線性系統(tǒng)的能控性與能觀測性

1、第三章第三章 線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性分析線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性分析 3.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性 3.4 線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性系統(tǒng)系統(tǒng)nxxx,21狀態(tài)狀態(tài)1u2unu1y1yny每一個狀態(tài)變量每一個狀態(tài)變量 運動都可由運動都可由輸入輸入u(t)來來影響和控制，而由任意的始點達(dá)到原點影響和控制，而由任意的始點達(dá)到原點狀態(tài)能控狀態(tài)能控。12,nx xx對能控性和能觀測性的直觀討論對能控性和能觀測性的直觀討論狀態(tài)狀態(tài) 的任意形式的運動均可由的任意形式的運動均可由輸出完全反映輸出完全反映狀態(tài)能觀測。狀態(tài)能觀測。12,nx

2、 xx 能控性(controllability)和能觀測性(observability)深刻地揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系，由r.e.kalman于60年代初首先提出并研究的這兩個重要概念，在現(xiàn)代控制理論的研究與實踐中，具有極其重要的意義，事實上，能控性與能觀測性通常決定了最優(yōu)控制問題解的存在性。例如，在極點配置問題中，狀態(tài)反饋的的存在性將由系統(tǒng)的能控性決定；在觀測器設(shè)計和最優(yōu)估計中，將涉及到系統(tǒng)的能觀測性條件。 在本章中，我們的討論將限于線性系統(tǒng)。將首先給出能控性與能觀測性的定義，然后推導(dǎo)出判別系統(tǒng)能控和能觀測性的若干判據(jù)。3.1.1 概述概述3.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性 能

3、控性和能觀測性就是研究系統(tǒng)這個“黑箱”的內(nèi)部的狀態(tài)是否可由輸入影響和是否可由輸出反映。 uxxxx21500421212160 xxy例例 3.1 給定系統(tǒng)的描述為將其表為標(biāo)量方程組形式，有： uxx114uxx252226xy分析：x1、x2受控于u y與x1無關(guān) y與 x2有關(guān)例例3.2：判斷下列電路的能控和能觀測性)(turrrrcxyccrr)(tu1x2x左上圖：輸入u（t），狀態(tài)x（t），輸出y（t）。右上圖：輸入u（t），狀態(tài)x1（t）， x2（t）。1rly1rl2r0)(tui1x2x左圖：輸入u（t），狀態(tài)x1（t）， x2（t），輸出y（t） 。3.1.2 能控性的定義能

4、控性的定義 utbxtax)()(線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：: ),dcba（) 1 . 3)()()(（utdxtctyjt 00)(xtx其中：x 為 n 維狀態(tài)向量；u 為 m 維輸入向量； j 為時間 t 的定義區(qū)間；a為 n*n 的元為 t 的連續(xù)函數(shù)的矩陣； b 為 n*m的元為 t 的連續(xù)函數(shù)的矩陣。 定義定義1 1：對線性時變系統(tǒng) ，如果對取定初始時刻 的一個非零初始狀態(tài) ，存在一個時刻 ，和一個無約束的的容許控制 ， ，使?fàn)顟B(tài)由 轉(zhuǎn)移到 時 ，則稱此 在時刻 是能控的。 jt 0jt 101tt )(tu10,ttt 1t0)(1tx0x0t),dcba（0x0x定義定義2

5、 2：對線性時變系統(tǒng) ，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在時刻t0為能控的，那么稱系統(tǒng) 在時刻t0是能控的。 ),dcba（),dcba（定義定義3 3：對上述線性時變系統(tǒng) ，取定初始時刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻 是不能控的，則稱系統(tǒng)在時刻 是不完全能控的。 jt 00t0t),dcba（定義的幾點解釋：(1) 對軌跡不加限制，是表征系統(tǒng)狀態(tài)運動的一種定性特性； (2) 容許控制的分量幅值不加限制，且在 上平方可積； j0t(3) 線性定常系統(tǒng)的能控性與 無關(guān)；(4) 如果將上面非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，改為零狀態(tài)到非零狀 態(tài)，則稱為系統(tǒng)的能達(dá)性。(5) 系統(tǒng)不完全能控為一種

6、“奇異”情況。 3.1.3 3.1.3 定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù)定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù))()()(tbutaxtx考慮線性連續(xù)時間系統(tǒng) (a,b,c,d)： (3.2）mnnnmnrbrarturtx,)(,)(其中10ttt0tt 如果施加一個無約束的控制信號，在有限的時間間隔 內(nèi)，使初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一終止?fàn)顟B(tài)，則稱由式（3.2）描述的系統(tǒng)在 時為狀態(tài)(完全)能控的。如果每一個狀態(tài)都能控，則稱該系統(tǒng)為狀態(tài)(完全)能控的。 )0()(0xtxt且初始條件為 。1. 1. 格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)01t1t0t1, 0ttaatcdtebbetw定理定理1 1：格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)(3.

