電磁場(chǎng)鏡像法

1、2.4 鏡鏡 象象 法法method of images 根據(jù)前面的討論知道：在所考慮的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有根據(jù)前面的討論知道：在所考慮的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有自由電荷分布時(shí)，可用自由電荷分布時(shí)，可用laplaces equation求解場(chǎng)分求解場(chǎng)分布；在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時(shí)，用布；在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時(shí)，用poissons equation 求解場(chǎng)分布。求解場(chǎng)分布。 如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類(lèi)問(wèn)題又如何荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類(lèi)問(wèn)題又如何求解？這就是本節(jié)主要研究的：解決這類(lèi)問(wèn)題的一求解？這就是本節(jié)主

2、要研究的：解決這類(lèi)問(wèn)題的一種特殊方法種特殊方法 稱(chēng)為鏡象法。稱(chēng)為鏡象法。1、鏡象法的基本問(wèn)題、鏡象法的基本問(wèn)題 在點(diǎn)電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時(shí)，空間的靜電場(chǎng)是由點(diǎn)在點(diǎn)電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時(shí)，空間的靜電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。電荷和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。 在所求的場(chǎng)空間中，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)在所求的場(chǎng)空間中，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)場(chǎng)點(diǎn)而言能否用場(chǎng)空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個(gè)或場(chǎng)點(diǎn)而言能否用場(chǎng)空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個(gè)或幾個(gè)假想的電荷來(lái)代替呢？幾個(gè)假想的電荷來(lái)代替呢？ 光學(xué)成像理論給我們的啟發(fā)：當(dāng)我們

3、把光學(xué)成像理論給我們的啟發(fā)：當(dāng)我們把點(diǎn)電荷作為物點(diǎn)電荷作為物，把，把導(dǎo)體或介質(zhì)界面作為面鏡，那么導(dǎo)體或介質(zhì)界面作為面鏡，那么導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷就可作為我們所說(shuō)的象電荷就可作為我們所說(shuō)的象，然后把，然后把物和象在場(chǎng)點(diǎn)處的貢獻(xiàn)迭物和象在場(chǎng)點(diǎn)處的貢獻(xiàn)迭加加起來(lái)，就是我們討論的結(jié)果。起來(lái)，就是我們討論的結(jié)果。2、鏡象法的理論基礎(chǔ)鏡象法的理論基礎(chǔ) 鏡象法的理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實(shí)質(zhì)是在所研究的場(chǎng)域鏡象法的理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實(shí)質(zhì)是在所研究的場(chǎng)域外的適當(dāng)?shù)胤?，用?shí)際上不存在的外的適當(dāng)?shù)胤?，用?shí)際上不存在的 “象電荷象電荷” 來(lái)代替真實(shí)的導(dǎo)體來(lái)代替真實(shí)的導(dǎo)體感應(yīng)電

4、荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的作用。在代替的時(shí)候，必須感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的作用。在代替的時(shí)候，必須保證原有的場(chǎng)方程、邊界條件不變，而象電荷的大小以及所外的保證原有的場(chǎng)方程、邊界條件不變，而象電荷的大小以及所外的位置由位置由poissons equation or laplaces equation 和邊界條件決定。和邊界條件決定。這里要注意幾點(diǎn)：這里要注意幾點(diǎn)： a) 唯一性定理要求所求電勢(shì)必須滿(mǎn)足原有電荷分布所滿(mǎn)足的唯一性定理要求所求電勢(shì)必須滿(mǎn)足原有電荷分布所滿(mǎn)足的poissons equation or laplaces equation，即，即所研究空間的泊松方所研究空間的泊松方

5、程不能被改變（即自由點(diǎn)電荷位置、大小不能變）。程不能被改變（即自由點(diǎn)電荷位置、大小不能變）。因此，因此，做替做替代時(shí)，假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。代時(shí)，假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。在唯一性定理保證下，在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿(mǎn)足泊松方程及邊界條件即是正確解。采用試探解，只要保證解滿(mǎn)足泊松方程及邊界條件即是正確解。 b)b)由于象電荷代替了真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，因由于象電荷代替了真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認(rèn)為原來(lái)的真實(shí)的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在。此放置象電荷后，就認(rèn)為原來(lái)的真實(shí)的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在。也就是把整個(gè)空間看成是無(wú)界的均勻空間。并且

