(完整版)初一數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講義

1、初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義第一講 和絕對值有關(guān)的問題、 知 識結(jié)構(gòu)框圖：、 絕 對值的意義：(1) 幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a 的點到原點的距離叫做數(shù) a 的絕對值，記作 |a|(2) 代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)； 零的絕對值是零。a 當(dāng) a為正數(shù)也可以寫成： |a| 0 當(dāng) a為0a 當(dāng) a為負(fù)數(shù)說明：() |a| 0 即 |a| 是一個非負(fù)數(shù)；) |a| 概念中蘊(yùn)含分類討論思想。三、 典 型例題例 1(數(shù)形結(jié)合思想)已知 a、b、c 在數(shù)軸上位置如圖： 則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( AA -3

2、aB 2c aC2a2b解： | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a例 2 已知： x 0分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號 時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例 題運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由 a、 b、 c 在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而 去掉絕對值符號，完成化簡。z ， xy 0 ，且 y z x ， 那么 x z y z x y的值（ C ）A 是正數(shù)B 是負(fù)數(shù)C是零D不能確定符號解：由題意

3、，x、 y、z 在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以xzx z (y z) (x y)0分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助 數(shù)軸直觀、輕松的找到了 x、 y、z 三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒 有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例 3 （分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3 倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息， “數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符 號相反，即一正一負(fù)。那

4、么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。 解：設(shè)甲數(shù)為 x，乙數(shù)為 y由題意得： x 3 y ，（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若 x 在原點左側(cè)， y 在原點右側(cè)，即 x0 ，則 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6若 x 在原點右側(cè)， y 在原點左側(cè)，即 x0 ， y0 ，則 -4y=8 ，所以 y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)：若 x、y 在原點左側(cè)，即 x0 ， y0 ， y0 ，則 2y=8 ，所以 y=4,x=12例 4 （整體的思想）方程 x 2008 2008 x 的解的個數(shù)是（ D ）A1 個 B2個C3 個D無窮多個

5、分析：這道題我們用整體的思想解決。將 x-2008 看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程 a a 的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù) 都是方程的解，即本題的答案為 D。例 5（非負(fù)性）已知 |ab2|與 |a 1|互為相互數(shù)，試求下式的值11ab a 1 b 1 a 2 b 2a 2007 b 2007圖1圖2圖3111L是aba1b1a2Lb211112233420082009111111122334200820091a 2007 b 200711200920082009在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果同

6、學(xué)們可以再深入思考，12008 2010如果題目變成求 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例 6（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離4與 2，3與 5， 2與 6， 4與 3.并回答下列各題：（ 1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答： 相等 .（2）若數(shù)軸上的點 A 表示的數(shù)為 x，點 B 表示的數(shù)為 1，則 A 與 B 兩點間的距離 可以表示為 x （ 1） x 1 分析：點 B表示的數(shù)為 1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點B 所在的位置。那么點 A 呢？因為 x 可以表示任意有理數(shù)，所以點 A 可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出 A

7、與 B 兩點間的距離呢？結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。當(dāng) x-1 時，距離為 -x-1,當(dāng) -1x0，距離為 x+1綜上，我們得到 A 與 B 兩點間的距離可以表示為x 13）結(jié)合數(shù)軸求得 x 2 x 3 的最小值為 5 ，取得最小值時 x 的取值范圍為 -3x_2.分析： x 2 即 x 與 2 的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上 x 與 2 之間的距離。x 3 x （ 3） 即 x 與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x 與-3之間的距離。如圖， x 在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖 2 符合題意（4） 滿足 x 1 x 4 3的 x 的取值范圍為 x-1分析： 同理 x 1 表示

8、數(shù)軸上 x 與-1 之間的距離， x 4 表示數(shù)軸上 x 與 -4 之間的距離。本題 即求，當(dāng) x 是什么數(shù)時 x 與-1 之間的距離加上 x 與-4 之間的距離會大于 3。借助數(shù)軸，我們 可以得到正確答案： x-1 。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離 問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。 這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便。 事實上， A B 表 示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù) A 與數(shù) B 的點之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利 用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（ 3）、（ 4）這兩道難題。四、小結(jié)1理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意

9、義以及絕對值的非負(fù)性 2體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1 “代數(shù)式”是用運算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次 根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點掌握的內(nèi)容之一。2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。 注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下基 礎(chǔ)。二、典型例題例 1若多項式 2mx2 x2 5x 8 7x2 3y 5x 的值與 x 無關(guān)，求 m2 2m2 5m 4 m 的值 .分析

