2214二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)

1、22.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)第2課時二次函數(shù)解析式有哪幾種表達方式？二次函數(shù)解析式有哪幾種表達方式？ 一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 頂點式：頂點式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k如何求二次函數(shù)的解析式？如何求二次函數(shù)的解析式？已知二次函數(shù)圖象上兩個點的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法已知二次函數(shù)圖象上兩個點的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求其解析式求其解析式 交點式：交點式：y=a(x-xy=a(x-x1 1) )(x-x(x-x2 2) )1.1.會用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式會用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式. .2.2.會求簡單的實際

2、問題中的二次函數(shù)解析式會求簡單的實際問題中的二次函數(shù)解析式. .解析：解析： 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，由條件得：由條件得：a-a-b+cb+c=10=10，a+b+ca+b+c=4=4，4a+2b+c=74a+2b+c=7，解方程組得：解方程組得：因此，所求二次函數(shù)的解析式是：因此，所求二次函數(shù)的解析式是：a=2, b=-3, c=5.a=2, b=-3, c=5.y=2xy=2x2 2-3x+5.-3x+5.【例例1 1】已知一個二次函數(shù)的圖象過（已知一個二次函數(shù)的圖象過（1 1，1010），（），（1 1，4 4），（），（2 2，7

3、 7）三點，求這個函數(shù)的解析式）三點，求這個函數(shù)的解析式. .【例題例題】【例例2 2】已知拋物線的頂點為已知拋物線的頂點為(-1(-1，-3),-3),與與y y軸交點為軸交點為(0(0，-5),-5),求拋物線的解析式求拋物線的解析式. .yox解析：解析： 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=y=a(xa(x1)1)2 2-3-3由點由點( 0,-5 )( 0,-5 )在拋物線上得：在拋物線上得：a-3=-5, a-3=-5, 得得a=-2a=-2，故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為y=y=2(x2(x1)1)2 2-3.-3.-1-1-3-3【例題例題】【例例3 3】當(dāng)當(dāng)

4、x=1x=1時，拋物線最高點的縱坐標(biāo)為時，拋物線最高點的縱坐標(biāo)為4 4，且與，且與x x軸兩交點之間的距離為軸兩交點之間的距離為6 6，求此函數(shù)解析式，求此函數(shù)解析式. .【例題例題】解析：方法一：解析：方法一：由題意知，拋物線的頂點為（由題意知，拋物線的頂點為（1,41,4），對），對稱軸為稱軸為x=1x=1，又因為拋物線與，又因為拋物線與x x軸兩交點之間的距離為軸兩交點之間的距離為6 6，所以拋物線與所以拋物線與x x軸的兩交點為（軸的兩交點為（-2,0-2,0）和（）和（4,04,0），），設(shè)函數(shù)解析式為設(shè)函數(shù)解析式為y=y=a(xa(x- -1)1)2 2+4+4，因為當(dāng)，因為當(dāng)x=

5、-2x=-2時，時，y=0y=0，所以，所以0 0=a(=a(-2-2-1)1)2 2+4+4，所以，所以 ，所以函數(shù)解析式為，所以函數(shù)解析式為y=y= (x(x- -1)1)2 2+4+4，即，即49a 4924832.999yxx 【例例3 3】當(dāng)當(dāng)x=1x=1時，拋物線最高點的縱坐標(biāo)為時，拋物線最高點的縱坐標(biāo)為4 4，且與，且與x x軸兩交點之間的距離為軸兩交點之間的距離為6 6，求此函數(shù)解析式，求此函數(shù)解析式. .【例題例題】解析：方法二：解析：方法二：由題意知，拋物線的頂點為（由題意知，拋物線的頂點為（1,41,4），對），對稱軸為稱軸為x=1x=1，又因為拋物線與，又因為拋物線與x

6、 x軸兩交點之間的距離為軸兩交點之間的距離為6 6，所以拋物線與所以拋物線與x x軸的兩交點為（軸的兩交點為（-2,0-2,0）和（）和（4,04,0），），設(shè)函數(shù)解析式為設(shè)函數(shù)解析式為y=ay=a（x+2)(x-4)x+2)(x-4)，因為當(dāng)，因為當(dāng)x=1x=1時，時，y=4y=4，所，所以以4 4= =a(1+2)(1-4)a(1+2)(1-4)，所以，所以 ，所以函數(shù)解析式為，所以函數(shù)解析式為y=y= (x(x+2)(x-4)+2)(x-4)，即，即49a 4924832.999yxx 1.1.求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)的解

