人教版九年級數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、第二十一章 二次根式 1.二次根式：式子 (a0)叫做二次根式。 2.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式；（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如 不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如 ， ， .都不是最簡二次根式，而 ， ，5 ， 都是最簡二次根式。 3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如 , , 就是同類二次根式，因為 =2 ， =3 ，它們與 的被開方數(shù)均為2。 4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二

2、次根式，則說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。如 與 ，a+ 與a- ， - 與 + ，互為有理化因式。二次根式的性質(zhì)：1. (a0)是一個非負(fù)數(shù), 即 0;2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個數(shù)，即：( )2=a(a0)；3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對值，即 =|a|= 4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即 = （a0,b0）。5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即 = （a0,b0）。21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（0，0）。說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以

3、是多項式，要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；（2）（0，0）可以推廣為（0，0）； （0，0，0，0）。（3）等式（0，0）也可以倒過來使用，即（0，0）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對一些二次根式進(jìn)行化簡。 2. 二次根式的除法兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（0，0）。說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，0，在分母中，因此0；（2）（0，0）可以推廣為（0，0，0）；（3）等式（0，0）也可以倒過來使用，即（0，0）。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對一些二次根式進(jìn)行化簡。3. 最簡二次根式（1

4、）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)中不含分母。21.3 二次根式的加減 1. 同類二次根式 注：判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)是否相同。 （2）合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號及被開方數(shù)不變。 2. 二次根式的加減 （1）二次根式的加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。 （2）二次根式的加減法與多項式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎(chǔ)上去括號再合并同類二次根式，同類二次根式相當(dāng)于同類項。 一般地，二次根式的加減法可分以下三

5、個步驟進(jìn)行： i）將每一個二次根式都化簡成最簡二次根式 ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組 iii）合并同類二次根式 3. 二次根式的混合運算 二次根式的混合運算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運算時應(yīng)注意以下幾點： （1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運算順序，二次根式的混合運算與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號先算括號內(nèi)的。 （2）在運算過程中，每個根式可以看作是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作是“多項式”。 （3）觀察式中二次根式的特點，合理使用運算律和運算性質(zhì)，在實數(shù)和整式中的運算律和運算

6、性質(zhì)，在二次根式的運算中都可以應(yīng)用。4. 分母有理化 （1）我們在前面的學(xué)習(xí)中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化 綜合起來，常見的有理化因式有： 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 （2）分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，混合運算中進(jìn)行二次根式的除法運算，一般都是通過分母有理化而進(jìn)行的。第二十二章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 在一個等式中，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。 22.2 降次解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通過“降

7、次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法： 用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解為x= m. 2、配方法1.轉(zhuǎn)化： 2.系數(shù)化 3.移項： 4.配方： 5.變形： 6.開方： 3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac0時，把各項系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解

8、一元二次方程的方法叫做因式分解法。22.3 實際問題與一元二次方程 列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展從列方程解應(yīng)用題的方法來講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學(xué)問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等第二十三章 旋轉(zhuǎn) 23.1 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個圓形繞一個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉(zhuǎn)動一個

9、角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。（4）會找對應(yīng)點，對應(yīng)線段和對應(yīng)角。 2. 旋轉(zhuǎn)的基本特征：（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形的大小

10、和形狀都沒有發(fā)生改變。 3. 幾點說明：旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉(zhuǎn)過程中位置沒有改變，哪一點就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心。23.2 中心對稱 中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180，假如它能夠與另一個圖形重合，那么這個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱。 中心對稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對稱的劉遇圖形，對應(yīng)點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。關(guān)于中心對稱的劉遇圖形是全等形。中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸

11、對稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，關(guān)于原點對稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。第二十四章 圓第三章 圓1、定義：圓是平面上到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2、點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：點在圓上d=r；點在圓內(nèi)dr；點在圓外dr。（p56-5，6、p58-16）證明若干個點共圓，就是證明這幾個點與一個定點的距

