非齊線性微分方程組

1、5.2.2 非齊線性微分方程組非齊線性微分方程組)()(ttfxax)(t )()(tt )(t )()()()(tttt )()()()()(ttttt afa)()()()(ttttfa )()(tt )()()(ttt a性質(zhì)性質(zhì)2)()(tt 和是是(5.14)的任意兩個(gè)解，的任意兩個(gè)解，)()(tt 是是(5.14)對(duì)應(yīng)齊次線性方程組對(duì)應(yīng)齊次線性方程組如果如果則則(5.15)的解。的解。)()()()()()(ttttttfafa )(t )(t )(t 都可以都可以)()()(ttt c 定理定理7 7 設(shè)設(shè)是是(5.15)的基解矩陣，的基解矩陣，是是(5.14)的某的某一解，則一

2、解，則(5.14)的任一解的任一解這里這里 c 是確定的常數(shù)列向量。是確定的常數(shù)列向量。(5.23)(t 是是(5.14)的任一解，的任一解，)()(tt 是齊次方程組是齊次方程組(5.15)的解，因此存在常列向量的解，因此存在常列向量 c ，使得使得)()(tt c )(t )()()(ttt c 證明證明表示為表示為:已知已知(5.15)的基解矩陣的基解矩陣 ，則可用，則可用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求求)(t)(t )()()(tttc的解，則的解，則)()()()()()()()(ttttttttfcacc)()()(ttta(5.25)為了尋求為了尋求(5.14)的通解，只要知道的通解，只

3、要知道(5.14) 對(duì)應(yīng)齊的對(duì)應(yīng)齊的齊線性方程組齊線性方程組(5.15)的的基解矩陣基解矩陣和和自身的一個(gè)解即可。自身的一個(gè)解即可。假設(shè)假設(shè)(5.14)存在形如存在形如(5.14)的特解的特解而而)()()(tttfc (5.24)ttbattdssst001 ,)()()(fc這樣，這樣，(5.24)變?yōu)樽優(yōu)?c)(0tttbattdssstt001,)()()()(f 如果如果(5.14)有一個(gè)形如有一個(gè)形如(5.24)的解的解 , , 則則)(t (5.26)()()(tttfc1由由(5.26)決定。決定。)(t 反之易證明由反之易證明由(5.26)決定的向量函數(shù)決定的向量函數(shù))(t

4、一定是一定是(5.14)的解。的解。ttbattdssstt001,)()()()(f (5.26)()()()()()()(tttdsssttttff110 )()()()()()(tdssstttttffa01 )()()()(ttttfa )(t 一定是一定是(5.14)的解。的解。反之易證明由反之易證明由(5.26)決定的向量函數(shù)決定的向量函數(shù)0)(0t 定理定理8 8是是(5.15)的基解矩陣，則向量函數(shù)的基解矩陣，則向量函數(shù)ttdssstt01)()()()(f (5.27)如果如果)(t是是(5.14)的解，且滿足初始條件的解，且滿足初始條件(5.14) 滿足初始條件滿足初始條件

5、 )(0t的解的解是是ttdssstttt0101)()()()()()(f (5.26)(5.14) 通解通解ttdsssttt01)()()()()(fc 例例2 2試求下面初值問題的解試求下面初值問題的解21 01011xxetxxx其中,110 )(x解解22211 xxexxxt22211 xxxxx11222tttxc ec texc ettteteet0)(基解矩陣基解矩陣0121cc1021cc0tettetetecx22tttececx211ttdssstttt0101)()()()()()(f ttteteet0)(sssseseees0121)(ses101e)(01)(

6、t dseeseteetssttt00101110dseeteetsttt020110ttdssstttt0101)()()()()()(f dseeteetsttt020110021211102tttteetee112102)(tttteeteetttteeete)(21)(t tttteeete)(21課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：試求下面初值問題的解試求下面初值問題的解21 2012xxttxxx其中,cossin110 )(x分析常數(shù)變易法分析常數(shù)變易法/analytic of unknown function method/)()()(tttc )()()()()()(tcttcttctnnx

