通信原理第3章 隨機(jī)過程

1、n3.1 引言n3.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計（概率）特性n3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程n3.4 高斯隨機(jī)過程（正態(tài)）n3.5 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)n3.6 高斯白噪聲n3.7 窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程n3.8 余弦波加窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程n3.9 匹配濾波器n3.10 循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程第三章第三章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n通信系統(tǒng)中存在各種干擾和噪聲，這些干擾和噪聲的波形更是隨機(jī)的、不可預(yù)測的。稱其為隨機(jī)干擾和隨機(jī)噪聲隨機(jī)干擾和隨機(jī)噪聲。n雖然隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測的、隨機(jī)的，但它們具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性。3.1 引言引言隨機(jī)過程X(t)在每個時刻t是一個隨機(jī)變量。n 不同的時刻對應(yīng)不同的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)

2、可能不同，記為t的函數(shù)：F(x,t)=PX(t)x , 稱作隨機(jī)過程X(t)的一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)。n如果對應(yīng)的概率密度p(x,t)存在，稱為X(t)的一維一維概率密度概率密度。1. 隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度3.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計（概率）特性隨機(jī)過程的統(tǒng)計（概率）特性對于t時刻的隨機(jī)變量X=X(t)，有如下數(shù)字特征(1) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望(統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值)：EX(2) 二階矩二階矩：EX2(3) 方差方差：扣除均值后的二階矩就一般隨機(jī)過程而言，以上數(shù)字特征都是t的函數(shù)。2.隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的數(shù)字特征的數(shù)字特征對于t1和t2時刻的兩個隨機(jī)變量X1

3、=X(t1)， X2=X(t2)：(1) 相關(guān)值EX1X2一般是t1和t2的二元函數(shù)，稱為自自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)，記為RX(t1,t2)。(2)自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)：扣除均值后的自相關(guān)函數(shù)。(3) 歸一化協(xié)方差函數(shù)歸一化協(xié)方差函數(shù)(相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù))：扣除均值，再使方差歸一化為后的自相關(guān)函數(shù)。12121212XXXXXXEEn對X(t)在n個時間點t1,t2,tn上采樣將得到n個隨機(jī)變量，也即一個隨機(jī)向量，其聯(lián)合分布函數(shù)為隨機(jī)過程的多維分布函數(shù)隨機(jī)過程的多維分布函數(shù) 1111,; ,nnnnF xx ttP X txX tx12121112,., , ,.,., ,.,.nnnnnF x x

4、x t ttp xx ttx xx 聯(lián)合密度n對隨機(jī)過程X(t)在n個時間點t1,t2,tn上采樣，對隨機(jī)過程Y(t)在m個時間點t1,t2,tm上采樣，將得到n+m個隨機(jī)變量：X(t1),X(t2),X(tn),Y(t1),Y(tm)。其聯(lián)合分布函數(shù)定義為3. 兩個隨機(jī)過程的聯(lián)合分布兩個隨機(jī)過程的聯(lián)合分布 11111111, ,; , ,),; (),mmnmnnmnF xx tt yyP X txYX tYyxytttt獨立性n稱兩個隨機(jī)事件A和B獨立，若其聯(lián)合概率可分解為各自概率之積：P(A,B)=P(A)P(B)n稱兩個隨機(jī)變量X和Y獨立，若其聯(lián)合分布函數(shù)可分解為各自的分布函數(shù)之積：F

5、XY(x,y)=FX(x)FY(y)n稱兩個隨機(jī)過程X(t)和Y(t)獨立，若其聯(lián)合分布函數(shù)可分解為各自的聯(lián)合分布函數(shù)之積：FXY(x,y)=FX(x)FY(y)n互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)：對任意時間t1和t2，隨機(jī)變量X(t1)和Y(t2)的相關(guān)值是二元函數(shù)： R(t1,t2)=EX(t1)Y(t2)n互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)：扣除均值后的互相關(guān)函數(shù)兩個隨機(jī)過程的相關(guān)性兩個隨機(jī)過程的相關(guān)性n如果對于任意n和t1,t2,tn以及t有3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程12121212,., , ,.( ,.,)nnnnp x xx t ttp x xx tttttt則稱X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨

6、機(jī)過程寬平穩(wěn)隨機(jī)過程寬平穩(wěn)隨機(jī)過程若對于隨機(jī)過程X(t)，一元函數(shù)E X(t)與t無關(guān)，且二元函數(shù)EX(t1)X(t2)可以化成一元函數(shù) R(t2t1) ，則稱X(t)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程（廣寬平穩(wěn)隨機(jī)過程（廣義平穩(wěn)）義平穩(wěn)）。也即：均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時間差有關(guān)。寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)的關(guān)系寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)的關(guān)系l寬平穩(wěn)不一定是嚴(yán)平穩(wěn)：寬平穩(wěn)只涉及二維分布，不包含多維分布的信息。l嚴(yán)平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)，除非該隨機(jī)過程的均值或自相關(guān)函數(shù)不存在。聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過程若X(t),Y(t)都是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，且互相關(guān)函數(shù)RXY(t1,t2)=EX(t1)Y(t2)可化為一元函數(shù)RXY(t2t1

7、)，則稱X(t),Y(t)為聯(lián)合寬平聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過程穩(wěn)隨機(jī)過程復(fù)平穩(wěn)過程復(fù)平穩(wěn)過程復(fù)隨機(jī)過程X(t)在任意時刻t是一個復(fù)隨機(jī)變量自相關(guān)函數(shù)定義為RX(t1,t2)=EX*(t1)Y(t2)若EX(t)、EX*(t)X(t+t)與t無關(guān)，則為寬平穩(wěn)若還有EX(t)X(t+t)與t無關(guān)，則其實部Xc(t)與虛部Xs(t)是實平穩(wěn)過程 csjX tXtXt *c1Re2XtX tX tXt ccc*,141414XXXXR t tX t X tX tX tX tX tX t X tX t X tX t X tX t X tRRRRttttttttttttEEE XX t X tRtt設(shè)： E各態(tài)歷

8、經(jīng)性（遍歷性）各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）令x(t)是X(t)的某一個樣本函數(shù)，若X(t)的某個數(shù)字特征可以通過x(t)的對應(yīng)時間平均得，則稱該隨機(jī)過程的該數(shù)字特征具有遍歷性遍歷性。 一個樣本函數(shù)可以代表全體樣本函數(shù)！ 概率平均等價于時間平均： E1( )( )d2limTTTx tx ttTn均值遍歷均值遍歷：X(t)的樣函數(shù)x(t)的時間平均值以概率1等于 EX(t):n自相關(guān)遍歷自相關(guān)遍歷：樣函數(shù)x(t)的時間自相關(guān)函數(shù)以概率1等于隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)X(t1r)P(x tE ( ) (Pr)1x t x tX t X tttEn寬遍歷過程：寬遍歷過程：均值和自相關(guān)都具有遍歷性n嚴(yán)遍歷過

9、程：嚴(yán)遍歷過程：所有數(shù)字特征都遍歷n遍歷過程遍歷過程默認(rèn)指寬遍歷過程寬遍歷過程遍歷過程一定是平穩(wěn)過程遍歷過程一定是平穩(wěn)過程( )( )x tX tE說明EX(t)與t無關(guān)( )( )x t x tX t X tttE說明EX(t)X(t+t)與t無關(guān)n若X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且n則X(t)是遍歷過程。 0;( ) dtRXttE無直流分量的平穩(wěn)過程是遍歷過程無直流分量的平穩(wěn)過程是遍歷過程其中FT(f)是X(t)截短到T之后的傅氏變換 2limXTxTFfPffTPE=E隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度的功率譜密度PX(f)是所有樣是所有樣本本x(t)的功率譜密度的功率譜密度Px(f)的數(shù)

10、學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望n隨機(jī)過程的功率譜密度是平均自相關(guān)函數(shù)平均自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換 2( )edjfXXRPf ttt ( )XX t X tX t X tRtttEE維納維納-辛欽定理辛欽定理 2222( )( )ededed) ()( ) ()edXjfxjfjfjfXxPfx t x tx t x tPRRf t t t tttttttttEEEE j2j2j2j2ed( )()ed( )ed( )edfXffxXfxxRX t X tRfRPfP t t t tttttttttEEn遍歷過程的功率譜密度是一個樣本的功率譜：n平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度： j2j2j2j2ed( )()ed(