7、2)為完全能控的充分必要條件是，存在 ，使如下定義的格拉姆矩陣 (3.3) 非奇異。證明證明：充分性：已知 非奇異，欲證系統(tǒng)完全能控。采用構(gòu)造法證明，構(gòu)造的控制量為, 01twc, 0, 0)(1011ttttxtwebtucta在 作用下容易解得：)(tu1t110011t0, 0tctaatatatxtdtwebbeexe0, 0, 00111011xtwtwexeccatat1110)(01)()(tttaatdttbuexetx充分性得證。必要性：已知系統(tǒng)為完全能控，欲證 非奇異。, 01twc反證法。反設(shè) 為奇異，也即反設(shè)存在某個非零 ， 使成立cwnrx 00, 001t0xtwx

8、cdtxebbexxtwxtaattc0t0t001t0t1, 00dtxebtta1t020t要使上式成立，應(yīng)有,01tt 00ttxebta另一方面，因系統(tǒng)完全能控，對非零 又成立0x由此進(jìn)而有111001)()(0tatatatdttbueexetx由此得出100)(tatdttbuex0t002010)(xdttbuexxxtatt100tt0)(ttadtxebtut這表明， 的假設(shè)是和系統(tǒng)完全能控相矛盾。因此，反設(shè)不成立，即 為非奇異。 必要性得證。 00x, 01twc,01tt 00ttxebta又。所以 00x定理定理2 2：代數(shù)判據(jù)線性定常系統(tǒng)(3.2)為完全能控的充分必要

9、條件為 (3.3)其中，n 為矩陣a 的維數(shù)。 (3.4)稱為系統(tǒng)的能控性判別陣。 nbaabbrankn11baabbqnc2. 2. 代數(shù)判據(jù)代數(shù)判據(jù)nrankqc 證明證明: : 充分性：已知 ，欲證系統(tǒng)為完全能控。1t0t1,0ttaatcdtebbetw反證法。反設(shè)系統(tǒng)不完全能控，則格拉姆矩陣奇異。這意味著存在某個非零向量 使成立 1t0tt1t,00ttaatcdtebbetw1t0tttttaatdtbebe由此可得 ， 0tbeat, 01tt現(xiàn)將上式求導(dǎo)直至 次，再在所得結(jié)果中令 ，那么可得到：) 1( n0t, 0tb0tab02 tba01 tban進(jìn)而，表上式為 0t1

10、tcnqbaabb必要性：已知系統(tǒng)完全能控，欲證 . nrankqc反證法。反設(shè) ,這意味著 行線性相關(guān)，因此必存在一個非零 維常向量 ，使成立 nrankqccqn01ttbaabbqnc考慮到問題的一般性，由上式進(jìn)一步得到,0tbai1, 1ni再據(jù)凱萊哈密頓定理， ,均可表示為i，a，a2,an-1 的線性組合，由此得到,1nnaa, 2 , 10tibai由于 ，所以上式意味著 為行線性相關(guān)。當(dāng) 為行線性無關(guān)時系統(tǒng)為完全能控。充分性得證 0cqcqbtataati! 31! 213322t,tbeat, 01tt這樣 dtebbedtebbettaatttaat1t1t0tt0tt）（

11、0,01ttw表明 為奇異，系統(tǒng)不完全能控，與已知條件矛盾，反設(shè)不成立。于是 , 必要性得證。 , 01twnrankqc 例例3.23.2 考慮由下式確定的系統(tǒng)： uxxxx101011212111110detdetabbqc即 qc 為非奇異，因此系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 例例3.33.3 考慮由下式確定的系統(tǒng)： uxxxx1012112121即qc為非奇異，因此系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 3 pbh 3 pbh 判據(jù)判據(jù)( (由由popovpopov和和belevitchbelevitch提出提出,hautus,hautus指出其廣泛可指出其廣泛可應(yīng)用性。因此以他們姓氏首字母而得名應(yīng)用性。因此以他們姓