12、離相等。3、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。（p58-4、p59-9、p61-3、p63-16、p65-15）4、與圓相關(guān)的概念：弦和直徑。弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧。圓?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的

13、兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。5、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧。6、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心

14、距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。7、1的弧的概念：把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1的圓心角，相應(yīng)的整個圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1弧。圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等。8、圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1： 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑；（p66-5，7、p68-16）9、確定圓的條件：理解確定一個圓必須的具備兩個條件：圓心和半徑，圓心

15、決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓，經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓，其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上。經(jīng)過三點作圓要分兩種情況：(1)經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓。(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點，能且僅能作一個圓。定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓。10、 (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。（p69-4,5、p70-15）(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。(3)三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點的距離相等。11、直線和圓的位置關(guān)系：（p72-3,5）(1)相交：

16、直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線。(2)相切：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點做切點。(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。(4)直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：設(shè)o的半徑為r，圓心o到直線的距離為d，則dr直線l和o相交。d=r直線l和o相切。dr直線l和o相離。12、切線的總判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。結(jié)論：如果一條直線具備下列三個條件中

17、的任意兩個，就可推出第三個。垂直于切線；過切點；過圓心。（p73-13、p74-3、p75-14）13、和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形內(nèi)心的性質(zhì)：(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角。由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線： 連接內(nèi)心和三角形的頂點，該線平分三角形的這個內(nèi)角。（p77-2、p78-14）14、兩圓的位置關(guān)系：（p79-6、p81-13） (1)外離： 兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。(2)外切： 兩個圓有惟一的公共點，并且除

18、了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時， 叫做這兩個圓外切。這個惟一的公共點叫做切點。(3)相交： 兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交。(4)內(nèi)切： 兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切。這個惟一的公共點叫做切點。(5)內(nèi)含： 兩個圓沒有公共點， 并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含。兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例。(6)兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：(1)兩圓外離dr+r；(2)兩圓外切d=r+r；(3)兩圓相交r-rdr+r(rr)；(4)兩圓內(nèi)切d=r-r(rr)；(5)兩圓內(nèi)含dr)。(7)相切兩圓

19、的性質(zhì)：如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上。(8)相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦。 15、圓周長公式：圓周長c=2r(r表示圓的半徑)。圓的面積公式：s=r 2(r表示圓的半徑)?；￠L公式：2nr/360(r表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數(shù))。（p82-6）扇形定義：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。（p82-9、p84-1、p85-8）扇形的面積公式：扇形的面積=nr2/360(r表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數(shù))。弓形定義：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形。弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高。16、圓錐：可以看作是一個直角三角形繞著

20、直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形，另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面。圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算：圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點。如果設(shè)圓錐底面半徑為r，側(cè)面母線長(扇形半徑)是l，底面圓周長(扇形弧長)為c，那么它的側(cè)面積是：s=cl/2=2rl/3=rl?？偯娣e=側(cè)面積+底面積。（p87-7，9，11）17、若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的特征： 圓內(nèi)接四邊形的對角互補；圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)

21、錯角。18、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。19、和圓有關(guān)的比例線段：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等；推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。20、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。21、兩圓連心線的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，或者說，連心線過切點。如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。（p91-7 24.3

22、正多邊形和圓 1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系： (1)將一個圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形。 (2)這個圓是這個正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念： (1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。 (2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。 (3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。 (4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)： (1)任何正多邊形都有一個外接圓。 (2)正多邊形都是軸對稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，正n

23、邊形的對稱軸有n條。 (3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。重點：正多邊形的有關(guān)計算。24.4 弧長和扇形面積 知識點1、弧長公式因為360的圓心角所對的弧長就是圓周長c2r，所以1的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為r的圓中，n的圓心角所對的弧長l的計算公式：，說明：（1）在弧長公式中，n表示1的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑r10，計算20的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。（2）在弧長公式中，已知l，n，r中的任意兩個量，都可以求出第三個量。知識點2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為r，圓心角為n的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心角

