高中數(shù)學必修三知識點

1、必修3：知識點一：算法初步1：算法的概念（1）算法概念：通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.（2）算法的特點:有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果。順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，但是答案是唯一的。普遍性：很多具體的問題，都

2、可以設計合理的算法去解決。2： 程序框圖（1）程序框圖基本概念：程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“y”；不成立時標明“否”或

3、“n”。學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、 使用標準的圖形符號。2、 框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、 除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。滿足條件？語句1語句2是否滿足條件？語句否4、 判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、 在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。ab3：算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。（1）順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連

4、接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，a框和b框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完a框指定的操作后，才能接著執(zhí)行b框所指定的操作。（2）條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。條件p是否成立而選擇執(zhí)行a框或b框。無論p條件是否成立，只能執(zhí)行a框或b框之一，不可能同時執(zhí)行。（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細分為兩類：一類是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件p成立時，執(zhí)

5、行a框，a框執(zhí)行完畢后，再判斷條件p是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行a框，如此反復執(zhí)行a框，直到某一次條件p不成立為止，此時不再執(zhí)行a框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。否p是aa是立否p另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件p是否成立，如果p仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行a框，直到某一次給定的條件p成立為止，此時不再執(zhí)行a框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。p 當型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。 2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。4：輸入、輸出語句和賦值語句（1）輸入語句輸入語句的一般格式

6、輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。（2）輸出語句輸出語句的一般格式輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能； “提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。（3）賦值語句賦值語句的一般格式賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；賦值語句中的“”稱作賦值號，與數(shù)學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右

7、兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；對于一個變量可以多次賦值。注意：賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=x是錯誤的。 賦值號左右不能對換。如“a=b”“b=a”的含義運行結(jié)果是不同的。 不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）。 賦值號“=”與數(shù)學中的等號意義不同。5：條件語句（1） 條件語句的一般格式有兩種：ifthenelse語句；ifthen語句。ifthenelse語句 ifthenelse語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。否是滿足條

8、件？語句1語句2if 條件 then語句1else語句2end if 圖1 圖2分析：在ifthenelse語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；end if表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時，首先對if后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行then后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行else后面的語句2。滿足條件？語句是否（圖4）ifthen語句ifthen語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。if 條件 then語句end if（圖3） 注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不

9、滿足時，結(jié)束程序；end if表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時首先對if后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行then后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。6：循環(huán)語句循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設計語言中也有當型（while型）和直到型（until型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即while語句和until語句。（1）while語句滿足條件？循環(huán)體否是while語句的一般格式是 對應的程序框圖是while 條件循環(huán)體wend當計算機遇到while語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行while與wend之間的循環(huán)體；然后再檢查上述

10、條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到wend語句后，接著執(zhí)行wend之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。（2）until語句until語句的一般格式是 對應的程序框圖是滿足條件？循環(huán)體是否do循環(huán)體loop until 條件直到型循環(huán)，從until型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到loop until語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行

11、條件判斷的循環(huán)語句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（1） 當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；（2）在while語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體；在until語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)。（例如：上課時間睡覺，下課不睡覺）7：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)（1）輾轉(zhuǎn)相除法。用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商和一個余數(shù)； 若0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若0，則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個商和一個余數(shù)；若0，則為m，n的最大公約數(shù)；若0，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個商和一個余數(shù)； 依次計算直至0，此時所得到的即為所求的最大公約數(shù)。（2）更相減損術(shù) 任意給出

12、兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。 以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。98和63：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=78：秦九韶算法（1）秦九韶算法概念： f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值問題f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 =( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.