6、其介電常數(shù)應(yīng)是也就是把整個(gè)空間看成是無(wú)界的均勻空間。并且其介電常數(shù)應(yīng)是所研究場(chǎng)域的介電常數(shù)。（實(shí)際是通過(guò)邊界條件來(lái)確定假想電荷所研究場(chǎng)域的介電常數(shù)。（實(shí)際是通過(guò)邊界條件來(lái)確定假想電荷的大小和位置）。的大小和位置）。 c)c)一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。 d)d)象電荷是虛構(gòu)的，它只在產(chǎn)生電場(chǎng)方面與真實(shí)的感應(yīng)電荷象電荷是虛構(gòu)的，它只在產(chǎn)生電場(chǎng)方面與真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷有等效作用。而其電量并不一定與真實(shí)的感應(yīng)電荷或或極化電荷有等效作用。而其電量并不一定與真實(shí)的感應(yīng)電荷或真實(shí)的極化電荷相等，不過(guò)在某些問(wèn)題中，它們卻恰好相等。

7、真實(shí)的極化電荷相等，不過(guò)在某些問(wèn)題中，它們卻恰好相等。 e)e)鏡象法所適應(yīng)的范圍是：所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，鏡象法所適應(yīng)的范圍是：所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替；導(dǎo)體或介質(zhì)的它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替；導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡(jiǎn)單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。邊界面必是簡(jiǎn)單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。3、鏡象法的具體應(yīng)用、鏡象法的具體應(yīng)用 用鏡象法解題大致可按以下步驟進(jìn)行用鏡象法解題大致可按以下步驟進(jìn)行 ：a)正確寫(xiě)出電勢(shì)應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程及給定的邊界條件；正確寫(xiě)出電勢(shì)應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程及給定的邊界條件；（坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀

8、來(lái)定）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定）b)根據(jù)給定的邊界條件計(jì)算象電荷的電量和所在位置；根據(jù)給定的邊界條件計(jì)算象電荷的電量和所在位置；c)由已知電荷及象電荷寫(xiě)出勢(shì)的解析形式；由已知電荷及象電荷寫(xiě)出勢(shì)的解析形式；d) 根據(jù)需要要求出場(chǎng)強(qiáng)、電荷分布以及電場(chǎng)作用力、根據(jù)需要要求出場(chǎng)強(qiáng)、電荷分布以及電場(chǎng)作用力、電容等。電容等。鏡像法往往比分離變量法簡(jiǎn)單，但它只鏡像法往往比分離變量法簡(jiǎn)單，但它只能用于一些特殊的邊界情況。能用于一些特殊的邊界情況。點(diǎn)電荷與平面導(dǎo)體點(diǎn)電荷與平面導(dǎo)體(a)q q(b)q q(c)q q點(diǎn)電荷與球形導(dǎo)體點(diǎn)電荷與球形導(dǎo)體q qo(d)(e)oq q點(diǎn)電荷的鏡像點(diǎn)電荷的鏡像f各種簡(jiǎn)

9、單邊界的組合作為邊界各種簡(jiǎn)單邊界的組合作為邊界(c)q q(a)q q(b)q qf線(xiàn)電荷與平面導(dǎo)體線(xiàn)電荷與平面導(dǎo)體(a)(b)(c)f線(xiàn)電荷與圓柱形導(dǎo)體線(xiàn)電荷與圓柱形導(dǎo)體o(a)(b)o線(xiàn)電荷的鏡像線(xiàn)電荷的鏡像導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為：導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為：n（1）鏡）鏡像像電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷不一定相等。電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷不一定相等。（2）由鏡）由鏡像像法求出電勢(shì)分布以后，由上式可求感應(yīng)法求出電勢(shì)分布以后，由上式可求感應(yīng)f平面與圓柱形邊界的組合作為邊界平面與圓柱形邊界的組合作為邊界電荷電荷(a)(b)(c)dsnqs電偶極子的鏡像電偶極子的鏡像(b)(a)p(c)pp(d)po(e)