12、氏首字母而得名) )5 . 3(, 2 , 1,ninbairanki01110detdetabbqc 解解 對于該系統(tǒng)，), 1( nii 定理定理3 3 (3.2)系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，對矩陣a 的所有特征值 均成立 （1 1）秩判據(jù)）秩判據(jù)或等價地 )6 .3(,csnbasirank也即 和 是左互質(zhì)的 )(asi b 證明證明 ：必要性：已知系統(tǒng)能控，欲證(3.5)成立。反證法。反設(shè)對某個 ，有 ， i nbairanki, 則意味著， 存在一非零向量 ，使成立 0,tbaii 考慮到一般性，上式得到 tt ia 0tb 進(jìn)而， 0tb 0, 01tttbababni 0,t1

13、tcnqbaabb 由 的任意性，得到 nrankqc這表明系統(tǒng)為不完全能控，與已知條件矛盾。反設(shè)不成立。 充分性：略。 例例3.33.3 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 4,021001100500100001000010nuxx可直接導(dǎo)出02500101000101010001,bai求出 的特征值為： ， ， a021 53 54 當(dāng) 時，021 s5101500100010001|ai0)5(224020500101000010100100010,0rankbasiranks當(dāng) 時，54,3 4,basirank025500101500010150100015,5rankbasiranks

14、由此可知，系統(tǒng)能控。同樣可得4,5sbasirank42500050011500015rank（2 2）特征向量判據(jù)（主要應(yīng)用于理論分析）特征向量判據(jù)（主要應(yīng)用于理論分析） 定理定理44 (3.2)系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，矩陣 不能有與 的所有相正交的非零左特征向量。也即對 的任一特征值 ，使同時滿足 abai ttia )7 . 3(0tb的特征向量. 0 證明證明：必要性：反設(shè)存在一個向量 ，使成立0 ,tt ia 0tb 則有 0tb 0,01tttbababni 這樣， 0,t1tcnqbaabb nrankqc所以 ，系統(tǒng)不能控,與假設(shè)矛盾。充分性：略。3.1.4 3.1.4 狀

15、態(tài)能控性條件的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)狀態(tài)能控性條件的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 關(guān)于定常系統(tǒng)能控性的判據(jù)很多。除了上述的代數(shù)判據(jù)外，本小節(jié)將給出一種相當(dāng)直觀的方法，這就是從標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出的判據(jù)。 )8 . 3(buaxx考慮如下的線性系統(tǒng)mnnnrnrbrarturtx,)(,)(式中，如果 的特征向量互不相同，則可找到一個非奇異線性變換矩陣 ，使得 apndiagapp ,211 注意注意：如果 a 的特征值相異，那么 a 的特征向量也互不相同；然而，反過來不成立。例如，具有重特征值的 nn 維實對稱矩陣也有可能有 n 個互不相同的特征向量。還應(yīng)注意，矩陣 p 的每一列是與 ( i=1,2, ，n )有聯(lián)系的 a 的

16、一個特征向量。 i )9 . 3(pzx 設(shè)將式(3.9)代入式(3.8)，可得 )10. 3(11bupapzpz定義)(1ijfbp則可將式（3.10）重寫為：rrufufufzz1212111111 rrufufufzz2222121222 rnrnnnnnufufufzz2211 如果式（3.8）中的矩陣 a 不具有互異的特征向量，則不能將其化為對角線形式。在這種情況下，可將 a 化為jordan標(biāo)準(zhǔn)形。 例如，若a的特征值分別1,1,1,1,1,6, 6，,n,并且有 n 4 個互異的特征向量，那么 a 的 jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為 如果 nr 維矩陣 的任一行元素全為零，那么對應(yīng)的狀

17、態(tài)變量就不能由任一 來控制。對于a的特征值為兩兩互異時，當(dāng)且僅當(dāng)輸入矩陣 沒有一行的所有元素均為零時，系統(tǒng)才是狀態(tài)能控的。如果有相同根時則還要滿足相同根相對應(yīng)的輸入矩陣 的所有行是行線性無關(guān)的。(注意后一種情況書中沒有作說明)在應(yīng)用狀態(tài)能控性的這一條件時，應(yīng)特別注意，必須將式（3.10）的矩陣 轉(zhuǎn)換成對角線形式。 iubp1 app1bp1 nj010100100016611111其中，在主對角線上的 55 和 22 子矩陣稱為jordan塊。對于 所包含的33和 22 子矩陣稱為jordan子塊1假設(shè)能找到一個變換矩陣，使得jass1如果利用)11. 3(szx 定義一個新的狀態(tài)向量 ，將式

