導(dǎo)數(shù)中含全參數(shù)單調(diào)性及取值范圍

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義解題仍將是高考出題的基本出發(fā)點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖象仍將是高考的主題；利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題將仍舊是高考的熱點(diǎn);將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、解析幾何、不等式、數(shù)列等知識結(jié)合在一起的綜合應(yīng)用，仍將是高考 壓軸題含參數(shù)函數(shù)求單調(diào)性(求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:(1)確定函數(shù)定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)令導(dǎo)數(shù)大于0,解得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0,解得減區(qū)間)2例1(2012西2 )已知函數(shù)f (x)2ax a 12 ，其中ax 1文檔(I)當(dāng)a 1時(shí)，求曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程;(U)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(i解:當(dāng) a 1 時(shí)，f (x

2、)2xx2 1(x)(x 1)(x 1)2 2(x 1)由 f (0)解：f (x)2(x a)(ax x211).4分2x所以f (x)在(0,)單調(diào)遞增，在(,0)單調(diào)遞減.當(dāng)a0時(shí)，f (x)2x 1(xa)(x 丄)當(dāng) a 0，f(x)2aa2上x 1得曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程是2xy03分1當(dāng)a 0時(shí)，令f (x)0，得 X1 a，x2，f (x)與f (x)的情況如下:ax(，X1)x(xz)X2(X2,)f (x)00f(x)f (X1)/f(X2)故f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(,a)，(,)；單調(diào)增區(qū)間是(a,).7分aa當(dāng)a 0時(shí)，f (x)與f (x)的情況如下：x(,

3、X2)X2(X2,X1)X1(X1,)f (x)00f(x)/f (X2)f(x)/所以f (x) 的單調(diào)增區(qū)間是丄)；單調(diào)減區(qū)間是(丄,a)，( a,aa(m)解：由(n)得，a0時(shí)不合題意.10分當(dāng)a 0時(shí)，由(:n )得，1 1f (x)在(0,)單調(diào)遞增，在a(a，)單調(diào)遞減，所以 f(x)在(0,) 上存在最大值f() a20 a設(shè)x0為f (x) 的零點(diǎn)，易知x1a22a，且x01.從而xax0時(shí)，f (x)0 ； x x0 時(shí)，f (x)0.若 f (x)在0,) 上存在最小值，必有f(0)0，解得所以a0時(shí)，若f(x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范圍是(0,1-12分

4、)單調(diào)遞增，所以 f (x)在(0,) 上存在最小值所以a0時(shí)，若f (x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范圍是(綜上,a的取值范圍是1U(0,1 14分設(shè)函數(shù) f(x)=ax (a+1)ln( x+1)，其中 a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間【解析】由已知得函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?1,)，且 f(x) J(ax 11),0 時(shí)，由()得，f(x)在(0, a) 單調(diào)遞減，在(a,f( a)若f(x)在0,)上存在最大值，必有f (0)0，解得a 1，或a上單調(diào)遞減,(2)當(dāng)a 0時(shí)，由f(x)0,解得x當(dāng)1 a 0時(shí)，f (x)0,函數(shù)f (x)在(1X(1丄) aJae1,)af(x

5、)0+f(x)極小值Z1 af (x)、 f (x)隨x的變化情況如下表從上表可知當(dāng)x ( 1,1)時(shí)，f(x)0函數(shù)f (X)在(1 1)上單調(diào)遞減.aa當(dāng)1當(dāng) x(,)時(shí),f(x)0,函數(shù)f(X)在1(一， a)上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)1 a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞減.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f (x)在(11)上單調(diào)遞減，函數(shù)f ( x)在(1)上單調(diào)遞aa增.3已知函數(shù)f(x) X3 的最小值為 f (a) 3a 1 ；當(dāng) a 2 時(shí)，y f (x)在1,2 上的最小值為旦1,其中a 0.X(I) 若曲線y f(x)在(1,f(1)處的切線與直線y 1平行，求a的值；(II) 求函數(shù)f

