線性微分方程組

1、4.1 、線性微分方程組的有關(guān)概念1 線性微分方程組的定義定義定義 形如111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t的微分方程組,稱為一階線性微分方程組.( )( , ,1,2, ),( )(1,2, )ijia t i jnf t inatb 其中在上連續(xù).(4.1)( )(1,2, )ix t inatb 設(shè)函數(shù)組在上連續(xù),且1122( )( )( )( )( ),iiiinnidx tat xat x

2、at xf tdt1,2,in12( ),( ),( )(5.1)nx tx tx tatb 則稱函數(shù)組為微分方程組在上的一個(gè)解.12(5.1),nncc含有 個(gè)獨(dú)立的任常數(shù)c的解12,1,2,inx ttccini( )= ( ,c),稱為(3.1)的通解.3.1（4.1）2 函數(shù)向量和函數(shù)矩陣的有關(guān)定義(1)n維函數(shù)列向量定義為12( )( )( )( )nx tx tx tx t( )(1,2, )ix t in每一在區(qū)間i上有定義.( )n na t 函數(shù)矩陣定義為1112122122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnatatatatatata

3、 tatatat( )ija t每一在i上有定義.注:對(duì)向量或矩陣的代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì),對(duì)于以函數(shù)作為元素的矩陣同樣成立.(2 )函數(shù)向量和矩陣的連續(xù),微分和積分的概念( )( )x ta t如果函數(shù)向量或函數(shù)矩陣的每一元素都是區(qū)間,atb 連續(xù)函數(shù)上的( )( ),x ta tatb 連續(xù)則稱或在上可微函數(shù)可微可積函數(shù)可積此時(shí),它們的導(dǎo)數(shù)與積分分別定義為12( )( )( ),( )nx tx tx tx t111212122212( )( )( )( )( )( )( ).( )( )( )nnnnnnatatatatatata tatatat000012( )( )( )( )ttttttt

4、ntx s dsx s dsx s dsx s ds0000000000111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )tttntttttttntttttttnnnntttas dsas dsas dsas dsas dsas dsa s dsas dsas dsas ds注:關(guān)于函數(shù)向量與矩陣的微分,積分運(yùn)算法則,和普通數(shù)值函數(shù)類似.(3 ) 矩陣向量的范數(shù)定義定義12( ,)(tnijnxx xxn naan n對(duì) 維列向量及矩陣),定義它們的范數(shù)為1,niixx,1,niji jaa,( ), ( ) , ,a bnnxyna tx ta b設(shè)是矩陣和

5、 是 維列向量是在上可積的函數(shù)矩陣和向量 則易驗(yàn)證有下面的性質(zhì)01,aba b,axa x02,abab,xyxy03( )( ),bbaax s dsx s ds( )( ),bbaaa s dsa s ds().ab111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t3 一階線性微分方程組的向量表示對(duì)一階線性微分方程組:( )( ),ijn na ta t若記12( ,) ,tnxx xx12( )( ),(

6、),( )tnf tf tf tf t則(4.1)可寫成( )( ),(5.4)dxa t xf tdt(4.1)（4.4）(1)定義定義1( ),( ),a tatbnnf tatbn 設(shè)是上連續(xù)的矩陣是上連續(xù)的 維列向量函數(shù) 方程組( )( ),(5.4)xa t xf t( , , )( ),( )(5.4),ta bu tu tt 在的解向量是指在上滿足即( )( ) ( )( ),.u ta t u tf tt (2)定義定義2初值問(wèn)題0( )( ) ( )( ),( ),(5.5)x ta t x tf tx t00 ,( ),( ).tu tu t 的解,就是方程組(5.4)在包