7、析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a,a,b, cb, c的值，由已知條件（如二次函數(shù)圖象上三個點的坐標(biāo)）的值，由已知條件（如二次函數(shù)圖象上三個點的坐標(biāo)）列出關(guān)于列出關(guān)于a, b, ca, b, c的方程組，并求出的方程組，并求出a, b, ca, b, c，就可以寫出二，就可以寫出二次函數(shù)的解析式次函數(shù)的解析式. .2.2.當(dāng)給出的點的坐標(biāo)有頂點時，可設(shè)頂點式當(dāng)給出的點的坐標(biāo)有頂點時，可設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,將將h,kh,k換為頂點坐標(biāo)，再將另一點的坐標(biāo)代入即可求出換為頂點坐標(biāo)，再將另一點的坐標(biāo)代入即可求出a a的的值值. .3.3.當(dāng)拋物線與當(dāng)拋物線與x x軸的兩

8、個交點易得到時，可設(shè)交點式軸的兩個交點易得到時，可設(shè)交點式y(tǒng)=y=a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )，再將另一點的坐標(biāo)代入即可求出，再將另一點的坐標(biāo)代入即可求出a a的值的值. .【歸納歸納】（西安（西安中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過物線經(jīng)過a a（-1-1，0 0），），b b（3 3，0 0），），c c（0 0，-1-1）三）三點點. .求該拋物線的解析式求該拋物線的解析式. .【解析解析】設(shè)該拋物線的解析式為設(shè)該拋物線的解析式為y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得 . 1, 039,

9、 0ccbacba.1,32,31cba解之解之 得得所求拋物線的解析式為所求拋物線的解析式為. 132312xxyayxocb【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】我們需要掌握二次函數(shù)解析式的三種求法：我們需要掌握二次函數(shù)解析式的三種求法：（1 1）已知圖象上三點的坐標(biāo)或給定）已知圖象上三點的坐標(biāo)或給定x x與與y y的三對對應(yīng)值，的三對對應(yīng)值，通常選擇一般式通常選擇一般式. .（2 2）已知圖象的頂點坐標(biāo)）已知圖象的頂點坐標(biāo), ,對稱軸和最值對稱軸和最值, ,通常選擇頂通常選擇頂點式點式. . 確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點，確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達方式

10、恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達方式. . （3 3）已知圖象與）已知圖象與x x軸的交點坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo), ,通常選擇交點式通常選擇交點式. .1.1.二次函數(shù)二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過原點，的圖象經(jīng)過原點，則此拋物線的頂點坐標(biāo)是則此拋物線的頂點坐標(biāo)是 . .2224ym xxmm=+-【解析】【解析】把把x=0,y=0 x=0,y=0代入表達式，得代入表達式，得m-4mm-4m2 2=0=0，解得解得m m1 1=0,m=0,m2 2= ,= ,又因為又因為m0m0，所以，所以m= ,m= ,所以所以二次函數(shù)的表達式為二次函數(shù)的表達式為 ，則此拋物線則此拋物線的頂點坐標(biāo)是（的頂點坐標(biāo)是（-4-4，-4-4

11、）. .答案：答案：（-4-4，-4-4）14142124yxx2.2.已知一個二次函數(shù)的頂點是（已知一個二次函數(shù)的頂點是（-1,0-1,0）且過點）且過點（2,182,18），此二次函數(shù)解析式為），此二次函數(shù)解析式為 . .【解析】【解析】設(shè)二次函數(shù)解析式為設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+1)y=a(x+1)2 2, ,因為因為x=2x=2時，時，y=18y=18，所以，所以18=a(18=a(2+1)2+1)2 2, ,解得解得a=2a=2，所以二次，所以二次函數(shù)解析式為函數(shù)解析式為y=2(x+1)y=2(x+1)2 2. .答案：答案：y=2(x+1)y=2(x+1)2 23.3.（湖州（

12、湖州中考）已知拋物線中考）已知拋物線y=y=x x2 2+bx+c+bx+c經(jīng)過點經(jīng)過點a a（3 3，0 0），），b b（1 1，0 0）（1 1）求拋物線的解析式；（）求拋物線的解析式；（2 2）求拋物線的頂點坐標(biāo)）求拋物線的頂點坐標(biāo)【解析解析】（1 1）拋物線拋物線y=y=x x2 2+bx+c+bx+c經(jīng)過點經(jīng)過點a a（3 3，0 0），），b b（1 1，0 0）拋物線的解析式為拋物線的解析式為y=y=（x x3)3)（x+1x+1），），即即y=y=x x2 2+2x+3.+2x+3.（2 2）頂點坐標(biāo)為（頂點坐標(biāo)為（1,41,4）. .4.4.（寧波（寧波 中考）已知拋物線中考）已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與x x軸交于點軸交于點a a（1 1，0 0），），b b（3 3，0 0），且過點），且過點c c（0 0，-3-3）求拋物線的）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)解析式和頂點坐標(biāo). .【解析解析】拋物線與拋物線與x x軸交于點軸交于點a a（1 1，0 0），），b b（3 3，0 0），）， 可設(shè)拋物線解析式為可設(shè)拋物線解析式為y=ay=a（x x1