數(shù)二-基本知識(shí)點(diǎn)

1、數(shù)二基本知識(shí)點(diǎn)deran pan2017.8.11目錄第一章極限4一、定理4二、重要極限4三、等價(jià)無(wú)窮小4六、積分和求極限4四、佩亞諾余項(xiàng)泰勒展開4第二章一元函數(shù)微分5一、函數(shù)微分5二、微分運(yùn)算法則5三、基本微分公式5四、變限積分求導(dǎo)5五、n階導(dǎo)數(shù)5六、參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)5七、隱函數(shù)求導(dǎo)法則，冪指函數(shù)求導(dǎo)法則5八、反函數(shù)的一階、二階求導(dǎo)5九、單調(diào)、極值、凹凸、拐點(diǎn)5十、漸近線5十一、曲率6十三、泰勒定理6十四、極限與無(wú)窮小的關(guān)系6十五、附6第三章一元函數(shù)積分7一、定理7二、基本積分公式7三、基本積分方法7四、一個(gè)重要的反常積分7五、定積分的應(yīng)用7第四章多元函數(shù)微分8一、如果limxx0yy0fx,y

2、存在，則fx,y在該點(diǎn)連續(xù)8二、求重極限方法8三、可微性討論8四、復(fù)合函數(shù)微分8五、高階偏導(dǎo)8六、隱函數(shù)求導(dǎo)8七、二元函數(shù)極值的充分條件8八、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法8九、二重積分8十、柯西積分不等式10第五章常微分方程11一、一階微分方程11二、可降階的高階微分方程11三、高階常系數(shù)微分方程11第一章行列式12一、余子式&代數(shù)余子式12二、幾個(gè)重要公式12三、抽象n階方陣行列式公式12第二章矩陣12一、運(yùn)算規(guī)則12二、特殊矩陣12三、可逆矩陣12四、秩13第三章向量13一、線性表出、線性相關(guān)、極大線性無(wú)關(guān)組13二、施密特正交化13三、正交矩陣13第四章線性方程組14一、克拉默法則14二、齊次

3、線性方程組、基礎(chǔ)解系14三、非齊次線性方程組、通解結(jié)構(gòu)14第五章特征值、特征向量、相似矩陣14一、特征值、特征向量14二、相似矩陣14三、實(shí)對(duì)稱矩陣15四、矩陣、特征值、特征向量15五、判斷a是否相似于對(duì)角15第六章二次型15一、二次型15二、標(biāo)準(zhǔn)型15三、規(guī)范型15四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范型15五、合同16六、慣性定理16七、實(shí)對(duì)稱矩陣a、b合同的充要條件16八、正定16九、正定陣性質(zhì)16后記17第一章 極限一、 定理夾逼定理，單調(diào)有界定理二、 重要極限1.limx0sinxx=12.limx01+x1x=e3.limnnn=14.limx0+xin xk=05.limxxke-x=1三、

4、 等價(jià)無(wú)窮小當(dāng) x0時(shí)：1、 sinxx、2、 tanxx、3、 1-cosx12x24、 ex-1x5、 in 1+xx6、 1+x-1x7、 arcsinxx8、 arctanxx9、 x-1xin10、 xm+xkxm，(km0)一、二、三、四、五、 洛必達(dá)法則六、 積分和求極限limnun=limn1ni=1nfin=01fxdx一、二、三、四、 佩亞諾余項(xiàng)泰勒展開1、 ex=1+x+12!x2+1n!xn+oxn2、 sinx=x-13!x3+-1n2n+1!x2n+1+ox2n+23、 cosx=1-12!x2+-1n2n!x2n+ox2n+14、 in 1+x=x-x22+x33

5、+-1n-1xnn+oxn5、 1+xm=1+mx+mm-12!x2+mm-1m-n+1n!xn+oxn第二章 一元函數(shù)微分一、 函數(shù)微分dy=ax+ox=adx+ox二、 微分運(yùn)算法則1、 uv=uv2、 uv=uv+uv3、 cu=cu4、 uv=uv-uvv2三、 基本微分公式1、 c=02、 x=x-13、 x=xin4、 ex=ex5、 logx=1xina6、 cosx=-sinx7、 sinx=cosx8、 cotx=-cscx29、 tanx=secx210、 secx=secxtanx11、 cscx=-cscxcotx12、 arcsinx=11-x213、 arccosx

