線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性

1、第三章第三章 線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性分析線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性分析 3.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性 3.4 線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性系統(tǒng)系統(tǒng)nxxx,21狀態(tài)狀態(tài)1u2unu1y1yny每一個(gè)狀態(tài)變量每一個(gè)狀態(tài)變量 運(yùn)動(dòng)都可由運(yùn)動(dòng)都可由輸入輸入u(t)來(lái)來(lái)影響和控制，而由任意的始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)影響和控制，而由任意的始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)狀態(tài)能控狀態(tài)能控。12,nx xx對(duì)能控性和能觀測(cè)性的直觀討論對(duì)能控性和能觀測(cè)性的直觀討論狀態(tài)狀態(tài) 的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映輸出完全反映狀態(tài)能觀測(cè)。狀態(tài)能觀測(cè)。12,nx

2、 xx 能控性(controllability)和能觀測(cè)性(observability)深刻地揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系，由r.e.kalman于60年代初首先提出并研究的這兩個(gè)重要概念，在現(xiàn)代控制理論的研究與實(shí)踐中，具有極其重要的意義，事實(shí)上，能控性與能觀測(cè)性通常決定了最優(yōu)控制問(wèn)題解的存在性。例如，在極點(diǎn)配置問(wèn)題中，狀態(tài)反饋的的存在性將由系統(tǒng)的能控性決定；在觀測(cè)器設(shè)計(jì)和最優(yōu)估計(jì)中，將涉及到系統(tǒng)的能觀測(cè)性條件。 在本章中，我們的討論將限于線性系統(tǒng)。將首先給出能控性與能觀測(cè)性的定義，然后推導(dǎo)出判別系統(tǒng)能控和能觀測(cè)性的若干判據(jù)。3.1.1 概述概述3.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性 能

3、控性和能觀測(cè)性就是研究系統(tǒng)這個(gè)“黑箱”的內(nèi)部的狀態(tài)是否可由輸入影響和是否可由輸出反映。 uxxxx21500421212160 xxy例例 3.1 給定系統(tǒng)的描述為將其表為標(biāo)量方程組形式，有： uxx114uxx252226xy分析：x1、x2受控于u y與x1無(wú)關(guān) y與 x2有關(guān)例例3.2：判斷下列電路的能控和能觀測(cè)性)(turrrrcxyccrr)(tu1x2x左上圖：輸入u（t），狀態(tài)x（t），輸出y（t）。右上圖：輸入u（t），狀態(tài)x1（t）， x2（t）。1rly1rl2r0)(tui1x2x左圖：輸入u（t），狀態(tài)x1（t）， x2（t），輸出y（t） 。3.1.2 能控性的定義能

4、控性的定義 utbxtax)()(線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：: ),dcba（) 1 . 3)()()(（utdxtctyjt 00)(xtx其中：x 為 n 維狀態(tài)向量；u 為 m 維輸入向量； j 為時(shí)間 t 的定義區(qū)間；a為 n*n 的元為 t 的連續(xù)函數(shù)的矩陣； b 為 n*m的元為 t 的連續(xù)函數(shù)的矩陣。 定義定義1 1：對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng) ，如果對(duì)取定初始時(shí)刻 的一個(gè)非零初始狀態(tài) ，存在一個(gè)時(shí)刻 ，和一個(gè)無(wú)約束的的容許控制 ， ，使?fàn)顟B(tài)由 轉(zhuǎn)移到 時(shí) ，則稱此 在時(shí)刻 是能控的。 jt 0jt 101tt )(tu10,ttt 1t0)(1tx0x0t),dcba（0x0x定義定義2

5、 2：對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng) ，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在時(shí)刻t0為能控的，那么稱系統(tǒng) 在時(shí)刻t0是能控的。 ),dcba（),dcba（定義定義3 3：對(duì)上述線性時(shí)變系統(tǒng) ，取定初始時(shí)刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻 是不能控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 是不完全能控的。 jt 00t0t),dcba（定義的幾點(diǎn)解釋：(1) 對(duì)軌跡不加限制，是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一種定性特性； (2) 容許控制的分量幅值不加限制，且在 上平方可積； j0t(3) 線性定常系統(tǒng)的能控性與 無(wú)關(guān)；(4) 如果將上面非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，改為零狀態(tài)到非零狀 態(tài)，則稱為系統(tǒng)的能達(dá)性。(5) 系統(tǒng)不完全能控為一種