13、=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 . vn=vn-1x+a0這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。9：進位制（1）概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制?，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二

14、進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，若k是一個大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：， 而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數(shù),34(5)表示5進制數(shù).(2) k進制轉(zhuǎn)化為十進制公式：二進制化為十進制=51(3) 十進制轉(zhuǎn)化為k進制：除k取余法注：k進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，首先轉(zhuǎn)化成十進制，再轉(zhuǎn)化為其他進制數(shù)。二：統(tǒng)計1：簡單隨機抽樣（1）總體和樣本 在統(tǒng)計學中 , 把研究對象的全體叫做總體把每個研究對象叫做個體把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量為了研究總體的有關性質(zhì)，一般從總體中隨

15、機抽取一部分：， ， ， 研究，我們稱它為樣本其中個體的個數(shù)稱為樣本容量（2）簡單隨機抽樣。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。（3）簡單隨機抽樣常用的方法： 抽簽法 隨機數(shù)表法 ( 計算機模擬法 使用統(tǒng)計軟件直接抽取。)（4）抽簽法步驟: 抽簽法：編號 給總體中所有個體編號（號碼可以從1到n） 制簽 將1到n這n個號碼寫在形狀、大小都相同的好簽上攪拌 將好簽放在一個容器中，攪拌均勻抽簽 每次從容器中不放回地抽取一個好簽，并

16、記錄其編號，連續(xù)抽取x次取樣 從總體中，將與抽到的號簽編號一致的個體取出（5） 隨機數(shù)法（利用隨機數(shù)表編號）：編號 將總體中的每個個體編號定初值 在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始的數(shù)選號 從選定的數(shù)開始按一定的方向（可以向右、向左、向上、向下）讀數(shù)，得到的 號碼若不在編號中則跳過，若在編號中則取出，如果得到的號碼前面已取出則 跳過，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止取樣 把選定的號碼所對應的n個個體作為樣本2：系統(tǒng)抽樣（1） 系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）： 系統(tǒng)抽樣的步驟： 將總體的n個個體編號； 確定分段間隔k，對編號進行分段，當n/n是整數(shù)時，取k=n/n； 在第一段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號m(mk

17、) 按照一定的規(guī)則抽取個體，即：將m加上間隔k得到第二個個體編號（m+k),以此類推。3：分層抽樣（1）分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后按比例在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。例如：高年級與低年級分開，男女分開.（2） 分層的比例問題：抽樣比= 簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣的類比學習4：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（1）知道具體數(shù)據(jù)情況下求以下數(shù)值的方法：樣本均值：樣本標準差：；方差：眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)（

18、可以是多個）。中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，累計頻率為0.5時所對應的樣本數(shù)據(jù)值（只有一個）。（2） 觀察頻率分布直方圖（不知道具體數(shù)據(jù)）時求以下數(shù)值的方法：樣本眾數(shù)：直方圖中最高小長方形下端中點的橫坐標的值。中位數(shù)：第一步，根據(jù)直方圖先求出各個小長方形的面積，（面積=頻率，總面積為1）； 第二步，確定中位數(shù)在哪個小長方形里（中位數(shù)平分面積，兩邊各0.5）； 第三步，設中位數(shù)為x，則利用中位數(shù)平分面積，左邊面積和為0.5列方程； 第四步，解方程，求出x。平均數(shù)：第一步，根據(jù)直方圖先求出各個小長方形的面積，（面積=頻率，總面積為1）； 第二步，求出每個小長方形的底邊中點的橫坐標。 第三步，面積與橫坐標對

19、應相乘 第四步，把第三步的結(jié)果相加，最終算出的數(shù)值即為平均數(shù)。5:用樣本的頻率分布估計總體分布1：畫出頻率分布表與頻率分布直方圖 頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，它可以使我們看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況。具體步驟如下：第一步：求極差，即計算最大值與最小值的差.第二步：決定組距和組數(shù)：組距與組數(shù)的確定沒有固定標準，需要嘗試、選擇，力求有合適的組數(shù)，以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準.太多或太少都不好，不利對數(shù)據(jù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數(shù)應與樣本的容量有關，樣本容量越大組數(shù)越多.一般來說，容量不超過100的組數(shù)在5至12之間.組距應最好“取整”