18、（3.9）代入式（3.6）中，可得到z)12. 3(11ujzbusaszsz下面用秩判據(jù)導(dǎo)出能控的充要條件326316221211131121111111001,bsbsbsbsbsbsbsbjsi選擇 得到 1 s326131612221131211110100100010,bbbbbbbbji其中 ，對以上矩陣進(jìn)行線性變換為 610010010001000010,616122131bbbji也即 為滿秩的充要條件為， 和 線性無關(guān)。 baii, 13b22b 從而系統(tǒng)的狀態(tài)能控性條件可表述為：當(dāng)且僅當(dāng)(1) 當(dāng)矩陣特征值兩兩相異時，對應(yīng)于不同特征值的 的每一行的元素不全為零時；bs1bs

19、1 (2) 矩陣j 中不含jordan子塊的每一jordan塊的最后一行對應(yīng)的 行向量不全為零；bs1 (3) 矩陣j 中同一jordan塊中所有jordan子塊最后一行相對應(yīng)的 行向量線性無關(guān)，則系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 例例3.43.4 判斷下列系統(tǒng)狀態(tài)是否是能控的： uxxxx5220012121uxxxxxx3402000100113213212154321543211200030010500152001200012uuxxxxxxxxxx下列系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的： uxxxx0220012121 21321321030024200010011uuxxxxxxuxxxxxxxxxx0312

20、450015200120001254321543213.1.5 3.1.5 用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的狀態(tài)能控性條件用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的狀態(tài)能控性條件 狀態(tài)能控的條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞矩陣描述。 例例3.53.5 考慮下列傳遞函數(shù)：)1)(5 .2(115 .2)()(ssssusx 定理定理5 5 狀態(tài)能控性的充要條件是在輸入狀態(tài)傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣 中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。如果發(fā)生相約，那么在被約去的模態(tài)中，系統(tǒng)不能控。 basisusx1/ 在此傳遞函數(shù)的分子和分母中存在可約的因子（s+2.5）(因此少了一階)。由于有相約因子，所以該系統(tǒng)狀態(tài)不能控。 將該傳遞函數(shù)寫為狀態(tài)方程，可得到同樣的結(jié)論。

21、狀態(tài)方程為 uxxxx15 . 25 . 115 . 202121115 . 25 . 2abbqc能控性矩陣的秩 rank(qc) = 1 ，所以可得到狀態(tài)不能控的同樣結(jié)論。 3.1.6 3.1.6 輸出能控性輸出能控性 在實際的控制系統(tǒng)設(shè)計中，也許我們需要控制的是輸出，而不是系統(tǒng)的狀態(tài)。對于控制系統(tǒng)的輸出，狀態(tài)能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定義輸出能控性?？紤]下列狀態(tài)空間表達(dá)式所描述的線性定常系統(tǒng))14. 3()13. 3(ducxybuaxx式中，,rnnnmrnrbraryrurxrmnmrdrc,)(tu)(1ty10ttt)(0ty 定義定義44 如果能找到一個無

22、約束的控制向量 ，在有限的時間間隔 內(nèi)，使任一給定的初始輸出 轉(zhuǎn)移到任一最終輸出 ，那么稱由式（3.13）和（3.14）所描述的系統(tǒng)為輸出能控的。 定理定理6 6 系統(tǒng)輸出能控的充要條件為：當(dāng)且僅當(dāng) m(n+1)r 維輸出能控性矩陣12dbcabcacabcbqn的秩為 m 時，由式（3.13）和（3.14）所描述的系統(tǒng)為輸出能控的。注意注意：在式（3.14）中存在 du 項，對確定輸出能控性是有幫助的。3.2 3.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性 3.2.1 3.2.1 能觀測性的定義能觀測性的定義(3.1)的狀態(tài)方程可以表示為：）（15.3)()(),(),()(000tt