6、“奇異”情況。 3.1.3 3.1.3 定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù)定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù))()()(tbutaxtx考慮線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) (a,b,c,d)： (3.2）mnnnmnrbrarturtx,)(,)(其中10ttt0tt 如果施加一個(gè)無(wú)約束的控制信號(hào)，在有限的時(shí)間間隔 內(nèi)，使初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一終止?fàn)顟B(tài)，則稱由式（3.2）描述的系統(tǒng)在 時(shí)為狀態(tài)(完全)能控的。如果每一個(gè)狀態(tài)都能控，則稱該系統(tǒng)為狀態(tài)(完全)能控的。 )0()(0xtxt且初始條件為 。1. 1. 格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)01t1t0t1, 0ttaatcdtebbetw定理定理1 1：格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)(3.

7、2)為完全能控的充分必要條件是，存在 ，使如下定義的格拉姆矩陣 (3.3) 非奇異。證明證明：充分性：已知 非奇異，欲證系統(tǒng)完全能控。采用構(gòu)造法證明，構(gòu)造的控制量為, 01twc, 0, 0)(1011ttttxtwebtucta在 作用下容易解得：)(tu1t110011t0, 0tctaatatatxtdtwebbeexe0, 0, 00111011xtwtwexeccatat1110)(01)()(tttaatdttbuexetx充分性得證。必要性：已知系統(tǒng)為完全能控，欲證 非奇異。, 01twc反證法。反設(shè) 為奇異，也即反設(shè)存在某個(gè)非零 ， 使成立cwnrx 00, 001t0xtwx

8、cdtxebbexxtwxtaattc0t0t001t0t1, 00dtxebtta1t020t要使上式成立，應(yīng)有,01tt 00ttxebta另一方面，因系統(tǒng)完全能控，對(duì)非零 又成立0x由此進(jìn)而有111001)()(0tatatatdttbueexetx由此得出100)(tatdttbuex0t002010)(xdttbuexxxtatt100tt0)(ttadtxebtut這表明， 的假設(shè)是和系統(tǒng)完全能控相矛盾。因此，反設(shè)不成立，即 為非奇異。 必要性得證。 00x, 01twc,01tt 00ttxebta又。所以 00x定理定理2 2：代數(shù)判據(jù)線性定常系統(tǒng)(3.2)為完全能控的充分必要

9、條件為 (3.3)其中，n 為矩陣a 的維數(shù)。 (3.4)稱為系統(tǒng)的能控性判別陣。 nbaabbrankn11baabbqnc2. 2. 代數(shù)判據(jù)代數(shù)判據(jù)nrankqc 證明證明: : 充分性：已知 ，欲證系統(tǒng)為完全能控。1t0t1,0ttaatcdtebbetw反證法。反設(shè)系統(tǒng)不完全能控，則格拉姆矩陣奇異。這意味著存在某個(gè)非零向量 使成立 1t0tt1t,00ttaatcdtebbetw1t0tttttaatdtbebe由此可得 ， 0tbeat, 01tt現(xiàn)將上式求導(dǎo)直至 次，再在所得結(jié)果中令 ，那么可得到：) 1( n0t, 0tb0tab02 tba01 tban進(jìn)而，表上式為 0t1

10、tcnqbaabb必要性：已知系統(tǒng)完全能控，欲證 . nrankqc反證法。反設(shè) ,這意味著 行線性相關(guān)，因此必存在一個(gè)非零 維常向量 ，使成立 nrankqccqn01ttbaabbqnc考慮到問(wèn)題的一般性，由上式進(jìn)一步得到,0tbai1, 1ni再據(jù)凱萊哈密頓定理， ,均可表示為i，a，a2,an-1 的線性組合，由此得到,1nnaa, 2 , 10tibai由于 ，所以上式意味著 為行線性相關(guān)。當(dāng) 為行線性無(wú)關(guān)時(shí)系統(tǒng)為完全能控。充分性得證 0cqcqbtataati! 31! 213322t,tbeat, 01tt這樣 dtebbedtebbettaatttaat1t1t0tt0tt）（