7、含 的區(qū)間的解使得（4.4）（4.5）4.4相應(yīng)的齊次方程為柯西問(wèn)題)()(tfxtadtdx（4.4）xtadtdx)()()()(0txtfxtadtdx（4.5）非齊次方程通解通解通積分通積分),(21nccct),(),(),(21212211nnnnccctccctccct0),(0),(0),(21212121221211nnnnnnncccxxxtcccxxxtcccxxxt例例1驗(yàn)證向量( )tteu te是初值問(wèn)題011,(0)101xxx.t 在區(qū)間上的解解解:顯然00(0)eue11-,ttee因?yàn)楹吞幪幱羞B續(xù)導(dǎo)數(shù) 我們得到( )u t 0110ttee01( ),10u

8、 t( ).u t因此,是給定初值問(wèn)題的解ttee4 n階線性微分方程的初值問(wèn)題與一階線性微分方程組的初值問(wèn)題關(guān)系對(duì)n階線性微分方程的初值問(wèn)題( )(1)1( )( )( )nnnxa t xa t xf t(1)01020( ),( ),( )nnx tx txt(5.6)0( )(1,2, ),( ), , ,(1,2, )iia t inf tatbta bin 其中在上連續(xù)為常數(shù).若令:1,xx2,xx,(1);nnxx3,xx4.6則有:12,xxx23,xxx(1)1,nnnxxx( )1121( )( )( )( ),nnnnnxxa t xat xa t xf t 而且:(1)

9、1001200200( )( ),( )( ),( )( )nnnx tx tx tx tx txt即方程(4.6)可化為(1)123,.nnxx xx xxxx121010000010000010( )( )( )( )( )nnnxxa tatata tf t120( )nx t(5.7)4.70( )(5.6)ttatb 若是在包含 的區(qū)間的任一解,則令12( )( )( )( )ntttt12(1)( )( ),( )( ),( )( ),.nntttttt atb 這里( )(5.7)t則是的解顯然:102000( )( )( )( )ntttt00(1)0( )( )( )nttt

10、12n4.64.7且:12( )( )( )( )ntttt23(1)1( )( )( )( )( )( )nnnttta ta tf t12101000010( )0001( )( )( )( )nnnta tatata t000( )f t10( )( ),( ) , (5.7)tnu tu tu tta b反之,設(shè)是在包含 的區(qū)間上的解1( )( ),( )(5.6),tu tt定義函數(shù)則是的解事實(shí)上,由12( )( )( )nu tu tu t121010000100001( )( )( )( )nnna tatata t12( )( )( )nu tu tu t000( )f t知1

11、2( )( )( ),tu tu t23( )( )( ),tu tu t(1)1( )( )( ),nnntutu t( )11( )( )( )( )( )( )( ),nnnntu ta t u ta t u tf t (1)1( ) ( )( )( )( ),nna tta ttf t 即( )(1)1( )( )( )( ) ( )( ),nnnta tta ttf t且(1)010100( )( ),( )( )nnntu ttu t即初值問(wèn)題(4.6)與(4.7)的解等價(jià),即給出其中一個(gè)初問(wèn)題的解,可構(gòu)造另一個(gè)初值問(wèn)題的解.例例228, (0)1,(0)4txxtxe xx 將初

12、值問(wèn)題化為與之等價(jià)的一階微分方程組的初值問(wèn)題.解解:設(shè)1( ),x tx2( ),x tx則有228txxxtxe 1282,ttxxe即有12,xx21282,txtxxe也即1122( )( )01( )( )82x tx tx tx tt0te12(0)1(0)4xx注注:每一個(gè)n階線性微分方程可化為n個(gè)一階線性微分方程構(gòu)成方程組,反之卻不成立.如如: 方程組1122( )( )10( )( )01x tx tx tx t不能化為一個(gè)二階微分方程.4.2一階線性齊次方程組的一般理論0( )( )(5.5)( )xa t xf tx t1 存在唯一性定理（3.5）2. 一階線性齊次方程組解