24、是360的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1的扇形面積是，由此得圓心角為n的扇形面積的計算公式是。又因為扇形的弧長，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個計算公式：。知識點3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長弦長弧長（3）弓形的面積如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形oamb的面積和aob的面積計算出來，就可以得到弓形amb的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示， 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積

25、的計算公式。圓周長弧長圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積知識點4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識點5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識小結(jié)：

26、圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過程由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如rtsoa繞直線so旋轉(zhuǎn)一周。由一個矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形abcd繞直線ab旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個底面和一個側(cè)面兩個底面和一個側(cè)面?zhèn)让嬲归_圖的特征扇形矩形面積計算方法第二十五章 概率初步 25.1 隨機事件與概率 1隨機試驗與樣本空間 具有下列三個特性的試驗稱為隨機試驗： (1) 試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行； (2) 每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但事先知道每次試驗所有可能的結(jié)果； (3) 每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)第二十六章二次函數(shù) 1、定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全

27、體實數(shù)。2、二次函數(shù)的性質(zhì)：（1）拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸；（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系： 當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點。（3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為。（p21-12）3、二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線。4、二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中。5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；。6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線。（p23-9,1

28、0）7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線。（p26-9） （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線。 （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。 注意：用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失。9、拋物線中，的作用（p29-例2,1,10） （1）決定開口方向及開口大小，

29、這與中的完全一樣。 （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線的對稱軸是直線。，故：時，對稱軸為軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè)。 （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置。 當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點； ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸。 以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 。10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（p32-12、p34-7,8、p

30、37-2,4、p42-1,2、p51-例、p54-16） （1）一般式：。已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式。 （2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式。 （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：。261 （用函數(shù)觀點看一元二次方程 1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個根。 2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。262 實際問題與二次函數(shù) 在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材

31、料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十七章相似 271 圖形的相似 概述判定1、如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。2、如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。 相似比3、相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。 性質(zhì)4、相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。 5、相似多邊形的面積比等于相似比的平方。272 相似三角形 判定：1.兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等 2.兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等 3.三邊對應(yīng)成比例 4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊

32、或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 1.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。 2.相似三角形周長的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方273 位似 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。性質(zhì)1、位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。 2、位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。3、位似可以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位

33、似中心的位變而位變。 根據(jù)一個位似中心可以作兩個關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對稱。 注意 1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個位似圖形的位似中心只有一個； 3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)； 4、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似； 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù) 281 銳角三角函數(shù) 銳角角a的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（

34、cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角a的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對邊比鄰邊； 余切（cot）等于鄰邊比對邊 正切與余切互為倒數(shù)，互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan.同角三角函數(shù)間的關(guān)系 平方關(guān)系： tan=sin/cos，sin2+cos2=1 積的關(guān)系： 倒數(shù)關(guān)系： tancot=1 ；sincsc=1； cossec=1 直角三角形abc中, 角a的正弦值就等于角a的對邊比斜邊, 余弦等于角a的鄰邊比斜邊

35、正切等于對邊比鄰邊, 余切等于鄰邊比對邊三角函數(shù)值（1）特殊角三角函數(shù)值 （2）090的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。 （3）tana的值越大，梯子越陡，a越大；a越大，梯子越陡，tana的值越大。（i）銳角三角函數(shù)值都是正值 （ii）當(dāng)角度在090間變化時， 正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?（iii）當(dāng)角度在090間變化時， 0sin1, 1cos0, 當(dāng)角度在00, cot0. 特殊的三角函數(shù)值 282 解直角三角形 勾股定理，

36、只適用于直角三角形（外國叫“畢達(dá)哥拉斯定理”） a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。 勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。 常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；等等.直角三角形的特征直角三角形兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30所對的直角邊等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在rtabc中，若c90，則a2+b2=c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在abc中，若a2+b2=c2，則c90；abcd射影定理：ac2=adab,bc2=bdab,cd2=dadbabcacb銳角三角