11、0,01ttw表明 為奇異，系統(tǒng)不完全能控，與已知條件矛盾，反設(shè)不成立。于是 , 必要性得證。 , 01twnrankqc 例例3.23.2 考慮由下式確定的系統(tǒng)： uxxxx101011212111110detdetabbqc即 qc 為非奇異，因此系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 例例3.33.3 考慮由下式確定的系統(tǒng)： uxxxx1012112121即qc為非奇異，因此系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 3 pbh 3 pbh 判據(jù)判據(jù)( (由由popovpopov和和belevitchbelevitch提出提出,hautus,hautus指出其廣泛可指出其廣泛可應(yīng)用性。因此以他們姓氏首字母而得名應(yīng)用性。因此以他們姓

12、氏首字母而得名) )5 . 3(, 2 , 1,ninbairanki01110detdetabbqc 解解 對(duì)于該系統(tǒng)，), 1( nii 定理定理3 3 (3.2)系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，對(duì)矩陣a 的所有特征值 均成立 （1 1）秩判據(jù)）秩判據(jù)或等價(jià)地 )6 .3(,csnbasirank也即 和 是左互質(zhì)的 )(asi b 證明證明 ：必要性：已知系統(tǒng)能控，欲證(3.5)成立。反證法。反設(shè)對(duì)某個(gè) ，有 ， i nbairanki, 則意味著， 存在一非零向量 ，使成立 0,tbaii 考慮到一般性，上式得到 tt ia 0tb 進(jìn)而， 0tb 0, 01tttbababni 0,t1

13、tcnqbaabb 由 的任意性，得到 nrankqc這表明系統(tǒng)為不完全能控，與已知條件矛盾。反設(shè)不成立。 充分性：略。 例例3.33.3 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 4,021001100500100001000010nuxx可直接導(dǎo)出02500101000101010001,bai求出 的特征值為： ， ， a021 53 54 當(dāng) 時(shí)，021 s5101500100010001|ai0)5(224020500101000010100100010,0rankbasiranks當(dāng) 時(shí)，54,3 4,basirank025500101500010150100015,5rankbasiranks

14、由此可知，系統(tǒng)能控。同樣可得4,5sbasirank42500050011500015rank（2 2）特征向量判據(jù)（主要應(yīng)用于理論分析）特征向量判據(jù)（主要應(yīng)用于理論分析） 定理定理44 (3.2)系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，矩陣 不能有與 的所有相正交的非零左特征向量。也即對(duì) 的任一特征值 ，使同時(shí)滿足 abai ttia )7 . 3(0tb的特征向量. 0 證明證明：必要性：反設(shè)存在一個(gè)向量 ，使成立0 ,tt ia 0tb 則有 0tb 0,01tttbababni 這樣， 0,t1tcnqbaabb nrankqc所以 ，系統(tǒng)不能控,與假設(shè)矛盾。充分性：略。3.1.4 3.1.4 狀

15、態(tài)能控性條件的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)狀態(tài)能控性條件的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 關(guān)于定常系統(tǒng)能控性的判據(jù)很多。除了上述的代數(shù)判據(jù)外，本小節(jié)將給出一種相當(dāng)直觀的方法，這就是從標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出的判據(jù)。 )8 . 3(buaxx考慮如下的線性系統(tǒng)mnnnrnrbrarturtx,)(,)(式中，如果 的特征向量互不相同，則可找到一個(gè)非奇異線性變換矩陣 ，使得 apndiagapp ,211 注意注意：如果 a 的特征值相異，那么 a 的特征向量也互不相同；然而，反過(guò)來(lái)不成立。例如，具有重特征值的 nn 維實(shí)對(duì)稱矩陣也有可能有 n 個(gè)互不相同的特征向量。還應(yīng)注意，矩陣 p 的每一列是與 ( i=1,2, ，n )有聯(lián)系的 a 的

