生成函數(shù)的運(yùn)算

1、2.1 生成函數(shù)的運(yùn)算2.1.1 加運(yùn)算與乘運(yùn)算n設(shè)生函數(shù) ，na(x)與b(x)相等，記作a(x)b(x)，當(dāng)且僅當(dāng) k0,1,2, na(x)與b(x)相加，記作a(x)b(x)，且 a(x)b(x)na(x)與b(x)相乘，記作a(x)b(x)，且 a(x)b(x)0( )kkkb xb x kkab0011220)(kkkkkkxaba ba ba b0)(kkkkxab0( )kkka xa x 2.1.1 加運(yùn)算與乘運(yùn)算n定理2.2.1設(shè)rx是生成函數(shù)的集合，則代數(shù)系統(tǒng)是整環(huán)。n證明證明 交換群 的幺元幺元為：數(shù)列0,0,0,的形式冪級(jí)數(shù)0 關(guān)于 運(yùn)算的逆元逆元為： 數(shù)列an (n

2、0,1,2,)的形式冪級(jí)數(shù)，且記作 0( )kkka xa x 0)()kkkaa xx2.1.1 加運(yùn)算與乘運(yùn)算是半群 運(yùn)算關(guān)于 運(yùn)算可分配 運(yùn)算交換 運(yùn)算的幺元幺元：數(shù)列1,0,0, 的形式冪級(jí)數(shù)1 運(yùn)算的零元零元：數(shù)列0,0,0,的形式冪級(jí)數(shù)無(wú)零因子環(huán)2.1.1 加運(yùn)算與乘運(yùn)算n定理2.2.2 對(duì)rx中的任意一個(gè)形式冪級(jí)數(shù) ，a(x)關(guān)于 運(yùn)算有逆元的充要條件是a00，且其逆元唯一，并記作0( )kkka xa x 1( )a x2.1.1 加運(yùn)算與乘運(yùn)算n證明證明 設(shè) 是a(x)關(guān)于 運(yùn)算的逆元，則 a001( )( )a xa x0( )kkka xa x 1122000()kkkk

3、kkaxaa aa aa a0010010110100kkka aa aa aa aaaa a2.1.1 加運(yùn)算與乘運(yùn)算n例2.2.1 求形式冪級(jí)數(shù)a(x)1x關(guān)于 運(yùn)算的逆元n解解 設(shè) ，則 (1x) 1 即 所以 ak1 k0,1,2,3 故 1( )a x011( )1kkxa xx 230102132()()()1xaaaaa xaa x0()kkka x01( )kkka xa x 2.1.2 減運(yùn)算與除運(yùn)算n設(shè)生函數(shù) ，na(x)與b(x)相減，記作a(x)b(x)，且 a(x)b(x)na(x)與b(x)相除，記作a(x)b(x)，且 a(x)b(x)0( )kkkb xb x 1( )( )a xa x0)(kkkkxab0( )kkka xa x 2.1.3 導(dǎo)數(shù)與積分n設(shè)生函數(shù) na(x)的一階導(dǎo)數(shù)記作da(x)，且 da(x)na(x)的n階導(dǎo)數(shù) d0