10、：多項式的值與 x 無關(guān)，即含 x 的項系數(shù)均為零因為 2mx2 x2 5x 8 7x2 3y 5x 2m 8 x2 3y 8所以 m=4將 m=4 代人， m2 2m2 5m 4 mm2 4m 4 16 16 4 46 的值。利用“整體思想”求代數(shù)式的值例 2x=-2 時，代數(shù)式 ax5 bx3 cx 6 的值為 8，求當(dāng) x=2 時，代數(shù)式 ax5 bx3 cx 分析： 因為 ax5 bx 3 cx 6 8當(dāng) x=-2 時，25 a 23b2c68得到 25 a 23b2c68，所以 25 a23 b 2c8614當(dāng) x=2 時，53 ax bxcx6=25a323b 2c 6 (14)6

11、2022例 3當(dāng)代數(shù)式 x2 3x 5的值為 7 時,求代數(shù)式 3x2 9x 2的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由 x2 3x 5 7 得 x2 3x 2 ，利用方程同解原理，得 3x 2 9x 6整體代人， 3x2 9x 2 4 代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體 代人的方法就是其中之一。例 4 已知 a2 a 1 0，求 a3 2a2 2007的值. 分析：解法一（整體代人） ：由 a 2 a 1 0 得 a3 a 2 a 0所以： a3 2a2 2007 a3 a2 a2 20072 a a2 20071 2007 2008解法二(降次

12、) ：方程作為刻畫現(xiàn)實世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。22由 a2 a 1 0，得 a2 1 a ， 所以： a3 2a 2 200722 a 2a 2a2 2007(1 a)a 2a2 2007 a a2 2a2 20072 a a2 20071 20072008解法三（降次、消元）a 2 a 1（消元、減項）32a3 2a2 2007 a3 a2 a2 2007 22a(a2 a) a2 20072a a2 20071 20072008例 5 (實際應(yīng)用) A 和 B 兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資 待遇有如下差異： A 公司，年薪一萬元，每年加

13、工齡工資 200 元； B 公司，半年薪五千元，每半年 加工齡工資 50 元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？ 分析：分別列出第一年、第二年、第 n 年的實際收入(元)第一年： A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050 第二年： A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250第 n 年： A 公司 10000+200(n-1 )；B 公司： 5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1) 由上可以看出 B 公司的年收入永遠(yuǎn)比 A 公司多 50 元，如不細(xì)心考察很可能選錯。例 6 三個數(shù) a、b、c 的積為

14、負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且ababc ab ac bc c ab ac bc32則 ax 3 bx2 cx 1 的值是 解：因為 abc0，所以 a、 b、 c 中只有一個是負(fù)數(shù)。不妨設(shè) a0， c0則 ab0， ac0所以 x=-1+1+1-1-1+1=0 將 x=0 代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為 1。同理，當(dāng) b0， c0 時，即 x 2 ，55x-2=3 ， 5x=5 ， x=12因為 x=1 符合大前提 x ，所以此時方程的解是 x=152當(dāng) 5x-2=0 時，即 x= ，52當(dāng) 5x-20 時，即 x ，得到矛盾等式 0=3 ，所以此時方程無解5x-2= -3 ，x= 15因為 x=121

15、符合大前提 x0 時，即 x1， x-1=-2x+1 ， 3x=2， x=32因為 x= 2 不符合大前提 x1 ，所以此時方程無解3當(dāng) x-1=0 時，即 x=1 ， 0=-2+1， 0 =-1，此時方程無解當(dāng) x-10 時，即 x1 ，1-x=-2x+1 ， x=0因為 x=0 符合大前提 x 2，則 2的余角是（ C ）A. 1（12） B. 11 C. 1 （ 1 2） D. 122 2 2 2 分析：因為 1 2=180，所以 1 （ 1 2） =90290-2= 1 （ 1 2） -2= 1 （12）22第六講：相交線與平行線、知識框架典型例題1. 下列說法正確的有 ( B )對頂

16、角相等 ; 相等的角是對頂角 ; 若兩個角不相等 , 則這兩個角一定不是對頂角若兩個角不是對頂角 , 則這兩個角不相等 .A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個2. 如圖所示 , 下列說法不正確的是 ( D )A. 點 B到 AC的垂線段是線段 AB; B. 點 C到 AB的垂線段是線段 ACDC. 線段 AD是點 D 到 BC的垂線段 ; D. 線段 BD是點 B到 AD的垂線段3. 下列說法正確的有 ( C )在平面內(nèi) , 過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi) , 過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi) , 過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi)