16、一個(gè)特征向量。 i )9 . 3(pzx 設(shè)將式(3.9)代入式(3.8)，可得 )10. 3(11bupapzpz定義)(1ijfbp則可將式（3.10）重寫為：rrufufufzz1212111111 rrufufufzz2222121222 rnrnnnnnufufufzz2211 如果式（3.8）中的矩陣 a 不具有互異的特征向量，則不能將其化為對(duì)角線形式。在這種情況下，可將 a 化為jordan標(biāo)準(zhǔn)形。 例如，若a的特征值分別1,1,1,1,1,6, 6，,n,并且有 n 4 個(gè)互異的特征向量，那么 a 的 jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為 如果 nr 維矩陣 的任一行元素全為零，那么對(duì)應(yīng)的狀

17、態(tài)變量就不能由任一 來(lái)控制。對(duì)于a的特征值為兩兩互異時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)輸入矩陣 沒(méi)有一行的所有元素均為零時(shí)，系統(tǒng)才是狀態(tài)能控的。如果有相同根時(shí)則還要滿足相同根相對(duì)應(yīng)的輸入矩陣 的所有行是行線性無(wú)關(guān)的。(注意后一種情況書中沒(méi)有作說(shuō)明)在應(yīng)用狀態(tài)能控性的這一條件時(shí)，應(yīng)特別注意，必須將式（3.10）的矩陣 轉(zhuǎn)換成對(duì)角線形式。 iubp1 app1bp1 nj010100100016611111其中，在主對(duì)角線上的 55 和 22 子矩陣稱為jordan塊。對(duì)于 所包含的33和 22 子矩陣稱為jordan子塊1假設(shè)能找到一個(gè)變換矩陣，使得jass1如果利用)11. 3(szx 定義一個(gè)新的狀態(tài)向量 ，將式

18、（3.9）代入式（3.6）中，可得到z)12. 3(11ujzbusaszsz下面用秩判據(jù)導(dǎo)出能控的充要條件326316221211131121111111001,bsbsbsbsbsbsbsbjsi選擇 得到 1 s326131612221131211110100100010,bbbbbbbbji其中 ，對(duì)以上矩陣進(jìn)行線性變換為 610010010001000010,616122131bbbji也即 為滿秩的充要條件為， 和 線性無(wú)關(guān)。 baii, 13b22b 從而系統(tǒng)的狀態(tài)能控性條件可表述為：當(dāng)且僅當(dāng)(1) 當(dāng)矩陣特征值兩兩相異時(shí)，對(duì)應(yīng)于不同特征值的 的每一行的元素不全為零時(shí)；bs1bs

19、1 (2) 矩陣j 中不含jordan子塊的每一jordan塊的最后一行對(duì)應(yīng)的 行向量不全為零；bs1 (3) 矩陣j 中同一jordan塊中所有jordan子塊最后一行相對(duì)應(yīng)的 行向量線性無(wú)關(guān)，則系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 例例3.43.4 判斷下列系統(tǒng)狀態(tài)是否是能控的： uxxxx5220012121uxxxxxx3402000100113213212154321543211200030010500152001200012uuxxxxxxxxxx下列系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的： uxxxx0220012121 21321321030024200010011uuxxxxxxuxxxxxxxxxx0312

20、450015200120001254321543213.1.5 3.1.5 用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的狀態(tài)能控性條件用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的狀態(tài)能控性條件 狀態(tài)能控的條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞矩陣描述。 例例3.53.5 考慮下列傳遞函數(shù)：)1)(5 .2(115 .2)()(ssssusx 定理定理5 5 狀態(tài)能控性的充要條件是在輸入狀態(tài)傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣 中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。如果發(fā)生相約，那么在被約去的模態(tài)中，系統(tǒng)不能控。 basisusx1/ 在此傳遞函數(shù)的分子和分母中存在可約的因子（s+2.5）(因此少了一階)。由于有相約因子，所以該系統(tǒng)狀態(tài)不能控。 將該傳遞函數(shù)寫為狀態(tài)方程，可得到同樣的結(jié)論。