6、 (x)在區(qū)間1,2上的最小值.333、解：f (x) 2x 篤 2(X 2 a ，x 0.2分Xx3(I)由題意可得 f (1)2(1 a )0 ，解得a 1，3分此時(shí) f(1) 4，在點(diǎn) (1,f(1) 處的切線為 y 4 ，與直線y 1平行故所求a值為1.4分(|)由 f (x)0 可得 x a，a 0，5分當(dāng) 0 a 1 時(shí)，f (x)0 在(1,2 上恒成立， 所以y f (x)在1,2 上遞增，.6分3 所以 f(x)在1,2 上的最小值為7分當(dāng)1 a 2時(shí)，X(1,a)a(a,2)f (X)0+f(x)極小10分2由上表可得y f(x)在1,2上的最小值為f (a) 3a 1 1

7、1分當(dāng)a 2時(shí)， f (x)0 在1,2) 上恒成立,所以y f(x)在1,2 上遞減12分3 所以 f(x)在1,2 上的最小值為13分當(dāng) 1 a 2 時(shí)，y f (x)在1,2上3綜上討論，可知：當(dāng)0a 1時(shí)，y f (x)在1,2 上的最小值為練習(xí)1已知函數(shù)f(x),121/廠口al nxx (a R 且 a2 20) . (2012 海淀一模)(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(n)是否存在實(shí)數(shù)a ,使得對任意的x 1,，都有f (x)0 ?若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由 2 (2012順義2文)(本小題共14分)2已知函數(shù) f (x) (a 1)x 2ln x, g(x)

8、2ax ,其中 a 1(I)求曲線y f (x)在(1,f (1)處的切線方程(n)設(shè)函數(shù)h(x) f (x) g(x)，求h(x)的單調(diào)區(qū)間3 (2012朝1) 18.(本題滿分14分)2x已知函數(shù)f (x) ax 1 e ,a R .(I)若函數(shù)f (x)在x 1時(shí)取得極值，求a的值;(n)當(dāng)a 0時(shí)，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間二參數(shù)范圍有單調(diào)性時(shí)分離常數(shù)法例(東2 )已知函數(shù)f(X) 2x aex.2(I)若a 1，求f (x)在x 1處的切線方程;(n)若f (x)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍1 2X3解：。由 a 1， f (x)x 2x e , f (1)e,1 分2 2x

9、所以 f (x) x 2 e -3 分又 f (1)1e，所以所求切線方程為y3( e) (1 e)(x 1)即2(1 e)x 2y 10.5分(n)由已知f (x)!x2 2x aex，得 f (x)x 2 aex.2所以 f (x)0 恒成立，即不等式Xx 2 ae 0恒成立x 2整理得ax-ex令 g(x)x 2 , g (x)ii分因?yàn)楹瘮?shù) f(X) 在R上是增函數(shù),x, g (x),g(x)的變化情況如下表：x(,3)3(3,)g (x)0+3由此得a g(3) = e ，即a的取值范g(x)極小值z圍是3 e13分練習(xí)1 (2012懷柔2 )設(shè)a R ,(I)若x 2是函數(shù)y f

10、(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的值；(n)若函數(shù)g(x) exf (x)在0,2上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 2).0，即 6(2 af(x) 的極值點(diǎn).分2f (x) 3ax 6x 3x(ax y f(x) 的極值點(diǎn)，所以 fa 1 時(shí)， x 2 是函數(shù)y解：(I)因?yàn)?x2 是函數(shù)所以 a1 .經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)即 a1.()由題設(shè)，所以，x63x22這等價(jià)于，不等式令 h(x)函數(shù) f (x) ax3 3x2.2) 0，3ax26x) .又 ex6x 0,g(x) ex(ax33 2 2(0,2，ax 3x 3ax 3x2 6xa 2x 3x3x 6 (xx 3x3(x2 4x3x 62對

