清華大學傳熱學課件-傳熱學-3-2

1、半無限大物體半無限大物體：以無限大的：以無限大的 y-z平面為界面，在正平面為界面，在正 x 方向延伸至無窮遠的物體。方向延伸至無窮遠的物體。3-3 半無限大物體的瞬態(tài)導熱半無限大物體的瞬態(tài)導熱x大地可看作半無限大物體大地可看作半無限大物體半無限大物體的瞬態(tài)導熱實例半無限大物體的瞬態(tài)導熱實例1：地下建筑物剛剛建：地下建筑物剛剛建成時，室溫和周圍壁面溫度過低，不能馬上投入使用，成時，室溫和周圍壁面溫度過低，不能馬上投入使用，必須對建筑物進行預熱，使室溫升高到規(guī)定值必須對建筑物進行預熱，使室溫升高到規(guī)定值F Qq=Q/F預熱過程中，加熱量預熱過程中，加熱量 Q 假設為假設為常量、壁面溫度逐漸升高；

2、墻常量、壁面溫度逐漸升高；墻壁面積為常數(shù)，所以壁面積為常數(shù)，所以 q=const第二類邊界條件下瞬態(tài)導熱第二類邊界條件下瞬態(tài)導熱半無限大物體的瞬態(tài)導熱實例半無限大物體的瞬態(tài)導熱實例2：加熱爐中對耐火壁：加熱爐中對耐火壁面的加熱面的加熱F Qh, tf第三類邊界條件第三類邊界條件下瞬態(tài)導熱下瞬態(tài)導熱第二類或第三類邊界條件下瞬態(tài)導熱第二類或第三類邊界條件下瞬態(tài)導熱半無限大物體的瞬態(tài)導熱實例半無限大物體的瞬態(tài)導熱實例3：對大厚金屬板進行加熱對大厚金屬板進行加熱q=Q/F半無限大物體的瞬態(tài)導熱：半無限大物體的瞬態(tài)導熱： 第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條

3、件0),(txtt0 半無限大物體初始溫度半無限大物體初始溫度22xa0 , 000-tt0 , const;- , 0 xxqxw半無限大均質物體、第二類邊半無限大均質物體、第二類邊界條件下的瞬態(tài)導熱界條件下的瞬態(tài)導熱x022xtat , 00tt 0 , const;- , 0ttxxtqxw高等傳熱學，賈力等高等傳熱學，賈力等x0axaqxw2ierfc 2),(常熱流密度條件下半常熱流密度條件下半無限大物體內溫度場：無限大物體內溫度場： uaxaxuierfc2ierfc ,2 令高斯誤差補函數(shù)的一次積分高斯誤差補函數(shù)的一次積分 （數(shù)值表（數(shù)值表 附錄附錄14）i 一次積分一次積分;

4、c 補函數(shù)補函數(shù)erf 高斯誤差高斯誤差 uueuuuuuerfc 1d erfcierfc2 uuueuu0d 21erf1erfc2高斯誤差補函數(shù)高斯誤差補函數(shù)axaqxw2ierfc 2),(常熱流密度邊界條件下常熱流密度邊界條件下半無限大物體內溫度場：半無限大物體內溫度場：在表面熱流密度在表面熱流密度 qw 的作用的作用下，半無限大物體的表面溫下，半無限大物體的表面溫度逐漸升高度逐漸升高在某一個厚度范圍內的溫度變化比較明顯在某一個厚度范圍內的溫度變化比較明顯 ( ) 滲透厚度滲透厚度，隨時間不斷增大；在所考慮的時，隨時間不斷增大；在所考慮的時間范圍內，界面上的熱作用所波及的厚度間范圍內

5、，界面上的熱作用所波及的厚度對于有限厚度的物體對于有限厚度的物體，在所考慮的時間范圍內，若，在所考慮的時間范圍內，若 滲透厚度滲透厚度 ( ) 小于物體本身的厚度，可以認為該物小于物體本身的厚度，可以認為該物體是半無限大物體體是半無限大物體axaqxw2ierfc2),(常熱流密度邊界條件下常熱流密度邊界條件下半無限大物體內溫度場：半無限大物體內溫度場：在常熱流密度在常熱流密度qw邊界條件下，邊界條件下，假定物體中的溫度分布是三次假定物體中的溫度分布是三次方曲線，可以用近似的分析解方曲線，可以用近似的分析解法（積分法）得到法（積分法）得到 ( )： 表面上的溫度分布：表面上的溫度分布： aa4