21、狀態(tài)方程為 uxxxx15 . 25 . 115 . 202121115 . 25 . 2abbqc能控性矩陣的秩 rank(qc) = 1 ，所以可得到狀態(tài)不能控的同樣結(jié)論。 3.1.6 3.1.6 輸出能控性輸出能控性 在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，也許我們需要控制的是輸出，而不是系統(tǒng)的狀態(tài)。對(duì)于控制系統(tǒng)的輸出，狀態(tài)能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定義輸出能控性。考慮下列狀態(tài)空間表達(dá)式所描述的線性定常系統(tǒng))14. 3()13. 3(ducxybuaxx式中，,rnnnmrnrbraryrurxrmnmrdrc,)(tu)(1ty10ttt)(0ty 定義定義44 如果能找到一個(gè)無(wú)

22、約束的控制向量 ，在有限的時(shí)間間隔 內(nèi)，使任一給定的初始輸出 轉(zhuǎn)移到任一最終輸出 ，那么稱由式（3.13）和（3.14）所描述的系統(tǒng)為輸出能控的。 定理定理6 6 系統(tǒng)輸出能控的充要條件為：當(dāng)且僅當(dāng) m(n+1)r 維輸出能控性矩陣12dbcabcacabcbqn的秩為 m 時(shí)，由式（3.13）和（3.14）所描述的系統(tǒng)為輸出能控的。注意注意：在式（3.14）中存在 du 項(xiàng)，對(duì)確定輸出能控性是有幫助的。3.2 3.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性 3.2.1 3.2.1 能觀測(cè)性的定義能觀測(cè)性的定義(3.1)的狀態(tài)方程可以表示為：）（15.3)()(),(),()(000tt

23、dubtxtttx則系統(tǒng)輸出）（ 16. 3)()()()(),()(),()()(000tutddubttcxtttctytt若定義 )17. 3 ()()()()(),()()()(0tutddubttctytytt)18. 3(),()(00xtttcy這樣(3.1)系統(tǒng)的能觀測(cè)性研究等價(jià)于下列系統(tǒng) xtax)(: ),ca（jtxtx000)()193()(xtcy幾種定義：定義定義5 5：如果系統(tǒng)(3.6)的狀態(tài) x(t0) 在有限的時(shí)間間隔內(nèi)可由輸出的觀測(cè)值確定，那么稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0 ( ) 是能觀測(cè)的。 jt 0定義定義6 6：對(duì)(3.6)所示系統(tǒng)，如果對(duì)取定初始時(shí)刻 的一個(gè)非零

24、初始狀態(tài)x0，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使對(duì)所有 ,有y(t)=0，則稱此初始狀態(tài)x0在時(shí)刻t0是不能觀測(cè)的。10,tttjt 0011,ttjt定義定義7 7：對(duì)(3.6)所示系統(tǒng)，如果對(duì)取定初始時(shí)刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài) x0 在時(shí)刻t0是不能觀測(cè)的，則稱該系統(tǒng)在時(shí)刻t0是不能觀測(cè)的。 jt 0對(duì)于線性定常系統(tǒng)，考慮零輸入時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式：)21. 3()20. 3(cxyaxx式中，nmnnmnrcraryrx, 如果每一個(gè)狀態(tài)x(t0)都可通過(guò)在有限時(shí)間間隔t0tt1內(nèi)由輸出y(t)觀測(cè)值確定，則稱系統(tǒng)為(完全)能觀測(cè)的。本節(jié)僅討論線性定常系統(tǒng)。不失一般性，設(shè)t0=0。

