高等代數(shù)課件：8-4 矩陣相似的條件

1、定理：定理：數(shù)字矩陣數(shù)字矩陣 相似相似 與等價(jià)與等價(jià).,A BEAEB設(shè)設(shè)P為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 若有若有 ，,n nA BP 00,n nP QP 則則A與與B相似相似.證：由證：由 00PEB Q EA 0000PQP BQ 得得 0000,PQEP BQA即即100,PQ 00EAPEB Q 使使 A與與B相似相似.100.AQBQ 0000P EQP BQ 對(duì)任意對(duì)任意 及任意及任意 -矩陣矩陣n nAP ,UV 0UEA QU使使 0VREAV 一定存在一定存在 -矩陣矩陣 及及 ,QR00,n nUVP 證：證：這里這里 且且 01,n nmD DDP 00.D 1011,mmmmUDDD

2、D 設(shè)設(shè) i) 若若 則令則令 0,m 000,.QUD ii）若若 設(shè)設(shè) 0,m 120121( ),mmmmQQQQQ這里這里 為待定矩陣為待定矩陣.n niQP 于是于是 1010mmQQAQ 1121m kkkmmmQAQQAQAQ EA Q 要使要使式成立，只需取式成立，只需取 00101112110kkkmmmmmQDQAQDQAQDQAQDAQUD 即即 00110111201kkkmmmmmQDQDAQQDAQQDAQUDAQ 即可即可.同理可證同理可證. 設(shè)設(shè) ，則，則A與與B相似相似 ,n nA BP 特征矩陣特征矩陣 與與 等價(jià)等價(jià).EA EB 證：證： 若若A與與B相似

3、，則存在可逆矩陣相似，則存在可逆矩陣T，于是于是 1TEB T 由定理由定理6之推論，得之推論，得EA 與與 等價(jià)等價(jià). EB 1.ATBT 使使EA 1ETBT 若若 與與 等價(jià)，等價(jià)，EA EB 則存在可逆則存在可逆 矩陣矩陣 ，使，使 ( ),( )UV( )() ( ).EAUEB V ( )R 及及 ，使，使00,n nU VP 存在存在 矩陣矩陣 ( ),Q 由引理由引理2，對(duì)于，對(duì)于A，( ),( )UV 0UEA QU 0VREAV 由由，有，有 1UEAEB V 0EBREAV即，即， 10UEB REAEB V 比較兩端，得比較兩端，得 1n nTUEB RP 0TEAEB

4、 V 下證下證T可逆可逆. 由由有，有， .UTEUEB R即即 EUTUEB R 1UTEA VR 10EA QUTEA VR 10U TEAQVR 比較兩端，得比較兩端，得 10EAQVR 故故T可逆可逆.由引理由引理1，A與與B相似相似. 0.U TE 10.EATEB V 于是于是 推論推論: :設(shè)設(shè) 則則 相似相似 ,n nA BP ,A B特征矩陣特征矩陣 與與 有相同的不變因子有相同的不變因子. EA EB 證證: 相似相似,A BEA 與與 等價(jià)等價(jià).EB 與與 有相同的不變因子有相同的不變因子. EA EB 矩陣矩陣A的不變因子的不變因子.推論說明，矩陣的不變因子是相似不變量

5、推論說明，矩陣的不變因子是相似不變量.因此，可把一個(gè)線性變換的任一矩陣的不變因子因此，可把一個(gè)線性變換的任一矩陣的不變因子定義為此線性變換的不變因子定義為此線性變換的不變因子. 矩陣矩陣A的特征矩陣的特征矩陣 的不變因子也稱為的不變因子也稱為EA 對(duì)對(duì) 有秩有秩 ,n nAP ().EAn 從而，從而，A有有n個(gè)不變因子，這個(gè)不變因子，這n個(gè)個(gè)不變因子的乘積不變因子的乘積 等于等于 ,EA 1( ).niidEA 即，即，例例1. 證明：下列三個(gè)矩陣彼此都不相似證明：下列三個(gè)矩陣彼此都不相似.0 00 01 000 ,01 ,010 00 00 0aaaAaBaCaaaa證：證： 的不變因子是：的不變因子是： EA 123,dadada的不變因子是：的不變因子是： EB 的不變因子是：的