10、p(f)op注意：注意： 鏡像電荷的位置由邊界形狀決定，與電量鏡像電荷的位置由邊界形狀決定，與電量及界面性質(zhì)無(wú)關(guān)。及界面性質(zhì)無(wú)關(guān)。應(yīng)用舉例 接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，求空間電勢(shì)。求空間電勢(shì)。0解：根據(jù)唯一性定理左半空間解：根據(jù)唯一性定理左半空間右半空間，右半空間，q在（在（0，0，a）點(diǎn)，）點(diǎn)，電勢(shì)滿(mǎn)足泊松方程。電勢(shì)滿(mǎn)足泊松方程。邊界上邊界上00zq設(shè)電量為設(shè)電量為a，位置為（位置為（0，0，） )()(412222220azyxqazyxq從物理問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性和邊界條件考慮，設(shè)想在導(dǎo)體板從物理問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性和邊界條件考慮，設(shè)想在導(dǎo)體板左左與電荷與電荷

11、q對(duì)稱(chēng)的位置上放一個(gè)假想電荷對(duì)稱(chēng)的位置上放一個(gè)假想電荷q ，然后把板抽去。，然后把板抽去。 這樣，沒(méi)有改這樣，沒(méi)有改變所考慮空間的電荷分布（即沒(méi)有改變電勢(shì)服從的泊松方程）變所考慮空間的電荷分布（即沒(méi)有改變電勢(shì)服從的泊松方程）qq/zprra22222200ayxqayxqz由邊界條件確定由邊界條件確定qa和和、唯一解是唯一解是 因?yàn)橄箅姾稍谧蟀肟找驗(yàn)橄箅姾稍谧蟀肟臻g，所以舍去正號(hào)間，所以舍去正號(hào) 解解aaqq,)(1)(142222220azyxazyxq討論：討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布2/322200)(2ayxqazz 02/322)(22qqarrdrqads

12、q（b）電荷）電荷q 產(chǎn)生的電場(chǎng)的電力線(xiàn)全部終止在導(dǎo)體面上產(chǎn)生的電場(chǎng)的電力線(xiàn)全部終止在導(dǎo)體面上 它與無(wú)導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在它與無(wú)導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在 右半空間完全相同。右半空間完全相同。 （c） 與與 位置對(duì)于導(dǎo)體板鏡象對(duì)稱(chēng)，故這種方法稱(chēng)位置對(duì)于導(dǎo)體板鏡象對(duì)稱(chēng)，故這種方法稱(chēng) 為鏡象法（又稱(chēng)電象法）為鏡象法（又稱(chēng)電象法）qq（d）導(dǎo)體對(duì)電荷）導(dǎo)體對(duì)電荷q 的作用力相當(dāng)兩點(diǎn)電荷間的作用力的作用力相當(dāng)兩點(diǎn)電荷間的作用力zzzeaqeaqerqf202020216)2(144導(dǎo)體板上部導(dǎo)體板上部空間的電場(chǎng)空間的電場(chǎng)可以看作原可以看作原電荷與鏡象電荷與鏡象電荷共同激電荷共