6、6. 312 10ierfc :0 時xaqww2), 0(表面上的溫度分布：表面上的溫度分布：aqww2), 0()(表面上的加熱功率為：表面上的加熱功率為：attaqwww13. 1)(2)(0若把室溫提高到若把室溫提高到 tf( ), 表面上的加熱功率為：表面上的加熱功率為：20mW 13. 11ahttqfw)()(13. 1)(0wfwwwtthqattq第一類邊界條件下，半無限大物體的溫度分布第一類邊界條件下，半無限大物體的溫度分布：例：地下某建筑物，墻厚例：地下某建筑物，墻厚48cm，F(xiàn)=10m2， =0.815，加熱加熱5個小時后，使墻壁溫度升高了個小時后，使墻壁溫度升高了18

7、度，問：度，問：Q=?axttttww2erf)(0第三類邊界條件下，半無限大物體的溫度分布第三類邊界條件下，半無限大物體的溫度分布:（略）（略） m48. 0m33. 0360051015. 512127a可以把該墻看作第二類邊界條件下的半無限大物體可以把該墻看作第二類邊界條件下的半無限大物體W1348360051015. 513. 118815. 01013. 11070attqFQww一、無限長圓柱體和球體一、無限長圓柱體和球體3-4 其他形狀物體的瞬態(tài)導熱其他形狀物體的瞬態(tài)導熱對無限長圓柱體和球體的瞬態(tài)導熱，可以用前述的分對無限長圓柱體和球體的瞬態(tài)導熱，可以用前述的分離變量法得到溫度分

8、布的分析解：離變量法得到溫度分布的分析解：與無限大平壁類似，對于無限長圓柱體和球體瞬態(tài)與無限大平壁類似，對于無限長圓柱體和球體瞬態(tài)導熱，導熱，F(xiàn)o 0.2時，加熱或冷卻過程進入正常狀況階段。時，加熱或冷卻過程進入正常狀況階段。20Fo ;Bi ) Fo, Bi,(RahRRrfBi0.1時，可以用集總參數(shù)法分析時，可以用集總參數(shù)法分析hRBiFo 0.2時，時，無限長圓柱體和球體的瞬態(tài)導熱可以用計無限長圓柱體和球體的瞬態(tài)導熱可以用計算線圖（諾謨圖）算線圖（諾謨圖）00)()(),(),(mmrr) FoBi,( ) Bi,( )()(),(),(00fRrfrrmm經過經過 秒鐘、每米圓柱體放

9、出或吸收的熱量：秒鐘、每米圓柱體放出或吸收的熱量：ttcRQfQQ00200m );Bi Fo,(圓柱體每二、無限長直角柱體、有限長圓柱體和六面體二、無限長直角柱體、有限長圓柱體和六面體無限大平壁、無限長圓柱體和球體的加熱和冷卻問題無限大平壁、無限長圓柱體和球體的加熱和冷卻問題都是一維瞬態(tài)導熱。都是一維瞬態(tài)導熱。1、無限長直角柱體中的瞬態(tài)導熱、無限長直角柱體中的瞬態(tài)導熱直角柱體的截面：直角柱體的截面：2 x 2 y可以證明：可以證明：無限長直角柱體無限長直角柱體的溫度場是這兩塊的溫度場是這兩塊無限大平無限大平壁溫度場的乘積壁溫度場的乘積二維或三維瞬態(tài)導熱問題可由這些一維問題的解確定二維或三維瞬

10、態(tài)導熱問題可由這些一維問題的解確定可以看成是厚度為可以看成是厚度為 2 x 和厚度和厚度為為 2 y 的兩塊無限大平壁垂直的兩塊無限大平壁垂直相交形成的相交形成的可以證明：可以證明：無限長直角柱體的無限長直角柱體的溫度場是這兩塊溫度場是這兩塊無限大平壁溫無限大平壁溫度場的乘積度場的乘積（試證明之試證明之）（要求初始、邊界條件一致）（要求初始、邊界條件一致）000),(),(),(yxyx2、有限長圓柱體中的瞬態(tài)導熱、有限長圓柱體中的瞬態(tài)導熱長度：長度：2 ；半徑：；半徑：R可以看成是半徑為可以看成是半徑為 R 的無限的無限長圓柱體和厚度為長圓柱體和厚度為 2 的無限的無限大平壁垂直相交形成的大

