《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（課堂PPT）

1、1 第一章第一章 習(xí)習(xí) 題題 課課 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)典型例題典型例題23 概率的公理化定義概率的公理化定義 S , 是它的是它的是隨機試驗是隨機試驗設(shè)設(shè) E , AP , 賦予一個實數(shù)賦予一個實數(shù)的每一個事件的每一個事件對于對于樣本空間樣本空間AE : , A件件如果它滿足下列三個條如果它滿足下列三個條的概率的概率稱之為事件稱之為事件 ; 0 1 AP 非負(fù)性非負(fù)性 ; 1 2 SP 規(guī)范性規(guī)范性 , 321有有對于兩兩互斥事件對于兩兩互斥事件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性一、概率的公理化定義一、概率的公理化定義4 1性質(zhì)性質(zhì) 0 . P 2性質(zhì)性質(zhì) , , 21則則兩兩

2、互斥兩兩互斥設(shè)有限個事件設(shè)有限個事件nAAA 1212 . nnP AAAP AP AP A 3 性質(zhì)性質(zhì) , 有有對于任何事件對于任何事件A . 1APAP 4 性質(zhì)性質(zhì) , , 則則且且為兩事件為兩事件、設(shè)設(shè)BABA BPAPBAP 并且并且 . BPAP 二、概率的性質(zhì)二、概率的性質(zhì)5 , 都有都有對于任一事件對于任一事件A . 1 AP , , 則則為任意兩個事件為任意兩個事件設(shè)設(shè)BA ABPBPAPBAP CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP 性質(zhì)5 對任意事件A,B有 P(A-B)=P(A)-P(AB) 性質(zhì)6性質(zhì)76稱這種試驗為稱這種試驗為等可能隨機試驗等可能隨機試

3、驗或或古典概型古典概型. 若隨機試驗滿足下述兩個條件：若隨機試驗滿足下述兩個條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個樣本點；它的樣本空間只有有限多個樣本點； (2) 每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同. AP 中的基本事件總數(shù)中的基本事件總數(shù)包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)SA 三、古典概型三、古典概型古典概型中事件古典概型中事件A的概率的計算公式的概率的計算公式 :7設(shè)設(shè)A、B是兩個事件，且是兩個事件，且P(B) 0 , 則稱則稱 )()()|(BPABPBAP1. 條件概率的定義條件概率的定義為在為在事件事件B發(fā)生發(fā)生的條件下的條件下,事件事件A的條件概率的條件概率.四、

4、條件概率四、條件概率8 2)在縮減的樣本空間中直接計算在縮減的樣本空間中直接計算 2. 條件概率的計算條件概率的計算1) 用定義計算用定義計算:,)()()|(BPABPBAPP(B)09若若 P(B) 0 , 則則 P(AB)=P(B)P(A|B)若若 P(A) 0 , 則則 P(AB)=P(A)P(B|A) 事件事件A與與B獨立的充要條件是獨立的充要條件是()( ) ( )P ABP A P B10七、伯努利定理七、伯努利定理：設(shè)在一次試驗中,事件A發(fā)生的概率為 ，則在n重伯努利試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為p( )(1),(0,1, ).kkn knnP kC ppkn11, SE

5、的樣本空間為的樣本空間為設(shè)試驗設(shè)試驗nBBB, , 21 , , 則對則對且且的一個劃分的一個劃分為為n,iBPSi 210 , 恒有恒有樣本空間中的任一事件樣本空間中的任一事件A niiiB|APBPAP112njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(ni, 21, SE 的樣本空間為的樣本空間為設(shè)試驗設(shè)試驗12 , ,nAAA為樣本空間的一個劃分為樣本空間的一個劃分 , B 為為 S 中的任一事件中的任一事件 ,且且P(B) 0 , 則有則有13例例1 1 甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以以A A、B B、C C分別表示甲、乙

6、、丙命中目標(biāo)，試分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用用A A、B B、C C的運算關(guān)系表示下列事件：的運算關(guān)系表示下列事件：:654321“三人均未命中目標(biāo)”“三人均命中目標(biāo)”“最多有一人命中目標(biāo)“恰有兩人命中目標(biāo)”“恰有一人命中目標(biāo)”“至少有一人命中目標(biāo)AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA14例例2. 設(shè)設(shè)A,B,C是三事件是三事件,且且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0 , P(AC)=1/8 ,求求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率至少有一個發(fā)生的概率.解解=P(A)+ P(B)+ P(C)- -P(AB)- -P(AC