11、 )ededfXffXfXXPfRX t X tRR t t t tttttttttE隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)非負(fù)性： 2lim0TxTXXTffPPfE=E 2(d)0XXXXtRPPffE功率是電壓平方的平均值，是0時刻的自相關(guān)值，也是功率譜密度的面積：隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)實隨機(jī)過程的平均自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度都是實偶函數(shù)： )( )()()u tXXRX t X tX uX uRttttt EE實偶函數(shù)的傅氏變換是實偶函數(shù)n若從隨機(jī)過程X(t)中任意采n個點，所得n個隨機(jī)變量總是服從聯(lián)合高斯分布，則稱X(t)為高高斯隨機(jī)過程斯隨機(jī)過程。

12、3.4 高斯隨機(jī)過程（正態(tài)）高斯隨機(jī)過程（正態(tài)）1)對于高斯過程，寬平穩(wěn)=嚴(yán)平穩(wěn)： 對于寬平穩(wěn)高斯過程，兩個隨機(jī)變量之間的協(xié)方差只與時間差有關(guān)。將式(3.4.1)左邊的t1,t2,tn統(tǒng)一偏移t時，協(xié)方差矩陣B不變，即(3.4.1)右邊不變2)對于正態(tài)隨機(jī)過程的任何兩個時刻的隨機(jī)變量，不相關(guān)也就是統(tǒng)計獨立。 在式(3.4.1)中代入n=2和b21=b12=0，右邊可分解為兩個一維概率密度函數(shù)的乘積n一維正態(tài)概率密度表示式為 2221()( )exp22xap x圖3.4.1 正態(tài)概率密度曲線erfc函數(shù)和Q函數(shù)22erfc( )ed22txxtQx221( )ed2txQ xtPr( )XxQ

13、 x 1Pr=erfc2Xxx1Pr=erfc22xxXxQ0,1X若N10,2X若N20,X若Nn若X(t)是高斯過程，則聯(lián)合高斯隨機(jī)變量的線性組合還是高斯高斯過程通過線性系統(tǒng)還是高斯過程 hdiiiY tXtXh ttttttn若X(t)是高斯過程，則g(t)Y(t)也是高斯過程。高斯過程乘以確定函數(shù)g(t)還是高斯過程對任意n，若X1,Xn服從聯(lián)合高斯分布，則g1X1,gnXn也服從聯(lián)合高斯分布( )( ) ()d( )()dY tXh th u X tuu圖3.5.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3.5 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)( )(0)YXYm tm Hm(0

14、)()dHh uu 1. 隨機(jī)過程隨機(jī)過程Y(t)的均值的均值(統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均)與t無關(guān)沖激響應(yīng)的面積就是直流增益12( , )( )YYR t tRt2. 隨機(jī)過程隨機(jī)過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)。平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)還是平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)還是平穩(wěn)過程 ( , + )( )dXYXYXRt tRuRh uuttt3. X(t)和和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度X(t) 和Y(t) 的互功率譜密度 j2j2j2j2eddededdedfXYXYfXfXfuXXPfRRu h uuRuh uuPfh uuPf Hf t t ttttttt

15、2()|() |()yxPfHfPf4. Y(t) 的功率譜密度的功率譜密度樣本x(t) 和y(t) 的功率譜密度關(guān)系：隨機(jī)過程X(t) 和Y(t) 的功率譜密度關(guān)系：22()|() |()YyxXPfPfHfPfHfPfEE平穩(wěn)過程通過希爾伯特變換器：H(f)=jsign(f) H fX tX t 2XXXPfHfPfPf XXRRtt希爾伯特變換不改變功率譜和自相關(guān)函數(shù) XXXPfHf Pf XXXRRtt希爾伯特反變換是jsign(f) XXXPfHf Pf XXXRRtt H fXXtt平穩(wěn)高斯過程的解析信號等價于X(t)通過傳遞函數(shù)為1+jjsgn(f)的線性系統(tǒng)，因此Z(t)是平穩(wěn)