13、的結(jié)構(gòu)一階線性齊次方程組解的結(jié)構(gòu))10. 3()( xtadtdx.,)(.nrxita上連續(xù)在區(qū)間其中的解的性質(zhì)1. 一階線性齊次方程組一階線性齊次方程組疊加性疊加性:方程方程(4.10)的任何兩個(gè)解的線性組合仍是解的任何兩個(gè)解的線性組合仍是解.定理定理4.2）的解，則是（設(shè)10. 3)(,),(),(21txtxtxm)()()()(2211txctxctxctxmm）的解。也是（ 10. 3)(1ctx(4.12)定義定義4.1nmdtxtxtxm個(gè)上的為定義在設(shè))(,),(),(21個(gè)不全為零的常數(shù)維向量函數(shù)，如果存在m使得mccc,210)()()(2211txctxctxcmm線性

14、無(wú)關(guān)。為線性相關(guān)，否則稱為則稱)(,),(),(21txtxtxm例1 判別向量函數(shù) 的相關(guān)性要 tttx1cos)(21xttx11sin)(220)()(2211txctxc121cc成立tetx31111)(tetx62121)(0)()(2211txctxc0020321321321tttecceccecc例2 判別向量函數(shù) 的相關(guān)性要使得021 cc則線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)例3 判別向量函數(shù) 的相關(guān)性tetx21101)(tetx22110)(成立0)()(2211txctxc0002121cccc要使得021 cc則定義定義3.2規(guī)定為朗斯基行列式朗斯基行列式)()(),(),(21tx

15、ntxtxtxin個(gè)向量函數(shù)，以是設(shè)列所構(gòu)成的矩陣記為作為第i), 2 , 1()()()()(21nitxtxtxtxniiii)()()()()()()()()()(212221212111txtxtxtxtxtxtxtxtxtwnnnnnn(3.18)定理定理:. 0)(,)(,),(),(21xwiitxtxtxn上它們的朗斯基行列式則在相關(guān)上線性在區(qū)間如果向量函數(shù)即向量函數(shù)組線性相關(guān)，則其朗斯基行列式恒為零。.)(,),(),(, 0)(,2100上線性無(wú)關(guān)在區(qū)間則向量函數(shù)使得如果存在itxtxtxtwitn定理定理:即朗斯基行列式在一點(diǎn)處非零，則向量函數(shù)組線性無(wú)關(guān)。).(0)()(

16、,),(),(,)10. 3()(,),(),(2121ittwitxtxtxitxtxtxnn是上線性相關(guān)的充要條件在則上的解在區(qū)間是如果向量函數(shù)定理定理3.3:定理定理3.3即齊次方程的解組線性無(wú)關(guān)，則其朗斯基行列式恒不為零。).(0)()(,),(),(,)10. 3()(,),(),(2121ittwitxtxtxitxtxtxnn是上線性相關(guān)的充要條件在則上的解在區(qū)間是如果向量函數(shù).,)10. 3()()()(,)10. 3(2111為任意常數(shù)的通解。是則個(gè)線性無(wú)關(guān)解的nnnccctxctxctxnctxtx)()(或者是齊次線性方程組如果)(,),(),(21txtxtxn定理定理

17、3.4則個(gè)線性無(wú)關(guān)解的,)10. 3(n的一個(gè)基本解組。為稱)10. 3()(,),(),(21txtxtxn是齊次線性方程組如果)(,),(),(21txtxtxn定義定義3.3.)10. 3()(,),(),()(21的基本解矩陣為txtxtxtxn即 n階齊次方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解稱為基本解組基本解組。即即 由基本解組構(gòu)成的矩陣稱為基解矩陣基解矩陣定理定理3.5齊次方程（3.10）必存在基本解組。定理定理劉維爾公式劉維爾公式itetwtwtxtxtxnttdtttran0)(0210)()(),(,),(),()10. 3(足它們的朗斯基行列式滿個(gè)解的任何對(duì)方程)()()()(2211ta