11、平壁垂直相交形成的000),(),(),(xrxr2 R3、六面體中的瞬態(tài)導熱、六面體中的瞬態(tài)導熱六面體截面：六面體截面：2L1 2L2 2L3可以看成是厚度分別為可以看成是厚度分別為 2L1 、 2L2和和 2L3的三塊無限大平壁的三塊無限大平壁垂直相交形成的垂直相交形成的0000),(),(),(),(zyxzyx二維或三維瞬態(tài)導熱過程中放熱量或吸熱量計算方法二維或三維瞬態(tài)導熱過程中放熱量或吸熱量計算方法:121total1ooooQQQQQQQQ213121total11 1oooooooQQQQQQQQQQQQQQ兩塊無限大物體垂直相交兩塊無限大物體垂直相交形成的物體的形成的物體的瞬態(tài)

12、導熱過程：瞬態(tài)導熱過程：三塊無限大物體垂直相交三塊無限大物體垂直相交形成的物體的形成的物體的瞬態(tài)導熱過程：瞬態(tài)導熱過程：一、周期性非穩(wěn)態(tài)導熱現(xiàn)象一、周期性非穩(wěn)態(tài)導熱現(xiàn)象3-5 周期性非穩(wěn)態(tài)導熱周期性非穩(wěn)態(tài)導熱供熱通風與空氣調節(jié)工程中，常見周期性非穩(wěn)態(tài)導熱供熱通風與空氣調節(jié)工程中，常見周期性非穩(wěn)態(tài)導熱現(xiàn)象：現(xiàn)象：建筑物外圍護結構、大地建筑物外圍護結構、大地 室外空氣溫度室外空氣溫度周期變化及太陽輻射周期變化的影響周期變化及太陽輻射周期變化的影響周期性非穩(wěn)態(tài)導熱：周期性非穩(wěn)態(tài)導熱：物體溫度按一定的周期發(fā)生變化物體溫度按一定的周期發(fā)生變化氣溫日變化周期：氣溫日變化周期：24h 室外空氣溫度下午室外空

13、氣溫度下午23點最高；清晨點最高；清晨45點最低點最低綜合溫度綜合溫度：工程上，把室外空氣與太陽輻射二者對圍：工程上，把室外空氣與太陽輻射二者對圍護結構的共同作用，用一個假想的溫度來衡量，護結構的共同作用，用一個假想的溫度來衡量，te。htf ,sIetw1t)()(w1es1tthAAItthAwfhIttfse 圍護結構對太圍護結構對太陽輻射的吸收系數(shù)陽輻射的吸收系數(shù)某工廠屋頂某工廠屋頂結構在夏季太結構在夏季太陽輻射和室外空氣綜合作陽輻射和室外空氣綜合作用下的溫度變化實測數(shù)據(jù)用下的溫度變化實測數(shù)據(jù)在在室外綜合溫度室外綜合溫度 te 的周期波的周期波動下，圍護結構表面及內動下，圍護結構表面及

14、內部的溫度都產生周期波動部的溫度都產生周期波動波動振幅波動振幅：溫度波動的最：溫度波動的最大值與平均值之差大值與平均值之差mmaxttA由上圖：由上圖：綜合溫度振幅綜合溫度振幅：37.1度；度；屋頂外表面溫度振幅屋頂外表面溫度振幅：28.6度度屋頂內表面溫度的振幅屋頂內表面溫度的振幅：4.9度度溫度波動振幅逐層減小溫度波動振幅逐層減小 溫度波的衰減溫度波的衰減不同地點溫度最大值出現(xiàn)的時不同地點溫度最大值出現(xiàn)的時間不同間不同：綜合溫度最大值綜合溫度最大值 中午中午12點點屋頂外表面溫度最大值屋頂外表面溫度最大值12點半點半屋頂內表面溫度最大值近屋頂內表面溫度最大值近16點點晚上室外氣溫已經下降，