25、能觀測(cè)性的概念非常重要，這是由于在實(shí)際問(wèn)題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接量測(cè)。因而在構(gòu)造控制器時(shí)，必須首先估計(jì)出不可量測(cè)的狀態(tài)變量。在“系統(tǒng)綜合”部分我們將指出，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是能觀測(cè)時(shí)，才能對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行觀測(cè)或估計(jì)。 討論：在下面討論能觀測(cè)性條件時(shí)，我們將只考慮由式（3.20）和（3.21）給定的零輸入系統(tǒng)。這是因?yàn)椋舨捎萌缦聽(tīng)顟B(tài)空間表達(dá)式ducxybuaxxtotaatdbuexetx)()0()()(dudbuecxcetytotaat)()0()()( 由于矩陣 a、b、c 和 d 均為已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后兩項(xiàng)為已知，因而它們可以從被量測(cè)值y(

26、t)中消去。因此，為研究能觀測(cè)性的充要條件，只考慮式（3.20）和(3.21)所描述的零輸入系統(tǒng)就可以了。 3.2.2 3.2.2 定常系統(tǒng)狀態(tài)能觀測(cè)性的代數(shù)判據(jù)定常系統(tǒng)狀態(tài)能觀測(cè)性的代數(shù)判據(jù)考慮由式（3.20）和(3.21)所描述的線性定常系統(tǒng)。cxyaxx易知，其輸出向量為)0()(xcetyat將 寫為 a 的有限項(xiàng)的形式，即ate10)(nkkkatate）（則有：22. 3)0()()(10xcattyknkk)0()()0()()0()()(1110xcatcaxtcxttynn)0()()()(1110xcatcatctnn)0()()()(1110xcacactttnn顯然，如

27、果系統(tǒng)是能觀測(cè)的，那么在 0 t t1 時(shí)間間隔內(nèi)，給定輸出y(t)，就可由式（3.22）唯一地確定出 x(0)?？梢宰C明，這就要求 nmn 維能觀測(cè)性矩陣 1nocacacq的秩為 n 代數(shù)判據(jù)：代數(shù)判據(jù)：由式（3.20）和（3.21）所描述的線性定常系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng) nnm 維能觀測(cè)性矩陣1tntttttocacacq）（nrankqto的秩為 n，即 時(shí)，該系統(tǒng)才是能觀測(cè)的。例例3.5 試判斷由式uxxxx10121121212101xxy所描述的系統(tǒng)是否為能控和能觀測(cè)的。1110abbqc解解 由于能控性矩陣的秩為2，即，故該系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 nrankqc 2為了檢驗(yàn)?zāi)苡^測(cè)性條件，我

28、們來(lái)驗(yàn)算能觀測(cè)性矩陣的秩。由于 1011ttttocacq 的秩為2， ，故此系統(tǒng)是能觀測(cè)的。 nrankqto 2apbhpbh秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充要條件是， 的所有特征值 均成立i), 1(ni或等價(jià)地表為：nasicrankcs也即 和 是右互質(zhì)的(不存在右公因子)。)(asi cnaicrankini, 2 , 1(3.23)acpbhpbh特征向量判據(jù)特征向量判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充要條件是， 沒(méi)有與 的所有行相正交的非零右特征向量。也即對(duì) 的任一特征值 ，使同時(shí)滿足： ， (3.24)的特征向量 ia0c。0i), 1(niauxxxx101211:21

29、21對(duì)系統(tǒng)分析2101xxy0112112aijj21得特征根01211)(21iiiiiiai01211)(1211jjajii01211)(2221jjajii111211j112221j11011211jc11012221jc結(jié)論：系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測(cè)的3.2.4 3.2.4 用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的能觀測(cè)性條件用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的能觀測(cè)性條件 例例3.63.6 證明下列系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。cxybuaxx式中154,100,6116100010,321cbaxxxx 解解 由于能觀測(cè)性矩陣111575664)(2ttttttocacacq類似地，能觀測(cè)性條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)。此時(shí)