11、x 3x(0,2)，6)(x23x)2在區(qū)間 (0,2 上是減函數(shù)，6 的最小值為h(2).56 6所以a.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(.55則 h (x)所以h( x)所以h( x)x (0, 2 恒成立-23(x 2)2(x23x)210分121322 (2012石景山1 )已知函數(shù)f (x) x 2alnx .(I)若函數(shù)(n)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(川)若函數(shù)g(x) - f (x)在1,2上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.x分類討論求參數(shù)例2 ( 2012昌平1 )已知函數(shù) f(X)In1x ax ( a為實(shí)數(shù))x(I)當(dāng)a 0時(shí),求f (x)的最小值;(II )若f (x)在2,)

12、上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍f(x)的圖象在(2, f(2)處的切線斜率為 1求實(shí)數(shù)a的值;解：(i)由題意可知：x 0x 1當(dāng) a 0時(shí) f (x)2x當(dāng) 0 x 1 時(shí)，f (x)1時(shí)，f(x) 0.4分故 f ( x) minf(1) 1(n)由 f(X)2 ax由題意可知a0時(shí)，f(x)弓在2,x)時(shí),f (x)0符合要求 .7分當(dāng)a 0時(shí)，令g(x)2 ax故此時(shí) f(x) 在 2,) 上只能是單調(diào)遞減f (2) 00解得a4a 2 1即40時(shí),f(x)在2,)上只能是單調(diào)遞增4a 2 1即0,得a4ii分綜上a1，1 ， 13分根據(jù)性質(zhì)求范圍(零點(diǎn)例(2012昌平2)已知函數(shù)f(X

13、)4ln x ax2 6x b ( a， b 為常數(shù))，且x 2為f (x)的一個(gè)極值點(diǎn).(I)求a的值；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(川)若函數(shù)y f (x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) b的取值范圍.解：(I )函數(shù)f (X)的定義域?yàn)?0 , + 8) 1 分：f (X)=2axX62分“ f (2)2 4a 60，則a=1 .4分(n)由(I)知f(x)4lnX2 X6xb f 4(x)=-X2x62x26x 42(x2)(x 1)6分XX由 f (x) 0可得x 2或X 1，由f(X) 0可得1 x 0，函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, a 2-3)上存在極值，求 a的取值范圍;(川

14、)若a2，求證：函數(shù)y= f(x)在(0 , 2)上恰有一個(gè)零點(diǎn).(單調(diào)性)已知函數(shù)f (x)13223x mx 3mx 1(m 0).(i)若m 1，求曲線yf (x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線方程;m的取值范圍.解：(i)當(dāng) m1 時(shí)，f(x)1 3x2 x3x1,f(2)84 6 1 5333f(x)x2 2x3，f(2)443 5-3分所以所求切線方程為5y 35(x2)即 15x3y250.5分(n) f(x)x22mx3m2(n)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2m 1,m 1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)令 f (x) 0，得 x3m或x m. 7分x(,3m)3m(3m, m)m(m,)f(x

15、)+00+f(x)單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增由于 m 0，f (x)， f (x) 的變化情況如下表:的單調(diào)遞增區(qū)間是(3m)和(m,).9分所以函數(shù)f(x)要使 f(x) 在區(qū)間 (2 m 1,m1)上單調(diào)遞增,應(yīng)有m 1三3m或2m 1 m解得m三或m a 1.4又 m 0 且 m 1 2m 1,所以1i 90 ,解得xB3,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB滿足方程xB2分所1S 2(|CD| |AB|)yc1(2x 223)(由點(diǎn)C在第一象限，得0x3 所以S關(guān)于x的函數(shù)式為S(x3)(x2 9),00 x3,(H) 解:由x k3 k，及ok1，得0x記 f (x)(x 3)(2 x9),0 x 3k，則 f (x)3x2 6x93(x1)(x3)(I)解：依題意，點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的