7、)- -P(BC)+P(ABC) 所求概率為所求概率為 P(ABC)由于由于ABC AB,或或ABC BCP(ABC) P(AB)=0非負(fù)性非負(fù)性0 P(ABC)=0P(ABC)=3 (1/4)-(1/8)=5/815例例3已知已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,求求P(AB).P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)故故1213141)( ABP6121121)()()( BAPABPBP因此因此311241216141)( BAP 解解 P(AB)=P(A)+P(B)- -P(AB) 例例4 每次試驗成功率為 ，則在3次重復(fù)試驗中至少失敗一次的概

8、率為_.(01)pp31p16 例例5 設(shè)甲袋中裝有設(shè)甲袋中裝有n只白球只白球,m只紅球只紅球;乙袋中裝有乙袋中裝有N只白球只白球,M只紅球只紅球. 今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再從乙袋中任意取一只球再從乙袋中任意取一只球.問取問取到白球的概率是多少到白球的概率是多少?解解 設(shè)事件設(shè)事件B表示表示“從甲袋中取出一只白球從甲袋中取出一只白球”則事件則事件B表示表示“從甲袋中取出一只紅球從甲袋中取出一只紅球”事件事件A表示表示“從乙袋中取一只白球從乙袋中取一只白球”.( ),nP Bnm1( | ),1NP A BNM.) 1)()(111)( MNmnnmn

9、NMNNmnmMNNmnnAP按全概率公式按全概率公式 P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )BB( ),mP Bnm(|).1NP A BNM17例例6 從0,1,9共十個數(shù)字中任取三個不同的數(shù), 設(shè)A 表示“三個數(shù)中不含3和4”, 則P(A)= 715例例7 已知 ,且A與B相互獨立，則 P(A+B)=_,P(A-B)=_.( )0.3, ( )0.5P AP B0.650.15例例8 設(shè) ，則P(AB)可能為_12( ), ( )23P AP BA. 0 B. 1 C. 0.6 D.16D1821. 已知男子有已知男子有5

10、%是色盲患者是色盲患者,女子有女子有0.25%是色盲患者是色盲患者.今從男今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人,恰好是色盲患者恰好是色盲患者,問此人是男問此人是男性的概率是多少性的概率是多少? 解解 先假定男人數(shù)為先假定男人數(shù)為M,女人數(shù)為女人數(shù)為N,求出一般結(jié)果求出一般結(jié)果. 設(shè)從人數(shù)為設(shè)從人數(shù)為M+N的人群中隨機地挑選一人的人群中隨機地挑選一人,A表示此人是男人的事表示此人是男人的事件件,B表示此人是色盲患者的事件表示此人是色盲患者的事件.則則,)(NMMAP ,)(NMNAP P(B|A)=5%, P(B|A)=0.25%, 要求要求P(A|B)()(B

11、PABP 而而 P(AB)=P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)全概率公式全概率公式)()()()()()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP 貝葉斯公式貝葉斯公式%25. 0%5%5 NMNNMMNMM特別特別,M=N時時,21200025. 005. 005. 0%25. 021%521%521)|( BAP1928. 三人獨立地去破譯一份密碼三人獨立地去破譯一份密碼,已知各人能譯出的概率分別為已知各人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少? 解解 設(shè)事件

12、設(shè)事件Ai表示表示“第第i人能譯出人能譯出”, i =1,2,3由題意由題意P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4, A1,A2,A3及其逆事件相互獨立及其逆事件相互獨立,三人中至少有一人能譯出為事件三人中至少有一人能譯出為事件A1A2A 3法一法一: P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) - -P(A1A2) - -P(A1A3)- -P(A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)- -P(A1)P(A2)- -P(A1)P(A3)- -P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)6 . 04131514131415131

13、51413151 法二法二:P(A1A2A3)=1- -P(A1A2A3) =1- -P(A1A2A3)=1- -P(A1)P(A2)P(A3) =1- -1- -P(A1)1- -P(A2)1- -P(A3)6 . 05352143325414113115111 2021AAB B：努力學(xué)習(xí)， ：不努力學(xué)習(xí)， ：考試及格， ：考試不及格_P(B|A)=0.9P(B|A)=0.9P(A)=0.9,P(A)=0.1由題意：，則_P(A | B),P(A | B)_P(AB)P(B|A)=0.9P(AB)=0.81P(A)P(A B)P( B |A )=0.9P(A B)=0.09P(A) 由， 得， 得_P(AB)P(AB)P(A| B)=,P(A| B)=P(B)P(B)求22 0.9=0.81+P(AB),P(AB)=0.09