17、, 有且只有一條直線垂直于已知直線A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個4一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是( A )第二次向左拐130A. 第一次向左拐 30第二次向右拐 30 B. 第一次向右拐50C. 第一次向右拐 50第二次向右拐 130 D. 第一次向左拐50第二次向左拐1305如圖，若 ACBC于 C，CDAB于 D，則下列結(jié)論必定成立 的是(A. CDAD B.ACBD D. CD34 3 1 l 310. 如圖所示 ,L 1,L 2,L 3交于點 O,1=2,3:1=8:1, 求4的度數(shù).（ 方程思想 ）答案： 36 11 如

18、圖所示 ,已知 ABCD,分別探索下列四個圖形中 P與A,C的關(guān)系 ,?請你從所得的四個關(guān)系中任選一個加以說明2)3)4)1)APE+A+ C=360 P=A+ C P= C-A, P= A-C12如圖，若 AB/EF ， C= 90分析：如圖，添加輔助線證出： x+y-z=90 BDx+y-z 度數(shù)。，求DCPD13已知：如圖，BAP APD 180 ， 1求證： E F分析：法一法二：由 AB/CD 證明 PAB= APC ，所以 EAP= APF所以 AE/FP所以 E F第七講：平面直角坐標(biāo)系一、知識要點：1、特殊位置的點的特征(1) 各個象限的點的橫、縱坐標(biāo)符號( 2)坐標(biāo)軸上的點的

19、坐標(biāo)： x 軸上的點的坐標(biāo)為 (x,0) ,即縱坐標(biāo)為 0; y 軸上的點的坐標(biāo)為 (0, y) ，即橫坐標(biāo)為 0;2、具有特殊位置的點的坐標(biāo)特征設(shè) P1(x1,y1)、 P2(x2,y2)P1、 P2 兩點關(guān)于 x 軸對稱x1 x2 ，且 y1y2;P1、 P2兩點關(guān)于 y軸對稱x1x2 ，且 y1 y2 ;P1、 P2兩點關(guān)于原點軸對稱x1x2 ，且 y1y2 。3、距離(1)點 A (x, y)到軸的距離：點 A 到 x軸的距離為 |y|；點 A 到 y軸的距離為 |x|；2）同一坐標(biāo)軸上兩點之間的距離：A(xA,0) 、B(xB,0) ，則 AB |xA xB |；A(0, yA)、B

20、(0,yB)，則 AB | yA yB |；典型例題1、已知點 M 的坐標(biāo)為（ x ，y），如果 xyc,b+ca,c+ab （兩點之間線段最短） 由上式可變形得到： ac b， ba c， cb a 即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2 高 由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 中線： 連接三角形的頂點和它對邊的中點的線段，稱為三角形的中線 4 角平分線 三角形一個內(nèi)角的角平分線與這個角對邊的交點和這個角的頂點之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1已知三角形三邊分別為 2,a-1,4, 那么 a 的取值范圍是 （ ）8m 和 5

21、m 的木棒。如果要求第三根木棒的長度是A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a6 2小穎要制作一個三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為 整數(shù)小穎有幾種選法？可以是多少？ 分析：設(shè)第三根木棒的長度為 x，則 3x （ AB+AC ）2分析：因為 BD+ADAB 、 CD+ADAC 所以 BD+AD+ CD+AD AB+AC因為 AD 是 BC 邊上的中線， BD=CD所以 AD+BD 1 （ AB+AC ）2（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（ 1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線？（2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4如圖，在直角三角形 ABC 中，ACAB，AD 是斜邊上的高， DEAC，DFAB ，A5 分析：B4C3D 2垂足分別為 E、F，則圖中與 C（C 除外）相等的角的個數(shù)是（， CE 平分 ACB ， CD AB 于 D，5如圖， ABC 中， A = 40， B = 72 DF CE，求 CDF 的度數(shù)。分析： CED=40 +34=74所以 CDF=74 6一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進(jìn)四種不同的種子進(jìn)行對比試驗，需要將這塊地分成面積相AC等的四塊，請你設(shè)計出四種劃分方案供選擇，畫圖說明。7 ABC 中， A