正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)2 利用正弦線作出利用正弦線作出 的圖象的圖象.20sin， xxyoxy-11-1-1oa作法作法:(1) 等分等分;3232656734233561126(2) 作正弦線作正弦線;(3) 平移平移;61p1m/1p(4) 連線連線. 一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象(幾何法幾何法)1、用幾何法作正弦函數(shù)的圖像、用幾何法作正弦函數(shù)的圖像l1m1q2m (1) 等分等分作法：作法：(2) 作余弦線作余弦線(3) 豎立、平移豎立、平移(4) 連線連線2qyx-1-oxy-1121oa3232656

2、7342335611261p1m/1pyoxy-11-1-1o32326567342335611262、用幾何法作余弦函數(shù)的圖像、用幾何法作余弦函數(shù)的圖像:正正 弦弦 曲曲 線線xy-1-12o46246 由終邊相同的角三角函數(shù)值相同，所以由終邊相同的角三角函數(shù)值相同，所以 ysin x 的圖象在的圖象在 ，-4-4 ，- -2 ， - -2 ，0 ， 0，2 ，2 ，4 ， 與與 ysin x，x 0，2 的圖象相同的圖象相同 ，于是平移得正弦曲線于是平移得正弦曲線 . 因為終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以因為終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=cosx的圖象在的圖象在， 與與y=cos

3、x,x0,2的圖象相同的圖象相同2,4 ,0 ,2,2 , 0,4 ,2余余 弦弦 曲曲 線線2o46246xy-1-1 返回單擊：與與 x 軸的軸的交點(diǎn)交點(diǎn):， )00(， )0(；，) 02(圖象的圖象的最高點(diǎn)最高點(diǎn):圖象的圖象的最低點(diǎn)最低點(diǎn):，) 123( 觀察觀察 y sin x ，x 0，2 圖象的最高點(diǎn)、最低圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和圖象與點(diǎn)和圖象與 x 軸的交點(diǎn)？坐標(biāo)分別是什么？軸的交點(diǎn)？坐標(biāo)分別是什么？2oxy-11-3232656734233561126；， )12(五點(diǎn)五點(diǎn)作圖法作圖法與與x軸的軸的交點(diǎn)交點(diǎn))0 ,0()0 ,()0 ,2(圖象的圖象的最高點(diǎn)最高點(diǎn)圖象的圖象的最

4、低點(diǎn)最低點(diǎn)) 1,(23與與x軸的軸的交點(diǎn)交點(diǎn))0 ,(2) 0 ,(23圖象的圖象的最高點(diǎn)最高點(diǎn))1 ,0() 1 ,2(圖象的圖象的最低點(diǎn)最低點(diǎn)) 1,( (五點(diǎn)作圖法五點(diǎn)作圖法)2oxy-11-13232656734233561126-oxy-11-13232656734233561126) 1 ,2(簡圖作法簡圖作法(1) 列表列表(列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo)列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo))(3) 連線連線(用光滑的曲線順次連結(jié)五個點(diǎn)用光滑的曲線順次連結(jié)五個點(diǎn))(2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(定出五個關(guān)鍵點(diǎn)定出五個關(guān)鍵點(diǎn))1.試畫出正弦函數(shù)在區(qū)間試畫出正弦函數(shù)在區(qū)間 上的圖像上的圖像.0

5、,2 12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xoy112232五個關(guān)鍵點(diǎn)：五個關(guān)鍵點(diǎn)：3(0,0),(,1),( ,0),(, 1),(2 ,0)22利用五個關(guān)鍵點(diǎn)作簡圖的方法稱為利用五個關(guān)鍵點(diǎn)作簡圖的方法稱為“五點(diǎn)法五點(diǎn)法”課課 堂堂 練練 習(xí)習(xí)2.試畫出余弦函數(shù)在區(qū)間試畫出余弦函數(shù)在區(qū)間 上的圖像上的圖像.0,2 12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xoy112232五個關(guān)鍵點(diǎn)：五個關(guān)鍵點(diǎn)：3(0,1),(,0),( , 1),(,0),(2 ,1)22并注意曲線的并注意曲線的“凹凸凹凸”變化變化.課