18、tatattrann）的一個(gè)特解是非齊次線性方程組（如果8 . 3)(*tx) 8 . 3()()(tfxtadtdx）的通解，則）對(duì)應(yīng)的齊次方程（是（10. 38 . 3)( ctxx三、 一階線性非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)一階線性非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理定理3.6的通解。是) 8 . 3()(*)(txctxx疊加性疊加性:方程方程(3.8)的任何解與的任何解與(3.10)的解的和仍是的解的和仍是(3.8)的解的解.方程方程(3.8)的任何兩個(gè)解的差是的任何兩個(gè)解的差是(3.10)的解的解. 3.3常系數(shù)線性微分方程組的解法常系數(shù)線性微分方程組的解法 但是對(duì)于一般的方程組(3.10)，如何求出基

19、本解組，至今尚無(wú)一般方法.求線性齊次方程組(3.10)的通解問(wèn)題，歸結(jié)到求其基本解組.然而對(duì)于常系數(shù)線性齊次方程組)24. 3(axdtdx約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式與矩陣a的特征方程的根的情況有關(guān)上述方程也稱為常系數(shù)齊次方程組(3.24)的特征方程式 tzx 令axdtdx(3.21) atztdtdz11、 矩陣矩陣a的特征根均是單根的情形的特征根均是單根的情形. 2、 矩陣矩陣a的特征根有重單根的情形的特征根有重單根的情形. 易見(jiàn)方程組有n個(gè)解 1、 矩陣矩陣a的特征根均是單根的情形的特征根均是單根的情形. natt000000211nnnzzzdtdzdtdzdtdz212121000000ax

20、dtdx把這n個(gè)解代回變換之中，便得到方程組(3.24)的n 個(gè)解 ), 2 , 1()(321nitettttetxitniiiitiii0001)(1tz0010)(2tz1000)(,tzn即：即：方程組(3.24)的系數(shù)陣a的n個(gè)特征根 是方程組(3.24)的一個(gè)基本解組 .,)24. 3(,的特征向量對(duì)應(yīng)于特征根是矩陣其中的解有形式為則的單特征根是矩陣如果atteax)24. 3 (axdtdx.實(shí)矩陣實(shí)矩陣是是其中其中nna 定理定理ntntttetxtetxtetxn)(,)(,)(221121例題1 求以下微分方程組的通解 21213324xxxx解 03324, 067 26

21、 , 1:110031324121aa023 21aa:110031324121aa023 21aa3 , 2 21aa可選擇32 1h:620036324621aa022 21aa1 , 1 21aa可選擇11 2httteee3232 1ttteee666211 ,因此基本矩陣為tttteeeexxx662132故通解為ttttttttececececcceeeexcxx6216212166213232或以分量表示為ttecectx62112)(ttecectx62123)( 例2 試求方程組的通解 zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx353解 它的系數(shù)矩陣是 特征方程是 zyxdt

22、dzzyxdtdyzyxdtdx353632321036361123先求 對(duì)應(yīng)的特征向量 a, b, c滿足方程21101cba1011tcbat11c, 這三個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量分別是故方程組的通解是 可求出另兩個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量， with(linearalgebra); a:= , , : eigenvalues(a): eigenvectors(a): t1:= , , : t2:= , , : t3:= , , : y:=c1*e(3*t)*t1+c2*e(2*t)*t2+c3*e(6*t)*t3; := yc1 e()3 tc2 e()2 tc3 e()6 tc1 e()

23、3 t2 c3 e()6 tc1 e()3 tc2 e()2 tc3 e()6 t現(xiàn)在考慮復(fù)根情形 因?yàn)閍是實(shí)的矩陣，所以復(fù)特征根是共軛出現(xiàn)的，設(shè) 是一對(duì)共軛根，由定理對(duì)應(yīng)解是其中t1，t2是特征向量，這是實(shí)變量的復(fù)值解，通常我們希望求出方程組（3.24）的實(shí)值解定理定理 如果實(shí)系數(shù)線性齊次方程組 則其實(shí)部和虛部 )()()()(,)(u)(u)(u)(n21n21tvtvtvtvttttuxtadtdx)(i2, 1221121)(,)(tetxtetxtt)()()(tivtutx有復(fù)值解 定理定理的向量函數(shù)，b1,b2是兩個(gè)不等于零的常數(shù)，則向量函數(shù)組在區(qū)間(a, b)上仍是線性無(wú)關(guān)的.

