅值為2的階躍函數(shù)。 （1）試求k=40時，系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。（2）若k=20，其結(jié)果如何？（3）在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，對結(jié)果有何影響？在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，結(jié)果又如何？解 在圖中，令 ，則 代入，得 令，得擾動作用下的輸出表達式精品. 此時，誤差表達式為 即 而擾動作用下的穩(wěn)態(tài)輸出為代入n(s)、g1、g2和h的表達式，可得，（1）當時，（2）當時，可見，開環(huán)增益的減小將導(dǎo)致擾動作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大，且穩(wěn)態(tài)誤差的絕對值也增大。若1/s加在擾動作用點之前，則，不難算得，若1/s加在擾動作用點之后，則，容易求出精品.可見，在擾動作用點之前的前向通道中加入積分環(huán)節(jié)，才可消除階躍擾動產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。解畢。例3-27設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