6、課 堂堂 練練 習(xí)習(xí)列表：列表：列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo)列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo)連線：連線：用光滑的曲線順次連結(jié)五個點(diǎn)用光滑的曲線順次連結(jié)五個點(diǎn)描點(diǎn)：描點(diǎn)：定出五個關(guān)鍵點(diǎn)定出五個關(guān)鍵點(diǎn)五五 點(diǎn)點(diǎn) 作作 圖圖 法法x6yo-12345-2-3-41 定義域定義域(1) 值域值域x r 1, 1 二、二、正弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)的性質(zhì))(22zkkx時，取最小值時，取最小值1；時，取最大值時，取最大值1；)(22zkkx觀察正弦曲線，得出正弦函數(shù)的性質(zhì)：觀察正弦曲線，得出正弦函數(shù)的性質(zhì)：周周 期期 的的 概概 念念一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù) f (x)，如果存在一個非零，如

7、果存在一個非零常數(shù)常數(shù) t ，使得當(dāng)，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時，都取定義域內(nèi)的每一個值時，都有有 f ( xt ) f (x)，那么函數(shù)，那么函數(shù) f (x) 就叫做就叫做周期周期函數(shù)函數(shù)，非零常數(shù)，非零常數(shù) t 叫做這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的周期周期對于一個周期函數(shù)，如果在它的所有周期中對于一個周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做它的它的最小正周期最小正周期 由公式由公式 sin (xk 2 )sin x (k z) 可知：可知： 正弦函數(shù)是一個周期函數(shù)，正弦函數(shù)是一個周期函數(shù)，2 ，4 ， ，2 ，4 ，

8、 ， 2k (k z 且且 k0)都是正弦函數(shù)的周期都是正弦函數(shù)的周期 2 是其最小正周期是其最小正周期 . (2) 正弦函數(shù)的周期性正弦函數(shù)的周期性 (3) 正弦函數(shù)的奇偶性正弦函數(shù)的奇偶性由公式由公式 sin(x)sin x圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱 .正弦函數(shù)是奇函數(shù)正弦函數(shù)是奇函數(shù)xyo-1234-2-31223252722325在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上上, 是增函數(shù)；是增函數(shù)；22， (4) 正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的單調(diào)性xyo-1234-2-31223252722325 xsinx2223 0 -1 0 1 0 -1在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上，是減函數(shù)上，是減函數(shù).232

9、，zkkk,22,22觀察正弦函數(shù)圖象觀察正弦函數(shù)圖象zkkk,223,22 余弦函數(shù)的單調(diào)性余弦函數(shù)的單調(diào)性 y=cosx (x r) x cox2 2 - 0 -1 0 1 0 -1增區(qū)間為增區(qū)間為 其值從其值從-1增至增至1 +2k , 2k ,k z 減區(qū)間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從 1減至減至-12k , 2k + , k zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=sinxy= cosx圖圖 象象rr 1,1 1,1)(22zkkx 時時ymax=1)(22zkkx 時時ymin= 1)(2zkkx 時時ymax=1)(2zkkx 時時ymin= 1)(

10、zkkx )(2zkkx xyo-12 34-21定義域定義域值值 域域最最 值值y= 0 xyo-12 34-21y=sinxy= cosx圖圖 象象周期性周期性奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性 22奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù))(22,22zkkk)(223,22zkkk)(2,2zkkk)(22 ,2zkkk單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間:單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間:單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間:單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間:xyo-12 34-21xyo-12 34-21 例例1.1. 用用“五點(diǎn)法五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)在區(qū)間畫出下列函數(shù)在區(qū)間00，2 2 的圖的圖像。像。 （1)y=2+sin x; (2)y=sin x-11)