6、=-11-x214、 arctanx=11+x215、 arccotx=-11+x2四、 變限積分求導(dǎo)1x2xftdt =f2x2x-f1x1x五、 n階導(dǎo)數(shù)1、 uvn=unvn2、 uvn=unv+cn1un-1v1+cnkun-kvk+uvn六、 參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)yx=ytxtyxx=yxtxt=xtytt-xttytxt3七、 隱函數(shù)求導(dǎo)法則，冪指函數(shù)求導(dǎo)法則八、 反函數(shù)的一階、二階求導(dǎo)dxdy=1dydx=1fxy=-fxfx3九、 單調(diào)、極值、凹凸、拐點(diǎn)十、 漸近線水平漸近線：limxfx=b鉛直漸近線：limxx0fx=b斜漸近線：limxx0fxx=a，limxx0fx-ax=b十

7、一、 曲率k=|y|1+y232r=1k=1+y232|y|十二、 定理費(fèi)馬定理（駐點(diǎn)）、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。十三、 泰勒定理fx=fx0+fx01!x-x0+fx02!x-x02+fnx0n!x-x0n+rnx十四、 極限與無(wú)窮小的關(guān)系limxx0fx=afx=a+x，其中l(wèi)imxx0x=0十五、 附麥克勞林公式：fx=f0+f01!x+f02!x2+fn0n!xn+rnxx0=0泰勒公式：fx=fx0+fx01!x-x0+fx02!x-x02+fnx0n!x-x0n+rnxn=0拉格朗日余項(xiàng)：rnx=fn+1n+1!x-x0n+1fx=fx0+f1x-x0fx-fx0

8、=fx-x0拉格朗日中值定理n=1佩亞諾余項(xiàng)：rn=ox-x0nfx=fx0+fx01x-x0+ox-x0fx-fx0=fx0x-x0+ox-x0y=fx0x+ox-x0增量與微分的關(guān)系式第三章 一元函數(shù)積分一、 定理1、 定積分存在定理2、 原函數(shù)存在定理3、 積分中值定理abfxdx=fb-a二、 基本積分公式1、 xdx=1+1x+1+c2、 1xdx=inx+c3、 xdx=xin+c4、 exdx=ex+c5、 sinxdx=-cosx+c6、 cosx dx=sinx+c7、 tanxdx=-incosx+c8、 cotxdx=insinx+c9、 secxdx=insecx+ta

9、nx+c10、 cscxdx=incscx-cotx+c11、 sec2xdx=tanx+c12、 csc2xdx=-cotx+c13、 12+x2dx=1arctanx+c14、 12-x2dx=12in+x-x+c15、 12-x2dx=arcsinx+c16、 1x22dx=inx+x22+c三、 基本積分方法1、 湊微分法2、 換元積分法a) 含a2-x2，命x=asintb) 含x2+a2，命x=atantc) 含x2-a2，命x=asect3、 部分積分法4、 利用被積函數(shù)的奇偶性5、 拆項(xiàng)積分四、 一個(gè)重要的反常積分-+e-x2dx=20+e-x2dx=五、 定積分的應(yīng)用1、 平

10、面圖形的面積a=aby2x-y1xdxa=cdx2x-x1xdya=122d2、 平面曲線的弧長(zhǎng)s=abxt2+yt2dts=ab1+yx2dxs=2+2d3、 旋轉(zhuǎn)體體積v=aby2xdxv=aby22x-y12xdxv=2abxy2x-y1xdx4、 旋轉(zhuǎn)曲面面積s=2ab|y|1+f2xdxs=2ab|yt|xt2+yt2dt第四章 多元函數(shù)微分一、 如果limxx0yy0fx,y存在，則fx,y在該點(diǎn)連續(xù)二、 求重極限方法1、 利用極限性質(zhì)、四則運(yùn)算、夾逼準(zhǔn)則等2、 消除分母中為零的因子，有理化、等價(jià)無(wú)窮小等3、 轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極限4、 利用無(wú)窮小乘以有節(jié)量仍為無(wú)窮小三、 可微性討論

11、1、 可微a) 考察fxx0,y0和fyx0,y0是否都存在。b) 考察limx0y0fx0+x,y0+y-fx0,y0-fxx0,y0x+fyx0,y0yx2+y2=0是否成立。2、 可微的必要條件：可微必可導(dǎo)，不可導(dǎo)一定不可微。3、 可微的充分條件：有連續(xù)一階偏導(dǎo)函數(shù)一定可微。四、 復(fù)合函數(shù)微分1、 一元與多元復(fù)合dzdt=dzdududt+dzdvdvdt2、 多元與多元復(fù)合zx=zuux+zvvx、zy=zuuy+zvvy3、 全微分形式不變dz=zxdx+zydy =zudu+zvdv五、 高階偏導(dǎo)2zx2=xzx=fxxx,y2zxy=yzx=fxyx,y2zyx=xzy=fyxx