15、而室內溫度還需經過一段延晚上室外氣溫已經下降，而室內溫度還需經過一段延遲時間才能降下來；尤其西曬房間西墻內表面溫度最遲時間才能降下來；尤其西曬房間西墻內表面溫度最大值約在大值約在22點左右出現(xiàn)點左右出現(xiàn) 時間延遲時間延遲溫度最大值出現(xiàn)的時間逐層推溫度最大值出現(xiàn)的時間逐層推遲的現(xiàn)象遲的現(xiàn)象 時間延遲時間延遲夏天晚上人們喜歡在室外乘涼，原因何在？夏天晚上人們喜歡在室外乘涼，原因何在？故宮的墻壁厚度很厚，為什么？故宮的墻壁厚度很厚，為什么？ 溫度波的衰減溫度波的衰減實測數(shù)據(jù)表明：綜合溫度的周期性波動規(guī)律可以視為實測數(shù)據(jù)表明：綜合溫度的周期性波動規(guī)律可以視為一個簡單的一個簡單的簡諧波曲線簡諧波曲線工程

16、中把環(huán)境溫度或表面溫度的波動概括為簡諧振動工程中把環(huán)境溫度或表面溫度的波動概括為簡諧振動實測綜實測綜合溫度合溫度簡諧波簡諧波二、半無限大物體在周期性變化邊界條件下的溫度波二、半無限大物體在周期性變化邊界條件下的溫度波1、第一類邊界條件下的溫度場、第一類邊界條件下的溫度場均質半無限大物體均質半無限大物體導熱方程導熱方程：半無限大物體半無限大物體：以無限大的：以無限大的 y-z平面為界面，在正平面為界面，在正 x 方向延伸至無窮遠的物體。方向延伸至無窮遠的物體。0 xAwAw22xtat單值性條件單值性條件：幾何條件：半無限大物體幾何條件：半無限大物體物理條件：物理條件：qv=0，常物性，常物性時

17、間條件：無時間條件：無Why?周期性變化邊界條件的周期性變化邊界條件的特點：邊界條件周期性特點：邊界條件周期性變化變化 物體中各處溫度物體中各處溫度周而復始地周期性變化周而復始地周期性變化 不存在初始條件不存在初始條件任意位置、某一時刻過余溫度任意位置、某一時刻過余溫度0 xAwAw邊界條件：邊界條件：tm 周期性變化的平均溫度周期性變化的平均溫度周期性變化邊界條件的特點：周期性變化邊界條件的特點：（1）邊界條件周期性變化）邊界條件周期性變化 物體中各處溫度周而復始地周物體中各處溫度周而復始地周期性變化期性變化 不存在初始條件不存在初始條件（2）邊界條件可以認為是一）邊界條件可以認為是一個簡諧

18、波個簡諧波TAttxwm2cos), 0(), 0( :0mtxtx),(),(Aw 物體表面溫度波的振幅物體表面溫度波的振幅T 溫度波的周期溫度波的周期0),(),( :mttx0 xAwAw用分離變量法求解，假設：用分離變量法求解，假設：導熱方程：導熱方程：22xtat22xamtxtx),(),()()(),(xXx22xXaX2211xXXa22211dxXdXdda0 02222XdxXdadd0 xAwAw002222XdxXdaddxxaCeBexXAe)( )(2xxaCeBeAexXx2)()(),(22211dxXdXdda若假設：若假設：0 02222XdxXdadd)s

19、in()cos()( )(2xCxBxXAea0 xAwAw)sin()cos()()(2xCxBxXAea)sin()cos()()(),(2xCxBAexXxa不符合事實 , 0),( :x與邊界條件不符 , 0),( :x因此，該假設不成立！因此，該假設不成立！22211dxXdXddaxxaCeBeAexXx2)()(),(0 xAwAwxxaCeBeAexXx2 )()(),(邊界條件：邊界條件：0),(),( :2cos), 0(), 0( :0mwmttxTAttxB=0 xaxaeDeCeAex22),(aTi22?。篴Ti)1 ( xaTTixaTxaTiTieDeeDex2