20、，它與有關.注意：組數(shù)的“取舍”不依據(jù)四舍五入，而是當不是整數(shù)時，組數(shù)=+1.頻率分布折線圖 ：連接頻率分布直方圖中各個小長方形上端的重點，就得到頻率分布折線圖。總體密度曲線：總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的半分比，它能給我們提供更加精細的信息。例如：為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.518歲的男生的體重情況，結(jié)果如下（單位：kg）.56.569.56561.564.576716663.55666.56464.57658.559.563.5657074.57273.556677068.56455.572.566.557.565.56871756876

21、57.56071.56268.562.56659.55769.57464.55963.564.567.5736861.5676863.558557266.574635965.562.569.5726055.57064.55864.575.568.564626470.55762.56565.558.567.570.5656971.57362586666.5706359.5試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，并對相應的總體分布作出估計.解：按照下列值的差（1）求最大值與最小計.在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，極差是7655=21.（2）確定組距與組數(shù).如果將組距定為2，那么由212=

22、10.5，組數(shù)為11，這個組數(shù)適合的.于是組距為2，組數(shù)為11.（3）決定分點.根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點，第1小組的起點可取為54.5，第1小組的終點可取為56.5，為了避免一個數(shù)據(jù)既是起點，又是終點從而造成重復計算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是54.5，56.5），56.5，58.5），74.5，76.5）.（4）列頻率分布表.（頻率=頻數(shù)樣本總數(shù)）分組頻數(shù)頻率頻率/組距54.5，56.5）20.020.0156.5，58.5）60.060.0358.5，60.5）100.100.0560.5，62.5）100.100.0562.5，64.5）140.140.0764

23、.5，66.5）160.160.0866.5，68.5）130.130.06568.5，70.5）110.110.05570.5，72.5）80.080.0472.5，74.5）70.070.03574.5，76.5）30.030.015合計1001.000.50（5）繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方如圖223所示. 連接頻率直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.2：莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是指從莖旁邊生長出來的數(shù)。例2：某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分情況如下甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；乙的得分：13，16

24、，23，25，28，33，38，14，8，39，51.上述的數(shù)據(jù)可以用下圖來表示，中間數(shù)字表示得分的十位數(shù)，兩邊數(shù)字分別表示兩個人各場比賽得分的個位數(shù). 圖2256：變量間的相關關系：變量1的變化對變量2的結(jié)果有影響，但不是“函數(shù)”，只能確定是“正相關、負相關”，則稱“變量1與變量2具有相關關系”。（1）回歸直線：根據(jù)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，如果各點大致分布在一條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關的關系，這條直線叫做回歸直線方程。設已經(jīng)得到具有線性相關關系的一組數(shù)據(jù)： 。所要求的回歸直線方程為：，其中，a，b是待定的系數(shù)。?？汲Ｓ茫阂阎猙，求a，再求當x等于某數(shù)值時，y的取值。解法：計算

25、x的平均數(shù)和y的平均數(shù)； 由回歸直線過的樣本中心點，將x的平均數(shù)和y的平均數(shù)對應代入回歸方程，求出a； 當a、b確定后，回歸方程就是已知方程，只需將x的值代入方程，就可求出y；同理，將已知的y的值代入，也可以求出x。 三：概 率1：隨機事件的概率及概率的意義（1）必然事件：在條件s下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件s的必然事件；（2）不可能事件：在條件s下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件s的不可能事件；（3）隨機事件：在條件s下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件s的隨機事件；（4）頻數(shù)與頻率：在相同的條件s下重復n次試驗，觀察某一事件a是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件a出現(xiàn)的次數(shù)為事件a出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件a出現(xiàn)的比例為事件a出現(xiàn)的頻率。（頻率=頻數(shù)樣本總數(shù)）（5）當試驗的次數(shù)越多時，頻率就越接近一個穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值我們稱之為“概率”，即頻率可看成概率的近似值。2：概率的基本性質(zhì)（1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0p(a)1（2）事件的關系有：包含、