13、同激發(fā)的電場(chǎng)。發(fā)的電場(chǎng)。場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)p的電勢(shì)的電勢(shì)導(dǎo)體板上的導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確感應(yīng)電荷確實(shí)可以用板實(shí)可以用板下方一個(gè)假下方一個(gè)假想電荷想電荷q代代替。替。 r r p q q 可以看出，引入象電荷取代感應(yīng)電荷，的確是可以看出，引入象電荷取代感應(yīng)電荷，的確是一種求解泊松方程的簡(jiǎn)潔方法。一種求解泊松方程的簡(jiǎn)潔方法。 rqrqp041 鏡像法所解決的問(wèn)題中最常見(jiàn)的是導(dǎo)體表面作為邊鏡像法所解決的問(wèn)題中最常見(jiàn)的是導(dǎo)體表面作為邊界的情況，但也可用于絕緣介質(zhì)分界面的場(chǎng)問(wèn)題。界的情況，但也可用于絕緣介質(zhì)分界面的場(chǎng)問(wèn)題。例例2設(shè)電容率分別為設(shè)電容率分別為1和和2 2的兩種均勻的兩種均勻介質(zhì)，以無(wú)限大平面為界。在介

14、質(zhì)介質(zhì)，以無(wú)限大平面為界。在介質(zhì)1 1中有一點(diǎn)電荷中有一點(diǎn)電荷q q，求空間電勢(shì)分布。，求空間電勢(shì)分布。解：解：先考慮先考慮介質(zhì)介質(zhì)1 1 中的電勢(shì)，設(shè)想將下半空間換成中的電勢(shì)，設(shè)想將下半空間換成與上半空間一樣，并在與上半空間一樣，并在z=-a處有處有q的像電荷的像電荷q來(lái)代替分界面上極化電荷對(duì)上半空間場(chǎng)的影響。來(lái)代替分界面上極化電荷對(duì)上半空間場(chǎng)的影響。則則在在z0的區(qū)域，空間一點(diǎn)的電勢(shì)為的區(qū)域，空間一點(diǎn)的電勢(shì)為q q介質(zhì)介質(zhì)1介質(zhì)介質(zhì)212a- -aq qzx )()(41)(412122221222111 azyxqazyxqrqrq(1)再考慮介質(zhì)再考慮介質(zhì)2中的電勢(shì)中的電勢(shì)2，這時(shí)我們

15、不能用上面的像電，這時(shí)我們不能用上面的像電荷荷q來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算2區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)。這是因?yàn)?，按照電像法，區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)。這是因?yàn)椋凑针娤穹?，像電荷必須在所考慮的區(qū)域之外像電荷必須在所考慮的區(qū)域之外。所以，我們現(xiàn)在把在所以，我們現(xiàn)在把在2區(qū)域外的電荷區(qū)域外的電荷q及其引起的極化電及其引起的極化電荷合起來(lái)，用荷合起來(lái)，用2區(qū)域外的一個(gè)像電荷區(qū)域外的一個(gè)像電荷q來(lái)統(tǒng)一考慮。設(shè)來(lái)統(tǒng)一考慮。設(shè)z0上半空間的介質(zhì)上半空間的介質(zhì)1全部換為介質(zhì)全部換為介質(zhì)2 ，并在，并在z=b處有一處有一電荷電荷q ，則，則z r0 處有一點(diǎn)電荷處有一點(diǎn)電荷 q，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。410rqrq球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系pr

16、ozqq/rr222cosrraracos222rbbrr0000222200rr rr rr rqqqqrrrr（2）由邊界條件確定）由邊界條件確定qr和和bqo設(shè)設(shè) 222200222200()2cos()2cosqrbq r bqraq r arrpr0ozqq因因 任意的任意的aqbq22)()(22022202arqbrq解得解得 aqrqarb020 qqabaqrqarb020)(0)(/cos2/cos214002024020220rrrrarrarrarraarqcos2)/(12020rarrra ，q發(fā)出的電發(fā)出的電力線(xiàn)一部分會(huì)聚到導(dǎo)體球力線(xiàn)一部分會(huì)聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳

17、到無(wú)窮遠(yuǎn)。面上，剩余傳到無(wú)窮遠(yuǎn)。qq （3）討論）討論： 02222000011 ()42cos(/)2cos0()qrrrarara rrrarr 球面感應(yīng)電荷分布球面感應(yīng)電荷分布 aqrdsqrr00導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為電荷導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為電荷 移到地中去了。移到地中去了。aqrqq0 230202202023022022000cos2)(4cos21)1 (40arrararqararararqrrr感總感應(yīng)電荷為總感應(yīng)電荷為即感應(yīng)電荷的大小等于象電荷即感應(yīng)電荷的大小等于象電荷q的大小。的大小。也可以這樣證明：也可以這樣證明： 根據(jù)根據(jù)gaus