24、 實(shí)矩陣a的復(fù)特征根一定共軛成對(duì)地出現(xiàn).即，如果=a+ib是特征根，則其共軛 也是特征根iba ),(,),(),(21txtxtxn)(,),(),()(),()(3212211txtxtxtxbtxtxbn如果是區(qū)間(a,b)上的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)值解形式是 ntbiatbiatttetetx21)(1)(1)(21222112112122211211)()sincos(nnatnntbiaittittittbtibteittittitteiba方程組(3.24)對(duì)應(yīng)于 2122211211)sincos(nnatittittittbtibtebttbttbttbttbttbttiebttb

25、ttbttbttbttbttennaxnnatsincossincossincossincossincossincos21222112112122211211是對(duì)應(yīng)于 的特征向量.由于矩陣a是實(shí)的，所以上述向量的共軛向量是方程組(3.24)對(duì)應(yīng)于特征根 的解，記作 現(xiàn)將上述兩個(gè)復(fù)值解，按下述方法分別取其實(shí)部和虛部為 bttbttbttbttbttbttetxtxnnatsincossincossincos)()(21212221121121iba 121)(2,)(tttetxtbia它們分別是方程組(3.24)的解，并且由此得到的n個(gè)解仍組成基本解組. bttbttbttbttbttbtte

26、txtxnnatsincossincossincos)()(21212221121121bttbttbttbttbttbttetxtxinnaxsincossincossincos)()(21122122111221例題 求以下微分方程組的通解 020220102aaxx，其中解 00202201020)42)(2(231 , 31 , 2ii000022022201022 :23211aaa0240323aaa1 , 0 , 0123aaa另選擇tex21001 0000)31(2022)31(0102)31(:313212aaaiiii02)31 (0)33(3231aaiaai32, 3

27、3 1 231iaiaa選擇tieii)31(233321tieii)31(333321332030133321 iii由於3320 , 301 uv)3sin33203cos301()3sin3cos(2ttetvtuextt cossinsincos 32vuttttexxt)3cos33203sin301()3cos3sin(3ttetvtuextttttet3sin33cos33sin323costtttet3cos33sin33cos323sin332211 xcxcxcx通解tectecectxttt3sin3cos)(32211tectectxtt3cos323sin32 )(3

28、22)3cos33sin3( )3sin33cos3( )(323ttecttectxtttec21001 tttect3sin33cos33sin323cos2ttttect3cos33sin33cos323sin3 例2 試求方程組的通解 zxdtdzyxdtdyzyxdtdx3解 它的系數(shù)矩陣是 特征方程是 所以矩陣a的特征根為 先求 對(duì)應(yīng)的特征向量 103011111a0103011111)det(ea0)52)(1(2i,211321111101t再求所對(duì)應(yīng)的特征向量滿足方程組 i 2120203021112)21 (2cbaiiiteia用2i乘上述第一個(gè)方程兩端，得 即 0230

29、202ciabiacbai023020224ciabiacibia 顯見(jiàn)，第一個(gè)方程等于第二與第三個(gè)方程之和.故上述方程組中僅有兩個(gè)方程是獨(dú)立的，即 求它的一個(gè)非零解.不妨令 則 于是 312)22(31221itsinitcoseiett )i(tsintsintcosietcostcostsinett2322223222023020224ciabiacibia02302ciabia故，原方程組的通解為 tsintsintcosietcostcostsinett23222232221101ttsintsintcosectcostcostsinecectztytxttt232222322211

30、0)()()(321 a:= , , : eigenvalues(a): eigenvectors(a): t1:= , , : t2:= , , : t3:= , , : et*(cos(2*t)+i*sin(2*t)*t2: simplify(%): u:= , , : v:= , , : y:=c1*e(1*t)*t1+c2*u+c3*v; with(linearalgebra); := y23c2 et()sin 2 t23c3 et()cos 2 tc1 et13c2 et()cos 2 t13c3 et()sin 2 tc1 etc2 et()cos 2 tc3 et()sin 2