12、,y2zy2=yzy=fyyx,yfxyx,y 與 fyxx,y 相等，次序無(wú)關(guān)六、 隱函數(shù)求導(dǎo)1、 利用公式a) 一元：dydx=-fxfyb) 二元：zx=-fxfz、zy=-fyfz2、 方程組兩端分別求導(dǎo)3、 利用微分形式不變，方程兩端求微分七、 二元函數(shù)極值的充分條件若 fxx0,y0=0 以及 fyx0,y0=0設(shè) a=fxxx0,y0、b=fxyx0,y0、c=fyyx0,y0則：ac-b20，取的極值，a0為極小值，a0為極大值ac-b20，無(wú)極值ac-b2=0，不能確定八、 條件極值、拉格朗日乘數(shù)法1、 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)fx,y,=fx,y+x,y2、 解方程組fx=fx+x

13、=0fy=fy+y=0f=x,y=0所有滿足解的點(diǎn)是可能的極值點(diǎn)九、 二重積分1、 性質(zhì)a) 比較定理b) 估值定理c) 中值定理2、 計(jì)算a) 直角坐標(biāo)系下的計(jì)算i. 適合先y后x的積分域d fx,yd=abdx1x2xfx,ydyii. 適合先x后y的積分域d fx,yd=abdy1y2yfx,ydxb) 極坐標(biāo)下的計(jì)算i. 極點(diǎn)o在區(qū)域d之外d fx,yd=d12fcos,sindii. 極點(diǎn)o在區(qū)域d的邊界上d fx,yd=d0fcos,sindiii. 極點(diǎn)o在區(qū)域d的內(nèi)部d fx,yd=02d0fcos,sindiv. 環(huán)形域d fx,yd=02d12fcos,sind3、 利用對(duì)

14、稱性和奇偶性a) 對(duì)稱性i. 若積分域關(guān)于x或y對(duì)稱ii. 若積分關(guān)于直線x=y對(duì)稱，則fx,yd=fy,xd十、 柯西積分不等式f(x)gxdx2f2xdx+g2xdx第五章 常微分方程一、 一階微分方程1、 可分離變量方程2、 齊次方程dydx=fyx，令u=yx，則y=uxdydx=u+xdudx 3、 線性方程y=pxy=qx y=e-pxdxq(x)epxdxdx+c 二、 可降階的高階微分方程1、 反復(fù)積分，y(n)=f(x)2、 不是含有y的二階微分方程y=fy,x，令p=y則：y=dpdx，dpdx=f(p,x)3、 不是含有x的二階微分方程y=f(y,y)，令p=y則：y=d

15、pdx=dpdydydx=ydpdy=pdpdy三、 高階常系數(shù)微分方程1、 齊次方程：+py+qy=0a) 解特征值：1、2 。2+p+q=0i. 有不相同的兩個(gè)實(shí)根：y=c1e1x+c2e2xii. 有一對(duì)相等的實(shí)根：y=c1+c2xexiii. 有一對(duì)共軛復(fù)根i：y=exc1cosx+c2sinx2、 非齊次方程：y+py+qy=f(x)a) 通解形式為y=y(x)齊次解+y*特解i. 若fx=exqmx，則設(shè)y*=xkexpmx。k為特征值的重?cái)?shù)ii. 若fx=exqlxcosx +qnxsinx，則設(shè)y*=xkexplxcosx +pnxsinxk為特征值i的重?cái)?shù)第一章 行列式一、

16、余子式&代數(shù)余子式二、 幾個(gè)重要公式1、 上（下）三角形行列式aa=a11a22ann2、 副對(duì)角線行列式aa=-1nn-12a1na2n-1an13、 a、b分別是m階，n階矩陣a*ob=ao*b=|a|b|oab*=*abo=-1mn|a|b|4、 范德蒙行列式11 x1 x1 1 x1xnn-1xnn-1xnn-1xnn-1=1j0，則稱f正定2、 可逆線性變化不改變二次型的正定性3、 f正定的充要條件：f=xtax正定a的慣性指數(shù)p=r=nae，即存在ctac=ea=dtd，cd可逆a的全部特征值i0a的全部順序主子式大于零4、 f正定的必要條件：f=xtax正定a的主對(duì)角元素aii0a的行列式a0a的主對(duì)角元素aii0九、 正定陣性質(zhì)1、 任意秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣鈞與對(duì)角矩陣合同，其中p由a唯一確定，稱為a的合同標(biāo)準(zhǔn)型。=ep-er-p2、 n階矩陣a正定時(shí)與a有關(guān)的矩陣ka、at、ak、a-1、a*、fa等