高等代數(shù)課件：8-6 若當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)

1、若當(dāng)塊若當(dāng)塊 00000000100000001n nJ 的初等因子是的初等因子是 0.n 00000000100000001n nEJ 00.nEJ此即此即 的的 級行列式因子級行列式因子. 0EJ n又又 有一個(gè)有一個(gè) 級子式是級子式是 0EJ 1n 01010001001001001n 所以所以 的的 級行列式因子為級行列式因子為1. 0EJ 1n 從而，從而， 的的 級行列式因子皆為級行列式因子皆為1.0EJ 2,2,1n 0J 的不變因子是的不變因子是: 1101,.nnnddd 故故 的初等因子是的初等因子是: 0J 0.n 若當(dāng)形矩陣若當(dāng)形矩陣 12,sJJJJ 其中其中 000

2、100000001iiiiiiikkJ 則則J 的全部初等因子是：的全部初等因子是： 1212() , () , () .skkks證：證： 的初等因子是的初等因子是 () ,1,2,ikiisiJiEJ 與矩陣與矩陣 等價(jià)等價(jià). 111iki 于是于是 12sEJEJEJEJ 與矩陣與矩陣 D 1212111111skkks 等價(jià)等價(jià). 由定理由定理9， 的全部初等因子是：的全部初等因子是： J1212() , () , () .skkks初等因子唯一確定初等因子唯一確定. .完全被它的級數(shù)與主對角線上的元素完全被它的級數(shù)與主對角線上的元素 所刻劃，所刻劃，0 而這兩個(gè)數(shù)都反應(yīng)在它的初等因子

3、而這兩個(gè)數(shù)都反應(yīng)在它的初等因子 上上. .0()n 可見，每個(gè)若當(dāng)形矩陣的全部初等因子就是它可見，每個(gè)若當(dāng)形矩陣的全部初等因子就是它的全部若當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的的全部若當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的. . 由于每個(gè)若當(dāng)塊由于每個(gè)若當(dāng)塊因此，因此，若當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定若當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定. .從而，若當(dāng)形矩陣從而，若當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊的排序外被它的除去其中若當(dāng)塊的排序外被它的（定理定理10）每一個(gè)復(fù)矩陣）每一個(gè)復(fù)矩陣A都與一個(gè)若當(dāng)形矩陣都與一個(gè)若當(dāng)形矩陣相似，且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排序外是相似，且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排序外是 被矩陣被矩陣A唯一決定的，它稱為唯一決定的，它稱

4、為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.1.證：若證：若n 級復(fù)矩陣級復(fù)矩陣A的全部初等因子為的全部初等因子為: （*） 1212() , () , () .skkks （其中（其中 可能有相同的，指數(shù)可能有相同的，指數(shù) 12,s 12,sk kk也可能相同的）也可能相同的）.每一個(gè)初等因子每一個(gè)初等因子 對應(yīng)于一個(gè)若當(dāng)塊對應(yīng)于一個(gè)若當(dāng)塊 ()iki 000100,1,2,000001iiiiiJis 令令 12sJJJJ 則則 J 的初等因子也是（的初等因子也是（*），），故故J 與與A相似相似. 即即J與與A有相同的初等因子有相同的初等因子.變換，在變換，在 V中必定存在一組基，使中必定存在一組基，

5、使 在這組基下在這組基下 的矩陣是若當(dāng)形矩陣，并且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去的矩陣是若當(dāng)形矩陣，并且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去2.定理定理10換成線性變換的語言即為換成線性變換的語言即為（定理定理11）設(shè)是復(fù)數(shù)域上）設(shè)是復(fù)數(shù)域上n維線性空間維線性空間V的線性的線性 若當(dāng)塊的排序外是被唯一確定的若當(dāng)塊的排序外是被唯一確定的. 的初等因子全是一次的的初等因子全是一次的.A3.特殊情形特殊情形（定理定理12）復(fù)矩陣）復(fù)矩陣 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似的不變因子沒有重根的不變因子沒有重根.A（定理定理13）復(fù)矩陣）復(fù)矩陣 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似4.n 階復(fù)矩陣階復(fù)矩陣A的最小多項(xiàng)式就是的最小多項(xiàng)式就是A的

6、最后一個(gè)的最后一個(gè)不變因子不變因子.( )nd 證：設(shè)證：設(shè)A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是12,sJJJJ 1.siinn 其中其中 000100,000001iiiiiiinnJ ,1,2, .iniis 由一知，的最小多項(xiàng)式是由一知，的最小多項(xiàng)式是iJ由不變因子與初等因子的關(guān)系知，由不變因子與初等因子的關(guān)系知，1212( )() , () , ().skkknsd由由7.97.9中引理中引理3 3之推論之推論知，知，( )nd 為為A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式.又相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式與不變因子，又相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式與不變因子，所以，所以，A的最小多項(xiàng)是它的最后一個(gè)不變因子的

7、最小多項(xiàng)是它的最后一個(gè)不變因子( ).nd 例例1、求矩陣、求矩陣A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 解：解： 11 233 622 4A 112336224EA 211220 220 21210 2202 21 000 0202 1 00000 02 A的初等因子為的初等因子為 ,2 . 故故 A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 0 0 00 0 0 .0 0 221000 2202 21 000 0200 求求A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 例例2、已知、已知12級矩陣級矩陣A的不變因子為的不變因子為 2222291,1,1,(1) ,(1)1 ,11 (1) 個(gè)個(gè) 解：依題意，解：依題意，A的初等因子為的初等因子為 2221,1,1,1 , 221 ,iiA的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 1 01 11 01 11 01 11