30、能觀測(cè)性的充要條件是：輸出初始狀態(tài)傳遞函數(shù)矩陣 中不發(fā)生相約現(xiàn)象。如果存在相約，則約去的模態(tài)其輸出就不能觀測(cè)了。 10/asicxsy注意到32)(, 0111575664nqrankto故該系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。 事實(shí)上，在該系統(tǒng)的 中存在相約因子。由于1 asic ) 3)(2)(1(1411851144 611666161166116154222231ssssssssssssasic顯然，分子、分母多項(xiàng)式中的因子（s+1）可以約去。這意味著，該系統(tǒng)是不能觀測(cè)的，或者說(shuō)一些不為零的初始狀態(tài)x(0)不能由y(t)的量測(cè)值確定。 注釋注釋: : 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)能控和能觀測(cè)時(shí)，其傳遞函數(shù)才沒(méi)有相

31、約因子。這意味著，可相約的傳遞函數(shù)不具有表征動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的所有信息。 3.2.5 3.2.5 狀態(tài)能觀測(cè)性條件的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)狀態(tài)能觀測(cè)性條件的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 考慮由式（3.13）和（3.14）所描述的線性定常系統(tǒng)，將其重寫為: )26. 3 ()25. 3 (cxyaxx設(shè)非奇異線性變換矩陣p可將a化為對(duì)角線矩陣， app1式中， 為對(duì)角線矩陣。定義式（3.25）和(3.26)可寫為如下對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形ndiag,21 pzx cpzyzapzpz 1因此)0()(zcpetyt 或) 0() 0() 0() 0(00)(212121nttttttzezezecpzeeecptynn對(duì)于兩兩互異根情形，如果

32、 mn 維矩陣 cp 的任一列中都不含全為零的元素，那么系統(tǒng)是能觀測(cè)的。這是因?yàn)?，如?cp 的第 i 列含全為零的元素，則在輸出方程中將不出現(xiàn)狀態(tài)變量 ，因而不能由 y 確定。對(duì)于含有相同特征根的則還要滿足相同特征根對(duì)應(yīng)的cp 的所有列是列線性無(wú)關(guān)的。) 0 (iz 上述判斷方法只適用于能將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（3.16）和(3.17)化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形的情況。 如果不能將式（3.16）和(3.17)變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形，則可利用一個(gè)合適的線性變換矩陣s ，將其中的系統(tǒng)矩陣a 變換為jordan標(biāo)準(zhǔn)形。jass 1式中， j 為 jordan 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。則式（3.16）和(3.17)可寫為如下

33、jordan標(biāo)準(zhǔn)形jzaszsz1cszy szx 定義)0()(zcsetyjt因此系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件為：（1）與相異特征值對(duì)應(yīng)的矩陣cs 列中，沒(méi)有一列包含的元素全為零。（2）與每個(gè)不含jordan 子塊的jordan 塊的第一列相對(duì)應(yīng)的矩陣cs 列中，沒(méi)有一列元素全為零；（3）矩陣cs中與每個(gè)jordan塊的 jordan子 塊的第一列相對(duì)應(yīng)的列線性無(wú)關(guān)； 為了說(shuō)明條件(2），在例3.7中，對(duì)應(yīng)于每個(gè)jordan 塊的第一列的cs 列之元素用下劃線表示。 例例3.73.7 下列系統(tǒng)是能觀測(cè)的：21212131 ,2001xxyxxxx32121321321004003,20012001

34、2xxxyyxxxxxx543212154321543210111000111,300132001200012xxxxxyyxxxxxxxxxx下列系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的： 212121 10,2001xxyxxxx32121321321420310,200120012xxxyyxxxxxx54321210011000111,30013200120001254321xxxxxyyxxxxx3.3 3.3 對(duì)偶原理對(duì)偶原理 下面討論能控性和能觀測(cè)性之間的關(guān)系。為了闡明能控性和能觀測(cè)性之間明顯的相似性，這里將介紹由r.e.kalman提出的對(duì)偶原理。1. 對(duì)偶系統(tǒng)的定義：對(duì)偶系統(tǒng)的定義：考慮由下述狀