18、s定理，對(duì)球作定理，對(duì)球作gauss面，即面，即qarddrdsqss020sin感感感aqroq感bq式中的式中的 是象電荷是象電荷q和真實(shí)電荷和真實(shí)電荷q共同產(chǎn)生的，即共同產(chǎn)生的，即故故 q感感=q即感應(yīng)電荷的電量即感應(yīng)電荷的電量q感感等于象電荷的電量等于象電荷的電量q。sqsde感01sqsde01e根據(jù)上述例子，作如下幾點(diǎn)討論：根據(jù)上述例子，作如下幾點(diǎn)討論： a) 導(dǎo)體球既不接地又不帶電導(dǎo)體球既不接地又不帶電 這種情況與這種情況與本例本例的差別僅在于邊界條件，這里的差別僅在于邊界條件，這里導(dǎo)體球不帶電，即要求滿(mǎn)足電中性條件導(dǎo)體球不帶電，即要求滿(mǎn)足電中性條件顯然，例顯然，例3的解不滿(mǎn)足電

19、中性的條件，如果在球內(nèi)再的解不滿(mǎn)足電中性的條件，如果在球內(nèi)再添置一個(gè)象電荷添置一個(gè)象電荷 ，則滿(mǎn)足電中性條，則滿(mǎn)足電中性條)( 0未知常數(shù)rrsdsn00qarq0 件，為了不破壞導(dǎo)體是等位體的條件，由對(duì)稱(chēng)性知道，件，為了不破壞導(dǎo)體是等位體的條件，由對(duì)稱(chēng)性知道，q必須放在球心處，于是必須放在球心處，于是再由再由)( )cos2()cos2rrararrarrarrarq外00rrrr外內(nèi)得到 b)導(dǎo)體球不帶電其電勢(shì)為導(dǎo)體球不帶電其電勢(shì)為u0 這種情況與例例3的差別仍然在邊界條件，這里u0 是已知常數(shù)，導(dǎo)體球的電勢(shì)為u0，相當(dāng)于在球心處放置了電量為 的點(diǎn)電

20、荷，顯然，其解為aqrq00044 內(nèi)00urr內(nèi)0004ru由得到c)若點(diǎn)電荷若點(diǎn)電荷q在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心a處處 這時(shí)與例例3的情況相比，僅是源電荷的位置由球qrruarrarrarrarq000212024020212204)cos2()cos2(14外00rrrr外內(nèi)0u內(nèi)外搬進(jìn)到球內(nèi)。此時(shí)，接地球殼外無(wú)場(chǎng)強(qiáng)，場(chǎng)的區(qū)域外搬進(jìn)到球內(nèi)。此時(shí)，接地球殼外無(wú)場(chǎng)強(qiáng)，場(chǎng)的區(qū)域在球內(nèi)。故可根據(jù)光路可逆性原理來(lái)解釋?zhuān)呵騼?nèi)的電在球內(nèi)。故可根據(jù)光路可逆性原理來(lái)解釋?zhuān)呵騼?nèi)的電勢(shì)等于源電荷勢(shì)等于源電荷q和球面上的感應(yīng)電荷（球殼內(nèi)表面）和球面上的感應(yīng)電荷（球殼內(nèi)表面）象電荷象電荷q（在球外（在球