11、y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.(3)y=3sin x.y=sin x -1 x0,2y=sin 3x x0,2y=2+sin x x0,2232xy021-1x23例例2.求下列函數(shù)的最大值與最小值，及取到最值求下列函數(shù)的最大值與最小值，及取到最值時的自變量時的自變量 的值的值.x(1)23(sin)22yx(2)2cosyx 解解:(1)max2y當(dāng)當(dāng) 時，時，2,xkkzmin2y 當(dāng)當(dāng) 時，時，2,xkkz(2)視為視為23()2,sin2yuux當(dāng)當(dāng) ，即，即 時，時，1u 2,2xkkzmax174y當(dāng)當(dāng) ，即，即 時，時，1u 2,2xk

12、kzmin74y 例例3. 3. 當(dāng)當(dāng)x0 x0，22時，求不等式時，求不等式 的解集的解集. .1cos2x50,233pppuxy yo22122-1-112y=變式問題變式問題:如果如果xr呢呢?例例4.下列函數(shù)的定義域：下列函數(shù)的定義域： 1 y= 2 y= xsin11xcos2 例例5. 求下列函數(shù)的最值：求下列函數(shù)的最值： 1 y=sin(3x+ )-1 2 y=sin2x-4sinx+5 4例例6. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx函數(shù)在函數(shù)在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 +2k , +2k

13、 ,k z2 2 函數(shù)在函數(shù)在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 +2k , +2k ,k z2 23 (2) y=3sin(2x- )4 224222 kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為83,8 kk所以：所以：解：解：單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為87,83 kk例例 7. 不通過求值，比較下列各對函數(shù)值的大?。翰煌ㄟ^求值，比較下列各對函數(shù)值的大小： (1) sin( ) 和sin( )；1810 (2) sin 和 sin 3243解解 (1) 因為因為，218102且且 y sin x 在在 上是增函數(shù)上是增函數(shù)22， (2) 因為因為，43322所以所以

14、 sin sin 4332且且 y sin x 在在 上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，2，)18sin()10sin(所以所以例8.判斷f(x)=xsin(+x)奇偶性解函數(shù)的定義域解函數(shù)的定義域r關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱xxxxxfsin)sin()()()sin()()(xfxxxf)()(xfxf所以函數(shù)所以函數(shù)y=xsin( +x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)的奇偶性定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)()(xfxf)()(xfxf偶函數(shù)奇函數(shù)1 選擇題選擇題函數(shù)函數(shù)y=4sinx,x -y=4sinx,x - , 的單調(diào)性（的單調(diào)性（ ） a 在在- ，0上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，0， 是減函數(shù)；是減函數(shù)；b 在在-

15、 /2， /2上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在- ， /2上是減函數(shù)；上是減函數(shù)；c 在在0， 上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在- ，0上是減函數(shù)；上是減函數(shù)；d 在在 /2， 及及- ，- /2上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在- /2， /2上上 是減函數(shù)。是減函數(shù)。 函數(shù)函數(shù)y=cos(x+y=cos(x+ /2),x r ( ) a 是奇函數(shù)；是奇函數(shù)； b 是偶函數(shù)；是偶函數(shù)； c 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)； d 有無奇偶性不能確定。有無奇偶性不能確定。ba2 不通過求值，比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小： 260sin_250sin9/14cos_8/15cos530cos_515cos)8/63sin(_)7/54sin(3 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性： （答案：（答案：偶函數(shù)偶函數(shù) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)） xxxfcossin)(xxxxxfcossin1cossin1)(y=sinxy= cosx圖圖 象象rr 1,1 1,1)(22zkkx 時時ymax=1)(22zkkx 時時ymin= 1)(2zkkx 時時ymax=1)(2zkkx 時時ymin= 1)(zkkx )(2zkkx xyo-12 34-21定義域定義域值值 域域最最 值值y= 0 xyo-12