7、xx2211 (5.25)()()(tttfc)()()()()()()()()()()()()()()(tftftftctctctxtxtxtxtxtxtxtxtxnnnnnnnn2121212222111211 )()()()()()()()()(det)(txtftxtxtftxtxtftxtwnnnnnnk122211111nktwtwtckk,)()()(21 01dsswswttttknkk)()()()(x )()()(tttc )()()()()()(tcttcttctnnxxx2211是是(5.14)的滿足的滿足 0)(0t 的解。的解。nkdsswswtcttkk,)()(

8、)(21 0推論推論3 3)(),(,),(),(tftatatan21是區(qū)間是區(qū)間bta上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)，)(,),(),(txtxtxn21是對(duì)應(yīng)齊次方程是對(duì)應(yīng)齊次方程011xtaxtaxnnn)()()()(的基本解組，那么，非齊次線性方程（的基本解組，那么，非齊次線性方程（5.28）)()()()()(tfxtaxtaxnnn11(5.21)(5.28)如果如果滿足初始條滿足初始條件件,)(,)(,)()(battttn00100000 的解的解為為應(yīng)用到應(yīng)用到n階線性方程階線性方程)()()()()()()()()(det)()()()(txtxtxtxtxtxtxtxtx

9、twnnnnnn112112121 )()()()()()(det)(txtxtxtxtxtxtwnnnnnk1001221111dssfsxsxsxwsxsxsxwtxtnkttnnkk)()(,),(),()(),(),()()(121210(5.29)(5.28)的常數(shù)變易公式是的常數(shù)變易公式是dssfsxsxsxwsxsxsxwtxtnkttnnkk)()(,),(),()(),(),()()(121210(5.28)的通解可以表示為的通解可以表示為)()()()(ttxctxctxcxnn2211 思考思考1 推論推論3的推導(dǎo)過程的推導(dǎo)過程2 到目前為止到目前為止 n 階線性方程求特

10、解的方法有多少？階線性方程求特解的方法有多少？當(dāng)當(dāng)n= =2時(shí)，公式時(shí)，公式(5.29)就是就是ttttdssfsxsxwsxsxwtxdssfsxsxwsxsxwtxt00212122212111 )()(),()(),()()()(),()(),()()()()()()(),(sxsxsxsxsxw22221110)()()()(),(sxsxsxsxsxw11121210因此，當(dāng)因此，當(dāng)n=2時(shí)常數(shù)變易公式變?yōu)闀r(shí)常數(shù)變易公式變?yōu)閐ssfsxsxwsxtxsxtxttt)()(),()()()()()(0212112而通解就是而通解就是)()()(2211ttxctxcx這里這里 任意常數(shù)

11、。任意常數(shù)。21,cc(5.31)(5.32)利用公式利用公式(5.31)(5.31)來求方程的一個(gè)解，來求方程的一個(gè)解，例例3tgtxx 解解ttxttxsin)(,cos)(21的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。 121tttttxtxwcossinsincos)(),(0 xx試求方程試求方程易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為的基本解組為,dssfsxsxwsxtxsxtxtt)()(),()()()()()(0212112sdsststttan)sincoscos(sin0注意，因?yàn)樽⒁?，因?yàn)閟intsint是對(duì)應(yīng)的齊線性方程的解，所以函數(shù)是對(duì)應(yīng)的齊線性方程的解，所以函數(shù)tgt

12、tttseclncos)(也是原方程的一個(gè)解。也是原方程的一個(gè)解。ttsdsstsdst00tansincossinsinsdsststttan)sincoscos(sin0)tansecln(sincos)cos(sintttttt1tgttttseclncossin作業(yè)作業(yè)p.202, 第第6, 8，9(a) 題。題。求求齊次線性方程組齊次線性方程組的解的另一方法：的解的另一方法：消元法消元法22211 xxxxx保留一個(gè)未知函數(shù) x1，消掉另一個(gè)未知函數(shù) x2211xxx 211xxx 112xxx1112xxx 02111 xxxtttececx211ttttttecectecececx212212tecx2211222tttxc ec texc e求求非齊次線性方程組非齊次線性方程組的另一方法：的另一方法：消元法消元法22211 xxexxxt保留一個(gè)未知函數(shù) x1，消掉另一個(gè)未知函數(shù) x2texxx 211texxx 211texxx112texxx 22111tex