21、外 處）產(chǎn)生的電勢(shì)：處）產(chǎn)生的電勢(shì)：這里要注意：這里要注意：象電荷的電量象電荷的電量q大于源電荷的電量大于源電荷的電量q，球殼內(nèi)的電勢(shì)與導(dǎo)體球殼是否接地、是否帶電無(wú)關(guān)。球殼內(nèi)的電勢(shì)與導(dǎo)體球殼是否接地、是否帶電無(wú)關(guān)。 ar2021202402021220)cos2()cos2(14arrarrarraarq內(nèi) d) 若導(dǎo)體球帶電若導(dǎo)體球帶電q但不接地但不接地 這種情況的物理模型為：這種情況的物理模型為：則球心有電荷（則球心有電荷（q- - q) ，則，則p點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)的電勢(shì)為rob qaqxrrpq-q由 得到rqarqarrarrqarraarq021202402021220)cos2()co

22、s2(41外00rrrr外內(nèi)0000044rqarqrqq內(nèi)順便計(jì)算導(dǎo)體對(duì)點(diǎn)電荷順便計(jì)算導(dǎo)體對(duì)點(diǎn)電荷q的作用力：的作用力： 此時(shí)，源電荷此時(shí)，源電荷q所受到的作用力來(lái)自球面上的電所受到的作用力來(lái)自球面上的電荷，即荷，即從而得到arxarernneeqf外外而 xearaarqaqarqqf22002200)()()(41當(dāng)當(dāng)ar0 ， ，即近似為兩點(diǎn)電荷作，即近似為兩點(diǎn)電荷作用，作用力為排斥力；用，作用力為排斥力；當(dāng)當(dāng)q靠近球面時(shí)，靠近球面時(shí)， ，此時(shí)不論，此時(shí)不論q與與q是否同號(hào)，是否同號(hào)，作用力永遠(yuǎn)為引力，這可由在作用力永遠(yuǎn)為引力，這可由在q附近的感應(yīng)電荷與其附近的感應(yīng)電荷與其反號(hào)來(lái)解釋。

23、反號(hào)來(lái)解釋。xeraaraqrqaq22022023020)()2(41xeaqqf20410ra就是就是q與與q及位于球心處的等效電荷及位于球心處的等效電荷q+q的作用力之和。的作用力之和。4. 均勻場(chǎng)中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢(shì)均勻場(chǎng)中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢(shì) 由于靜電屏蔽，由于靜電屏蔽，場(chǎng)區(qū)域只能在球外。場(chǎng)區(qū)域只能在球外。solution: 本題的物理圖象是在原有的均勻電場(chǎng)本題的物理圖象是在原有的均勻電場(chǎng) 中放置中放置一中性導(dǎo)體球。此時(shí)導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷也要在空間一中性導(dǎo)體球。此時(shí)導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷也要在空間激發(fā)場(chǎng)，故使原來(lái)的場(chǎng)空間電場(chǎng)發(fā)生了變化，如圖所激發(fā)場(chǎng)，故使原來(lái)的場(chǎng)空間電場(chǎng)發(fā)生了變化，如圖

24、所示。由此可見(jiàn)，球外空間任一點(diǎn)的場(chǎng)將是一個(gè)均勻場(chǎng)示。由此可見(jiàn)，球外空間任一點(diǎn)的場(chǎng)將是一個(gè)均勻場(chǎng)和一個(gè)球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場(chǎng)的迭加。和一個(gè)球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場(chǎng)的迭加。 0er0-+0e 第一步：第一步：用兩個(gè)點(diǎn)電荷用兩個(gè)點(diǎn)電荷q激發(fā)一均勻場(chǎng)激發(fā)一均勻場(chǎng) 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q放在對(duì)稱(chēng)軸放在對(duì)稱(chēng)軸z= a處，處，a很大，很大，q也很也很大，在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的區(qū)域內(nèi)。大，在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的區(qū)域內(nèi)。 第二步：第二步： 將一中性導(dǎo)體球放在均勻場(chǎng)中將一中性導(dǎo)體球放在均勻場(chǎng)中0e+q-qz0eaaoee0200241aqe這樣一來(lái)，這樣一來(lái)，q相當(dāng)于兩個(gè)場(chǎng)源電荷，球面上將出現(xiàn)感相當(dāng)于兩個(gè)場(chǎng)源電荷，球面上將