20、)1 (2),(0 xAwAw邊界條件：邊界條件：TAttxwm2cos), 0(), 0( :0 xaTTixaTeDex2),(xixeixsincosxaTTixaTTDexxaT2sin2cos),(TATiTDw2cos2sin2cos), 0(xaTTeAxxaT2cos),(wD=Aw虛數(shù)項虛數(shù)項不出現(xiàn)不出現(xiàn)0 xAwAwxaTTeAxxaT2cos),(w振幅振幅角速度角速度相位角相位角相位差相位差2、溫度波的特性、溫度波的特性（1）溫度波的衰減特性）溫度波的衰減特性任意平面任意平面x處溫度簡諧波的振幅不是處溫度簡諧波的振幅不是 Aw，而是：，而是：xaTeAAwx隨著隨著 x

21、 的增大，振幅是衰減的的增大，振幅是衰減的物體材料對溫度波的阻尼作用物體材料對溫度波的阻尼作用半無限大物體內任意平面半無限大物體內任意平面x處，它的溫度隨時間的變處，它的溫度隨時間的變化與表面化與表面x=0處的溫度變化規(guī)律相類似，都是周期相處的溫度變化規(guī)律相類似，都是周期相同的余弦函數(shù)規(guī)律同的余弦函數(shù)規(guī)律TAw2cos), 0(隨著隨著 x 的增大，振幅是衰減的的增大，振幅是衰減的物體材料對溫度波的阻尼作用物體材料對溫度波的阻尼作用0 xAwAw通常認為通常認為 V 100 時，溫度波就不存在了（溫度波時，溫度波就不存在了（溫度波動振幅衰減到可以忽略不計）動振幅衰減到可以忽略不計）x1Ax1x

22、2Ax2xaTeAAwx衰減度衰減度：振幅衰減的程度：振幅衰減的程度xaTeAAVxw顯波層顯波層淺埋淺埋建筑物建筑物通常把通常把 V100 時的地段稱為等溫層，深埋建筑物時的地段稱為等溫層，深埋建筑物隨著隨著 x 的增大，振幅是衰減的的增大，振幅是衰減的 物體材料對溫度物體材料對溫度波的阻尼作用波的阻尼作用深度越深，振幅衰減越甚深度越深，振幅衰減越甚 當深度足夠大時，溫當深度足夠大時，溫度波動振幅度波動振幅衰減到可以忽略不計的程度。地溫可以衰減到可以忽略不計的程度。地溫可以認為終年保持不變認為終年保持不變 等溫層等溫層例：例： 土壤，土壤，a=6.17 10-7m2/s 0 xAwAwx1A

23、x1x2Ax2xaTeAAwx顯波層顯波層淺埋淺埋建筑物建筑物等溫層等溫層深埋深埋建筑物建筑物100 :71017. 6xwxTxaTeeAAV令)h8760( m5 .11)h24( m6 . 01017. 6100ln7TTTx年波，日波，0 xAwAwx1Ax1x2Ax2顯波層顯波層淺埋淺埋建筑物建筑物等溫層等溫層深埋深埋建筑物建筑物)h8760( m5 .11)h24( m6 . 0 1017. 6100ln7TTTx年波，日波，彈藥庫建在深山洞中，洞中的溫度一年四季變化很小彈藥庫建在深山洞中，洞中的溫度一年四季變化很小冬天貯藏大白菜只要挖冬天貯藏大白菜只要挖1m左右深即可，因為日波的

24、左右深即可，因為日波的穿透深度不到穿透深度不到1m故宮的墻很厚，為了保證室內溫度四季基本穩(wěn)定故宮的墻很厚，為了保證室內溫度四季基本穩(wěn)定0 xAwAwx1Ax1x2Ax2xaTeAAwx顯波層顯波層淺埋淺埋建筑物建筑物等溫層等溫層深埋深埋建筑物建筑物影響溫度波衰減的主要因素影響溫度波衰減的主要因素：導溫系數(shù)導溫系數(shù) a、波動周期、波動周期T、深度、深度 xa 溫度溫度波的影響越深入、波的衰減越慢波的影響越深入、波的衰減越慢T 溫度溫度波的影響越深入、波的衰減越慢波的影響越深入、波的衰減越慢年溫度年溫度波衰減得比日溫度變化溫度波衰減得慢很多、波衰減得比日溫度變化溫度波衰減得慢很多、其影響深入得多其

