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1、課時分層作業(yè)(十九)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用 (建議用時:40分鐘)一、選擇題1學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖所示,測得ac的長度為4 m,a30,則其跨度ab的長為()a12 mb8 mc3 md4 md由題意知,ab30,所以c1803030120,由正弦定理得,即ab4.2如圖所示,為了測量某湖泊兩側(cè)a,b間的距離,李寧同學(xué)首先選定了與a,b不共線的一點c(abc的角a,b,c所對的邊分別記為a,b,c),然后給出了三種測量方案:測量a,c,b;測量a,b,c;測量a,b,a.則一定能確定a,b間的距離的所有方案的序號為()abcdd由題意可知,在三個條件下三角形均可唯一確定,通
2、過解三角形的知識可求出ab故選d3在地面上點d處,測量某建筑物的高度,測得此建筑物頂端a與底部b的仰角分別為60和30,已知建筑物底部高出地面d點20 m,則建筑物高度為()a20 m b30 m c40 m d60 mc如圖,設(shè)o為頂端在地面的射影,在rtbod中,odb30,ob20,bd40,od20,在rtaod中,oaodtan 6060,aboaob40(m)4如圖,兩座相距60 m的建筑物ab,cd的高度分別為20 m,50 m,bd在水平面上,則從建筑物ab的頂端a看建筑物cd的張角cad的大小是()a30b45 c60d75bad26022024 000,ac26023024
3、 500,在acd中,由余弦定理得coscad,cad(0,180),cad45.5如圖所示,在地面上共線的三點a,b,c處測得一建筑物的仰角分別為30,45,60,且abbc60 m,則建筑物的高度為()a15 mb20 mc25 md30 md設(shè)建筑物的高度為h,由題圖知,pa2h,pbh,pch,在pba和pbc中,分別由余弦定理,得cospba,cospbc.pbapbc180,cospbacospbc0.由,解得h30或h30(舍去),即建筑物的高度為30 m二、填空題6若兩人用大小相等的力f提起重為g的貨物,且保持平衡,則兩力的夾角的余弦值為_如圖,由平行四邊形法則可知,|g,在a
4、ob中,由余弦定理可得|2f2f22ffcos()|g,2f2(1cos )g2,cos .7如圖所示,從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b,c的俯角分別是75,30,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度bc等于_ m.120(1)由題意可知,ac120.bac753045,abc1804530105,所以sin abcsin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45.在abc中,由正弦定理得,于是bc120(1)(m)8.如圖,在abc中,已知點d在bc邊上,adac,sinbac,ab3,ad3,則bd的長為_sinbacsin(90bad)cosbad,在a
5、bd中,有bd2ab2ad22abadcosbad,bd21892333,bd.三、解答題9如圖所示,一條河自西向東流淌,某人在河南岸a處看到河北岸兩個目標c,d分別在北偏東45和北偏東30方向,此人向東走300米到達b處之后,再看c,d,則分別在北偏西15和北偏西60方向,求目標c,d之間的距離解由題意得,在abd中,因為dab60,dba30,所以adb90,在rtabd中,因為ab300,所以bd300sin 60150,在abc中,因為cab45,abc75,所以acb60.由正弦定理得,所以bc100,在bcd中,因為bc100,bd150,cbd45,由余弦定理得cd2bc2bd2
6、2bcbdcoscbd37 500,所以cd50.所以目標c,d之間的距離為50米10在abc中,設(shè)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,已知cos2asin2bcos2csin asin b(1)求角c的大??;(2)若c,求abc周長的取值范圍解(1)由題意知1sin2asin2b1sin2csin asin b,即sin2asin2 bsin2csin asin b,由正弦定理得a2b2c2ab,由余弦定理得cos c,又0c,c.(2)由正弦定理得2,a2sin a,b2sin b,則abc的周長為labc2(sin asin b)22sin.0a,a,sin1,22sin2,abc周長的
7、取值范圍是(2,21甲船在島a的正南b處,以每小時4千米的速度向正北航行,ab10千米,同時乙船自島a出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)ィ敿?、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間為()a分鐘 b分鐘c21.5分鐘d2.15小時a如圖,設(shè)t小時后甲行駛到d處,則ad104t,乙行駛到c處,則ac6t.bac120,dc2ad2ac22adaccos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t10028.當t時,dc2最小,即dc最小,此時它們所航行的時間為60分鐘2如圖所示,要測量底部不能到達的某電視塔ab的高度,在塔的同一側(cè)選擇c,d兩個觀測點,且
8、在c,d兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45,30,在水平面上測得bcd120,c,d兩地相距500 m,則電視塔ab的高度是()a100 mb400 mc200 md500 md設(shè)abx,在rtabc中,acb45,bcabx.在rtabd中,adb30,bdx.在bcd中,bcd120,cd500 m,由余弦定理得(x)2x250022500xcos 120,解得x500 m3.如圖所示,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形aob,c是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于ao的小路cd已知某人從o沿od走到d用了2 min,從d沿著dc走到c用了3 min.若此人步行的速度為每分鐘50 m
9、,則該扇形的半徑為_m.50連接oc,在ocd中,od100,cd150,cdo60,由余弦定理可得oc210021502210015017 500,oc50.4臺風(fēng)中心從a地以每小時20千米的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市b在a的正東40千米處,b城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為_小時1設(shè)a地東北方向上存在點p到b的距離為30千米,apx,在abp中,pb2ap2ab22apabcos a,即302x24022x40cos 45,化簡得x240x7000,|x1x2|2(x1x2)24x1x2400,|x1x2|20,即圖中的cd20(千米),故t1(小時)5abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,已知asinbsin a(1)求b;(2)若abc為銳角三角形,且c1,求abc面積的取值范圍解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin asinsin bsin a因為sin a0,所以sinsin
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