23、dubtxtttx則系統(tǒng)輸出）（ 16. 3)()()()(),()(),()()(000tutddubttcxtttctytt若定義 )17. 3 ()()()()(),()()()(0tutddubttctytytt)18. 3(),()(00xtttcy這樣(3.1)系統(tǒng)的能觀測性研究等價于下列系統(tǒng) xtax)(: ),ca（jtxtx000)()193()(xtcy幾種定義：定義定義5 5：如果系統(tǒng)(3.6)的狀態(tài) x(t0) 在有限的時間間隔內(nèi)可由輸出的觀測值確定，那么稱系統(tǒng)在時刻t0 ( ) 是能觀測的。 jt 0定義定義6 6：對(3.6)所示系統(tǒng)，如果對取定初始時刻 的一個非零

24、初始狀態(tài)x0，存在一個有限時刻 ，使對所有 ,有y(t)=0，則稱此初始狀態(tài)x0在時刻t0是不能觀測的。10,tttjt 0011,ttjt定義定義7 7：對(3.6)所示系統(tǒng)，如果對取定初始時刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài) x0 在時刻t0是不能觀測的，則稱該系統(tǒng)在時刻t0是不能觀測的。 jt 0對于線性定常系統(tǒng)，考慮零輸入時的狀態(tài)空間表達(dá)式：)21. 3()20. 3(cxyaxx式中，nmnnmnrcraryrx, 如果每一個狀態(tài)x(t0)都可通過在有限時間間隔t0tt1內(nèi)由輸出y(t)觀測值確定，則稱系統(tǒng)為(完全)能觀測的。本節(jié)僅討論線性定常系統(tǒng)。不失一般性，設(shè)t0=0。

25、能觀測性的概念非常重要，這是由于在實際問題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接量測。因而在構(gòu)造控制器時，必須首先估計出不可量測的狀態(tài)變量。在“系統(tǒng)綜合”部分我們將指出，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是能觀測時，才能對系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行觀測或估計。 討論：在下面討論能觀測性條件時，我們將只考慮由式（3.20）和（3.21）給定的零輸入系統(tǒng)。這是因為，若采用如下狀態(tài)空間表達(dá)式ducxybuaxxtotaatdbuexetx)()0()()(dudbuecxcetytotaat)()0()()( 由于矩陣 a、b、c 和 d 均為已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后兩項為已知，因而它們可以從被量測值y(

26、t)中消去。因此，為研究能觀測性的充要條件，只考慮式（3.20）和(3.21)所描述的零輸入系統(tǒng)就可以了。 3.2.2 3.2.2 定常系統(tǒng)狀態(tài)能觀測性的代數(shù)判據(jù)定常系統(tǒng)狀態(tài)能觀測性的代數(shù)判據(jù)考慮由式（3.20）和(3.21)所描述的線性定常系統(tǒng)。cxyaxx易知，其輸出向量為)0()(xcetyat將 寫為 a 的有限項的形式，即ate10)(nkkkatate）（則有：22. 3)0()()(10xcattyknkk)0()()0()()0()()(1110xcatcaxtcxttynn)0()()()(1110xcatcatctnn)0()()()(1110xcacactttnn顯然，如

27、果系統(tǒng)是能觀測的，那么在 0 t t1 時間間隔內(nèi)，給定輸出y(t)，就可由式（3.22）唯一地確定出 x(0)?？梢宰C明，這就要求 nmn 維能觀測性矩陣 1nocacacq的秩為 n 代數(shù)判據(jù)：代數(shù)判據(jù)：由式（3.20）和（3.21）所描述的線性定常系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng) nnm 維能觀測性矩陣1tntttttocacacq）（nrankqto的秩為 n，即 時，該系統(tǒng)才是能觀測的。例例3.5 試判斷由式uxxxx10121121212101xxy所描述的系統(tǒng)是否為能控和能觀測的。1110abbqc解解 由于能控性矩陣的秩為2，即，故該系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 nrankqc 2為了檢驗?zāi)苡^測性條件，我

28、們來驗算能觀測性矩陣的秩。由于 1011ttttocacq 的秩為2， ，故此系統(tǒng)是能觀測的。 nrankqto 2apbhpbh秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充要條件是， 的所有特征值 均成立i), 1(ni或等價地表為：nasicrankcs也即 和 是右互質(zhì)的(不存在右公因子)。)(asi cnaicrankini, 2 , 1(3.23)acpbhpbh特征向量判據(jù)特征向量判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充要條件是， 沒有與 的所有行相正交的非零右特征向量。也即對 的任一特征值 ，使同時滿足： ， (3.24)的特征向量 ia0c。0i), 1(niauxxxx101211:21