35、態(tài)空間表達(dá)式描述的系統(tǒng)1 ：11111cxybuaxxnmrnnnmrnrcrbraryrurx,111式中， 。以及由下述狀態(tài)空間表達(dá)式定義1的對(duì)偶系統(tǒng)2：22222xbyucxaxtttnrtmntnntrmnrbrcraryrurx,222式中，簡(jiǎn)單地說(shuō)，對(duì)偶性系統(tǒng)有如下關(guān)系：tttbccbaa*,+u1(t)x1(t)y1(t)(1tx b a cdt+u2(t)x2(t)y2(t)(2tx bt at ctdt對(duì)偶系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（b）對(duì)偶系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（a）對(duì)偶系統(tǒng)圖(a)、圖(b)：輸入端和輸出端互換； 信號(hào)傳遞方向相反； 信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換； 各矩陣轉(zhuǎn)值。圖(a)表示用u1（t）來(lái)控

36、制y1（t）；圖(b)表示用輸出量y2（t）去求得輸入量u2（t）；前者是控制問(wèn)題，后者是估計(jì)問(wèn)題。對(duì)偶原理揭示了最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)之間的內(nèi)在聯(lián)系。2. 對(duì)偶系統(tǒng)的相互關(guān)系：對(duì)偶系統(tǒng)的相互關(guān)系：1) 對(duì)偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。對(duì)偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。對(duì)系統(tǒng) 1 有： g1（s）=c（sia）-1 b對(duì)系統(tǒng) 2 有： g2（s）=bt（siat）-1 ct g2t（s）= bt（siat）-1 ct t=c（sia）-1 b2) 對(duì)偶系統(tǒng)的特征方程是相同的。對(duì)偶系統(tǒng)的特征方程是相同的。 sia = siat3.3.對(duì)偶原理：對(duì)偶原理：當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng) 2 狀態(tài)能觀測(cè)（狀態(tài)能控）時(shí)，系統(tǒng) 1

37、 才是狀態(tài)能控（狀態(tài)能觀測(cè)）的。 為了驗(yàn)證這個(gè)原理，下面寫出系統(tǒng)1和2的狀態(tài)能控和能觀測(cè)的充要條件。對(duì)于系統(tǒng)1：1.狀態(tài)能控充要條件是nnr 維能控性矩陣 qc1 的秩為n 。nqrankbaabbqcnc）（1112.狀態(tài)能觀測(cè)充要條件是nnm 維能觀測(cè)性矩陣 qo1 的秩為n 。nqrankcacacqotntttto）（111)(對(duì)于系統(tǒng)2: 1.狀態(tài)能控的充要條件是nnm 維能控性矩陣 qc 的秩為n 。 nqrankcacacqctnttttc）（212)(2.狀態(tài)能觀測(cè)的充要條件是nnr維能觀測(cè)性矩陣 qo 的秩為n 。nqrankbaabbqono）（212對(duì)比這些條件，可以很明

38、顯地看出對(duì)偶原理的正確性。利用此原理，一個(gè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性可用其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)能控性來(lái)檢驗(yàn)和判斷。同樣，一個(gè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性可用其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性來(lái)檢驗(yàn)和判斷。3.4 3.4 線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性1 1 線性定常離散系統(tǒng)的能控性線性定常離散系統(tǒng)的能控性設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)()()()()()1(kdukcxkykhukgxkx其中：x(k) 為 n 維狀態(tài)向量；u(k) 為 m 維輸入向量；g為 n*n 的系統(tǒng)矩陣； h 為 n*m的輸入矩陣。 定義定義8 如果存在輸入信號(hào)序列u(k),u(k+1),u(-1),使得系統(tǒng)從第k步的狀態(tài)x(k)開(kāi)始，能在第步上達(dá)到零狀態(tài)(平衡狀態(tài))。即x()0，其中為大于k的某一個(gè)有限正整數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第k步上是能控的，x(k)稱為第k步上的能控狀態(tài)。 如果每一個(gè)第k步上的狀態(tài)x(k)都是能控狀態(tài)，那么就稱系統(tǒng)在第k步上的狀態(tài)是完全能控的。 如果對(duì)于每一個(gè)k，系統(tǒng)的狀態(tài)x(k)都是完全能控的狀態(tài)，那么就稱系統(tǒng)是