25、影響深入得多 溫度溫度波的頻率越快、波的衰減越快、影響越淺波的頻率越快、波的衰減越快、影響越淺微波加熱或材料微波燒結微波加熱或材料微波燒結延遲時間延遲時間 ：任何厚度任何厚度 x 處溫度達到最大值的時間比表面溫度達到處溫度達到最大值的時間比表面溫度達到最大值的時間落后一個相位角最大值的時間落后一個相位角 溫度波的延遲溫度波的延遲（2）溫度波的延遲）溫度波的延遲xaTTeAxxaT2cos),(w振幅振幅角速度角速度相位角相位角相位差相位差角速度相位角aTxTxaT22012cosxaTT02xaTT12cos0T00表面溫度達最大表面溫度達最大:厚度厚度 x 處溫度達最大處溫度達最大:TAw2

26、cos), 0(延遲時間延遲時間 ：例：年溫度波在地例：年溫度波在地下下3.2 m處溫度波的處溫度波的延遲時間為：延遲時間為：aTx2天70h68.17921017. 63600876022 . 327aTx地下地下3.2 m處土壤中年波出現(xiàn)波峰時間比地面晚處土壤中年波出現(xiàn)波峰時間比地面晚70天天有西曬的房屋，夏天下午室外的氣溫很高；由于延有西曬的房屋，夏天下午室外的氣溫很高；由于延遲性，室內晚上正好最熱遲性，室內晚上正好最熱 西曬的房屋晚上很熱西曬的房屋晚上很熱同一時刻地下不同深度同一時刻地下不同深度 x 處的處的溫度值不同、最高溫度不同；溫度值不同、最高溫度不同；達到最大值的時間也不同達到

27、最大值的時間也不同 具有具有衰減性衰減性和和延遲性延遲性（3）溫度波的傳播特性）溫度波的傳播特性0 xAwAwx1Ax1x2Ax2顯波層顯波層淺埋淺埋建筑物建筑物等溫層等溫層深埋深埋建筑物建筑物把同一時刻、各把同一時刻、各 x 處的溫度處的溫度連接起來，就象一個波連接起來，就象一個波 溫度波具有溫度波具有傳遞特性傳遞特性xaTeAAwx波幅：波幅：延遲時間延遲時間 ：aTx2傳播速度：傳播速度：TaaTxxxu22波長：波長： m 2 0TauTx 1 與與 2 時刻溫度波時刻溫度波半無限大物體中溫半無限大物體中溫度波的波長度波的波長 x0：同一時刻溫度分布同一時刻溫度分布曲線上相角相同的曲線

28、上相角相同的兩相鄰平面之間的兩相鄰平面之間的距離距離相角相同的兩相鄰相角相同的兩相鄰平面之間的相角差平面之間的相角差為為2 xaTTeAxxaT2cos),(w振幅振幅角速度角速度相位角相位角20 xaTaTx20波長：波長：3、周期性變化的第三類邊界條件下的溫度分布、周期性變化的第三類邊界條件下的溫度分布前面分析了給定物體表面溫度的前面分析了給定物體表面溫度的第一類邊界條件（周期性變化）第一類邊界條件（周期性變化）的結果。給定第三類邊界條件結的結果。給定第三類邊界條件結果如何？果如何？0 xAwAw0 xh, tf第三類邊界條件：第三類邊界條件：給出半無限大給出半無限大物體與周圍流體之間的對

29、流換熱物體與周圍流體之間的對流換熱系數(shù)系數(shù) h 和周圍流體溫度周期性變和周圍流體溫度周期性變化的規(guī)律化的規(guī)律 tf( )TAttffmff2cos)()(Af 流體溫度流體溫度波動的振幅波動的振幅0 xh, tf 物體表面溫度波振幅與物體表面溫度波振幅與 流體溫度波振幅的比值流體溫度波振幅的比值fwAAaThaTh22211溫度分布：溫度分布：xaTTeAxxaT2cos),(faTh11arctg 物體表面溫度波落后于物體表面溫度波落后于 流體溫度波的相角流體溫度波的相角都是都是和和22aTh的單值函數(shù)的單值函數(shù)都是都是和和22aTh的單值函數(shù)的單值函數(shù)0fwAA45時 022aTh945. 0