29、21對系統(tǒng)分析2101xxy0112112aijj21得特征根01211)(21iiiiiiai01211)(1211jjajii01211)(2221jjajii111211j112221j11011211jc11012221jc結(jié)論：系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的3.2.4 3.2.4 用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的能觀測性條件用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的能觀測性條件 例例3.63.6 證明下列系統(tǒng)是不能觀測的。cxybuaxx式中154,100,6116100010,321cbaxxxx 解解 由于能觀測性矩陣111575664)(2ttttttocacacq類似地，能觀測性條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)。此時

30、能觀測性的充要條件是：輸出初始狀態(tài)傳遞函數(shù)矩陣 中不發(fā)生相約現(xiàn)象。如果存在相約，則約去的模態(tài)其輸出就不能觀測了。 10/asicxsy注意到32)(, 0111575664nqrankto故該系統(tǒng)是不能觀測的。 事實上，在該系統(tǒng)的 中存在相約因子。由于1 asic ) 3)(2)(1(1411851144 611666161166116154222231ssssssssssssasic顯然，分子、分母多項式中的因子（s+1）可以約去。這意味著，該系統(tǒng)是不能觀測的，或者說一些不為零的初始狀態(tài)x(0)不能由y(t)的量測值確定。 注釋注釋: : 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)能控和能觀測時，其傳遞函數(shù)才沒有相

31、約因子。這意味著，可相約的傳遞函數(shù)不具有表征動態(tài)系統(tǒng)的所有信息。 3.2.5 3.2.5 狀態(tài)能觀測性條件的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)狀態(tài)能觀測性條件的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 考慮由式（3.13）和（3.14）所描述的線性定常系統(tǒng)，將其重寫為: )26. 3 ()25. 3 (cxyaxx設(shè)非奇異線性變換矩陣p可將a化為對角線矩陣， app1式中， 為對角線矩陣。定義式（3.25）和(3.26)可寫為如下對角線標(biāo)準(zhǔn)形ndiag,21 pzx cpzyzapzpz 1因此)0()(zcpetyt 或) 0() 0() 0() 0(00)(212121nttttttzezezecpzeeecptynn對于兩兩互異根情形，如果

32、 mn 維矩陣 cp 的任一列中都不含全為零的元素，那么系統(tǒng)是能觀測的。這是因為，如果 cp 的第 i 列含全為零的元素，則在輸出方程中將不出現(xiàn)狀態(tài)變量 ，因而不能由 y 確定。對于含有相同特征根的則還要滿足相同特征根對應(yīng)的cp 的所有列是列線性無關(guān)的。) 0 (iz 上述判斷方法只適用于能將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（3.16）和(3.17)化為對角線標(biāo)準(zhǔn)形的情況。 如果不能將式（3.16）和(3.17)變換為對角線標(biāo)準(zhǔn)形，則可利用一個合適的線性變換矩陣s ，將其中的系統(tǒng)矩陣a 變換為jordan標(biāo)準(zhǔn)形。jass 1式中， j 為 jordan 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。則式（3.16）和(3.17)可寫為如下

33、jordan標(biāo)準(zhǔn)形jzaszsz1cszy szx 定義)0()(zcsetyjt因此系統(tǒng)能觀測的充要條件為：（1）與相異特征值對應(yīng)的矩陣cs 列中，沒有一列包含的元素全為零。（2）與每個不含jordan 子塊的jordan 塊的第一列相對應(yīng)的矩陣cs 列中，沒有一列元素全為零；（3）矩陣cs中與每個jordan塊的 jordan子 塊的第一列相對應(yīng)的列線性無關(guān)； 為了說明條件(2），在例3.7中，對應(yīng)于每個jordan 塊的第一列的cs 列之元素用下劃線表示。 例例3.73.7 下列系統(tǒng)是能觀測的：21212131 ,2001xxyxxxx32121321321004003,20012001