31、 t.1)(,)()24. 3(,00向量函數(shù)的多項(xiàng)式是次數(shù)不超過(guò)其中的解有形式為則重單特征根的是矩陣如果定理：ktpetpkax2、 矩陣矩陣a的特征根有重根的情形的特征根有重根的情形 .) 1()(2)()(0)(,)()24. 3(,1 . 312211001101110kkkktkkrkrearrearrearearrretrtrrxkka由下列方程確定其中個(gè)線性無(wú)關(guān)解存在則方程重特征根的是矩陣：如果引理.,0)(), 2 , 1(.,)(!)24. 3(. 7 . 321212121101nnnnnnnmaveamivvvvveajtexmmminiimnjijijmitiii分別為

32、它們的重?cái)?shù)個(gè)不同特征根的為矩陣滿足方程其中滿足的解為方程定理例3 求解方程組 213312321yydxdyyydxdyyydxdy解 系數(shù)矩陣為 特征方程為特征根為 對(duì)應(yīng)的解是 213312321yydxdyyydxdyyydxdy011101110a0) 1)(2(212321,21xexy21111)(下面求 所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解.由定理，其解形如 132xexrrxy)()(10并且 滿足 0)()(0210rearrea10r,r由于 333333333)(1111111112ea,ea那么由 可解出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)向量 101011,0)(02rea可解出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)向量 將上述兩個(gè)

33、向量分別代入 中，均得到 為零向量.于是 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解是101011,xxexy ,exy101)(011)(32最后得到通解 101011111)(3221xxxecececxyxxexy ,exy101)(011)(32xexy21111)( with(linearalgebra); a:= , , : e:= , , : eigenvalues(a): eigenvectors(a): y1:=e(2*x)* , , : c:=evalm(a+e): aa:=evalm(c&*c): x:= , , : f:=evalm(aa&*x): eqn1:=f1,1: eqn2:=f2,

34、1: eqn3:=f3,1: solve(eqn1,eqn2,eqn3,a,b,c): r01:= , , : r02:= , , : r11:=evalm(c&*r01): r12:=evalm(c&*r02): y2:=e(-x)*r01: y3:=e(-x)*r02: y:=c1*y1+c2*y2+c3*y3; := yc1 e()2 xc2 e()xc3 e()xc1 e()2 xc2 e()xc1 e()2 xc3 e()x例4 求解方程組 332133212321123yyydxdyyyydxdyyyydxdy解 系數(shù)矩陣為 特征方程為特征根為 對(duì)應(yīng)的解是 111121113a0)

35、2(32321xexrxrrxy22210)()(并且 滿足 由于 101000101)2( ,11110111122eaea100010,001，0)2(2)2()2(0321210rearrearrea210,rrr可分別取0r000000000)2(3ea程將他們依次代入上面方對(duì)應(yīng)的3個(gè)線性無(wú)關(guān)解是111101,111，為相應(yīng)求得1r21021000,21021，為相應(yīng)求得2rxexxxy22121021111001)(最后得到通解 xxexxxyexxy2232221021111100)(,101010)(3212222221121121211)(cccxxxxxxxxxxxxexyx

36、xexxxy22121021111001)( with(linearalgebra); a:= , , : e:= , , : eigenvectors(a): c:=evalm(a-2*e): aa:=evalm(c&*c): aaa:=evalm(aa&*c): x:= , , : f:=evalm(aaa&*x): eqn1:=f1,1: eqn2:=f2,1: eqn3:=f3,1: solve(eqn1,eqn2,eqn3,a,b,c): r01:= , , : r02:= , , : r03:= , , : r11:=evalm(c&*r01): r12:=evalm(c&*r02): r13:=evalm(c&*r03): r21:=evalm(c&*r11)/2: r22:=evalm(c&*r12)/2: r23:=evalm(c&*r13)/2: y1:=e(2*x)*evalm(r01+x*r11+r21*x*x): y2:=e(2*x)*e