25、出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由象電荷來(lái)代替它，即應(yīng)電荷，由象電荷來(lái)代替它，即 此時(shí)此時(shí)+q在球面上感應(yīng)的電量為在球面上感應(yīng)的電量為 ，-q在球面上在球面上感應(yīng)電量為感應(yīng)電量為 ，這仍然保持導(dǎo)體球?yàn)殡娭行裕ú还?，這仍然保持導(dǎo)體球?yàn)殡娭行裕ú还軐?dǎo)體球接地與否）。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的導(dǎo)體球接地與否）。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的 +q-qzaar0bboqar0qar0)(0qar)(0qar電勢(shì)就是這四個(gè)點(diǎn)電荷分別在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加，電勢(shì)就是這四個(gè)點(diǎn)電荷分別在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加，即即因?yàn)橐驗(yàn)閍r， 則選則選 略去略去 和和212024020212024020212221220)cos2()cos2()

26、cos2()cos2(41arrarrqararrarrqarraarqraarq外22ar2240barr224022rarrb即即又因?yàn)橛忠驗(yàn)?皆為小量，應(yīng)用展開(kāi)式皆為小量，應(yīng)用展開(kāi)式212002120021210)cos21 ()cos21 ()cos21 ()cos21 (14arrarrarrarraraqaraq外arrrarar2020和)( 211)1 (21為小量xxx則有則有coscoscos2414cos2cos2cos24)cos1 ()cos1 ()cos1 ()cos1 (402300223000230020020000errreraqrarqarraraqrarr

27、rrararararaq外 第一項(xiàng)恰好等于原均勻場(chǎng)以第一項(xiàng)恰好等于原均勻場(chǎng)以o點(diǎn)為參考點(diǎn)電勢(shì)。第二點(diǎn)為參考點(diǎn)電勢(shì)。第二項(xiàng)恰好等于位于項(xiàng)恰好等于位于o點(diǎn)的電偶極矩為點(diǎn)的電偶極矩為 的電偶極子的電勢(shì)。的電偶極子的電勢(shì)。zerep03004)( 40300電偶極場(chǎng)即原場(chǎng)外errpzep外200241aqezzeaqrearqarp23020022原點(diǎn)附近像電荷代替感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電偶極矩原點(diǎn)附近像電荷代替感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電偶極矩5.半徑為半徑為r0, ,電容率為電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)e0中中，求電勢(shì)分布。求電勢(shì)分布。解：解：設(shè)設(shè)均勻電場(chǎng)均勻電場(chǎng)e0方向?yàn)榉较驗(yàn)閦軸正方向

28、，則軸正方向，則e0可看成是由可看成是由z軸上兩軸上兩個(gè)等量異號(hào)電荷激發(fā)個(gè)等量異號(hào)電荷激發(fā)，一是位于，一是位于z z=-=-處的正電荷處的正電荷q q，一是，一是位于位于z z=+=+處的負(fù)電荷處的負(fù)電荷- -q q。這一對(duì)正負(fù)電荷的鏡像電荷正好。這一對(duì)正負(fù)電荷的鏡像電荷正好組成一個(gè)電偶極子位于坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，求球外空間的電組成一個(gè)電偶極子位于坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，求球外空間的電勢(shì)勢(shì)1時(shí)，可用原點(diǎn)處的電時(shí)，可用原點(diǎn)處的電偶極子偶極子p代替極化電荷的作用。代替極化電荷的作用。300141rrprecos4cos200rpre(1)求球內(nèi)空間的電勢(shì)求球內(nèi)空間的電勢(shì)2時(shí)，可以認(rèn)為介質(zhì)時(shí)，可以認(rèn)為介質(zhì)充滿(mǎn)整個(gè)空間，充滿(mǎn)整個(gè)空間，極化電荷的作用用極化電荷的作用用z z= =處的點(diǎn)電荷處的點(diǎn)電荷q代替。這一對(duì)代替。這一對(duì)等量異號(hào)電荷與激發(fā)等量異號(hào)電荷與激發(fā)e0的點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷q處于同一位置，設(shè)處于