34、2xxxyyxxxxxx543212154321543210111000111,300132001200012xxxxxyyxxxxxxxxxx下列系統(tǒng)是不完全能觀測的： 212121 10,2001xxyxxxx32121321321420310,200120012xxxyyxxxxxx54321210011000111,30013200120001254321xxxxxyyxxxxx3.3 3.3 對偶原理對偶原理 下面討論能控性和能觀測性之間的關(guān)系。為了闡明能控性和能觀測性之間明顯的相似性，這里將介紹由r.e.kalman提出的對偶原理。1. 對偶系統(tǒng)的定義：對偶系統(tǒng)的定義：考慮由下述狀

35、態(tài)空間表達(dá)式描述的系統(tǒng)1 ：11111cxybuaxxnmrnnnmrnrcrbraryrurx,111式中， 。以及由下述狀態(tài)空間表達(dá)式定義1的對偶系統(tǒng)2：22222xbyucxaxtttnrtmntnntrmnrbrcraryrurx,222式中，簡單地說，對偶性系統(tǒng)有如下關(guān)系：tttbccbaa*,+u1(t)x1(t)y1(t)(1tx b a cdt+u2(t)x2(t)y2(t)(2tx bt at ctdt對偶系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（b）對偶系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（a）對偶系統(tǒng)圖(a)、圖(b)：輸入端和輸出端互換； 信號傳遞方向相反； 信號引出點和綜合點互換； 各矩陣轉(zhuǎn)值。圖(a)表示用u1（t）來控

36、制y1（t）；圖(b)表示用輸出量y2（t）去求得輸入量u2（t）；前者是控制問題，后者是估計問題。對偶原理揭示了最優(yōu)控制和最優(yōu)估計之間的內(nèi)在聯(lián)系。2. 對偶系統(tǒng)的相互關(guān)系：對偶系統(tǒng)的相互關(guān)系：1) 對偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。對偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。對系統(tǒng) 1 有： g1（s）=c（sia）-1 b對系統(tǒng) 2 有： g2（s）=bt（siat）-1 ct g2t（s）= bt（siat）-1 ct t=c（sia）-1 b2) 對偶系統(tǒng)的特征方程是相同的。對偶系統(tǒng)的特征方程是相同的。 sia = siat3.3.對偶原理：對偶原理：當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng) 2 狀態(tài)能觀測（狀態(tài)能控）時，系統(tǒng) 1

37、 才是狀態(tài)能控（狀態(tài)能觀測）的。 為了驗證這個原理，下面寫出系統(tǒng)1和2的狀態(tài)能控和能觀測的充要條件。對于系統(tǒng)1：1.狀態(tài)能控充要條件是nnr 維能控性矩陣 qc1 的秩為n 。nqrankbaabbqcnc）（1112.狀態(tài)能觀測充要條件是nnm 維能觀測性矩陣 qo1 的秩為n 。nqrankcacacqotntttto）（111)(對于系統(tǒng)2: 1.狀態(tài)能控的充要條件是nnm 維能控性矩陣 qc 的秩為n 。 nqrankcacacqctnttttc）（212)(2.狀態(tài)能觀測的充要條件是nnr維能觀測性矩陣 qo 的秩為n 。nqrankbaabbqono）（212對比這些條件，可以很明

38、顯地看出對偶原理的正確性。利用此原理，一個給定系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性可用其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)能控性來檢驗和判斷。同樣，一個給定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性可用其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性來檢驗和判斷。3.4 3.4 線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能觀測性線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能觀測性1 1 線性定常離散系統(tǒng)的能控性線性定常離散系統(tǒng)的能控性設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)()()()()()1(kdukcxkykhukgxkx其中：x(k) 為 n 維狀態(tài)向量；u(k) 為 m 維輸入向量；g為 n*n 的系統(tǒng)矩陣； h 為 n*m的輸入矩陣。 定義定義8 如果存在輸入信號序列u(k),u(k+1),u(-1),使得系統(tǒng)從第k步的狀態(tài)x(k)開始，能在第步上達(dá)到零狀態(tài)(平衡狀態(tài))。即x()0，其中為大于k的某一個有限正整數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第k步上是能控的，x(k)稱為第k步上的能控狀態(tài)。 如果每一個第k步上的狀態(tài)x(k)都是能控狀態(tài)，那么就稱系統(tǒng)在第k步上的狀態(tài)是完全能控的。 如果對于每一個k，系統(tǒng)的狀態(tài)x(k)都是完全能控的狀態(tài)，那么就稱系統(tǒng)是