16、高斯過程 jZ tX tX t 21 sgn4ZXXPfPffPf u f *jjjjjj2j2ZXXXXXXXXZt Z tX tX tX t XRX tX tX t X tX ttX tX t X tRRRRRRttttttttttttttEEE +jjjjj0jXXXZXXXX tXRZ t Z tX tX tX t X tX tX t XtX t X tX tRRRRtttttttttttttEEEn令nw(t)為高斯隨機(jī)過程，其功率譜密度3.6 高斯白噪聲高斯白噪聲則稱nw(t)為高斯白噪聲 fNfPn20nnw(t)與能量信號g(t)的內(nèi)積、卷積都是均值為0、方差為N0Eg/2的高

17、斯隨機(jī)變量。 高斯白噪聲性質(zhì)高斯白噪聲性質(zhì) w00,2dgZnNt g tEtN w0,2d0gZng tEtNtttNn白高斯噪聲在正交基上的投影相互獨立 則若j1t與j2t正交則X1與X2統(tǒng)計獨立若 1w12w2ddXntttXntttjj 01122d2NtX XttjjEn3、限帶高斯白噪聲，功率譜密度HH002)(ffffNfPn *2(j)2XXZZt Z tRRRttttE3.7 窄帶平穩(wěn)高斯過程窄帶平穩(wěn)高斯過程窄帶平穩(wěn)高斯過程窄帶平穩(wěn)高斯過程就是白高斯噪聲nw(t)通過窄帶帶通濾波器的輸出X(t)X(t)的解析信號Z(t)是0均值復(fù)高斯平穩(wěn)過程：此外： )0(ZRZ t Z t

18、ttE 4ZXPfPf u f jZ tX tX tX(t)的復(fù)包絡(luò)XL(t)是0均值的復(fù)高斯平穩(wěn)過程 cj2Lf tXtZ t e ccLccccj2j2j2j2j2j2cc*cc*eeeee2je2cos22+2jcos2sin2sinftf tXftf tffZXXXXXXRZtZ tZt Z tRRRffRRfRRfttttttttttttttttttEE Lcccccc440XZXXPfPffPffffPffufff其他復(fù)包絡(luò)的功率譜是窄帶過程功率譜的正頻率部分向下搬移注：當(dāng)ffc時，因為是窄帶信號，所以PX(f+fc)=0此外： ccLLLj2j2e)e0(ftf tXRXt Xt

19、Z tZ tttttE=E因此，XL(t)的實部（同相分量）Xc(t)及虛部（正交分量）Xs(t)都是0均值高斯平穩(wěn)過程。 LcsjXtXtXt ccsccos2sin2X tXtf tXtf t *cLLL1Re2XtXtXtXt *sLLL1Im2jXtXtXtXt cLLL*LLLL*1411Re42XXXXRXtXtXtXtRRRttttttE sLLL*LLLL*1411Re42XXXXRXtXtXtXtRRRtttttt E因此，X(t)的同相分量Xc(t)及正交分量Xs(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)，因而也具有相同的功率譜密度。 csLcc1Re2cos22sinXXXXXRRRRf

20、fRttttttt=由此得到 cs000XXXRRRX(t)的功率=其同相分量Xc(t)的功率=其正交分量Xs(t)的功率，三者有相同的一維概率密度函數(shù)。另外，給定t時，Xc(t)及Xs(t)具是兩個獨立同分布的零均值高斯隨機(jī)變量。 LLLL*LLLLc22*LLs*Im1Re1122j1=044j00XXXtXtXtXtXt XtXRtXtXtXtjR EEEE對自相關(guān)函數(shù)做傅氏變換： cscccccccc=0XXXXXXu ffu fPfPfPffPffPffPffffff其他注：當(dāng)ffc時，u(fcf)=0，PX(f+fc)=0當(dāng)PX(f)對稱于fc時，XL(t)的功率譜是偶函數(shù)，其自相關(guān)函數(shù)是實函數(shù)，于是 cLcLLcsj2j2ccc11ReRee221Re e21cos22cos2cos2fXZXfXXXXRRRRRfRfRftttttttttttt窄帶平穩(wěn)高斯過程的一維概率分布窄帶平穩(wěn)高斯過程的一維概率分布cscs22cscscs221(,)()()exp22X XXXxxpx xpxpxnXc(t)、Xs(t)的概率密度n將Xc+jXs轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)：a e