高三數(shù)學(xué)橢圓的概念、性質(zhì)

1、高 三 數(shù) 學(xué)-圓錐曲線【教學(xué)內(nèi)容】 橢圓的概念、性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系及橢圓的應(yīng)用?！窘虒W(xué)目標(biāo)】 1、熟練掌握橢圓的定義：到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡，并能靈活地運(yùn)用定義來解決有關(guān)問題。 2、熟練掌握中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、（ab0）及它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及離心率、長軸長、短軸長、焦距的計(jì)算。 3、能運(yùn)用圖象法，判別式法來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來討論弦長、三角形面積、點(diǎn)到直線的距離等問題?！局R(shí)講解】 例1、已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，長、短軸都坐標(biāo)上，且過點(diǎn)A（3，0），求橢圓的方程。

2、分析 橢圓的長、短軸都在坐標(biāo)軸上，實(shí)質(zhì)上就表示橢圓的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么橢圓的方程一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，但是由于不知道橢圓的焦點(diǎn)到底在x軸，還是在y軸上，因此要分兩種情形來討論。 解：1若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的方程為，把點(diǎn)A（3，0）代入得則a2=9，b2=1，所以所求橢圓方程為。 2若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的方程為同理可得a2=81，b2=9，此時(shí)橢圓的方程為。 例2、若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，兩焦點(diǎn)與兩短軸端點(diǎn)正好是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，又焦點(diǎn)到同側(cè)長軸端點(diǎn)的距離為，求橢圓的方程。 解：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖，四邊形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由橢圓的幾何意義可知，解之得：

3、，此時(shí)橢圓的方程為，同理焦點(diǎn)也可以在y軸上，綜上所述，橢圓的方程為或。 例3、橢圓的焦點(diǎn)分別是F1和F2，過中心O作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若ABF2的面積是20，求直線方程。 解：由橢圓的對(duì)稱性可知，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1 / 12x1，y1），則，又由條件可知a2=45，b2=20，則c=5，|y1|=4，代入橢圓可知x1=3，直線AB的方程為。 例4、底面直徑為12cm的圓柱被與底面成30的平面所截，截口是一個(gè)橢圓，求這個(gè)橢圓的長、短軸長及離心率。 解：設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，由題意可知，b=R=6，又因?yàn)榻孛媾c底面所成角等于30，則，橢圓的長軸長為8，短軸長為12， 離心率。

4、 例5、設(shè)A（x1，y1）為橢圓x2+2y2=2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作一條直線，斜率為，又設(shè)d為原點(diǎn)到直線的距離,r1、r2分別為點(diǎn)A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離。求證：為定值。 分析 根據(jù)橢圓的第二定義，即到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比等于常數(shù)e（0e1）的點(diǎn)的軌跡是橢圓，橢圓上任一點(diǎn)P（x1，y1）到左焦點(diǎn)F1的距離|PF1|=a+ex1，到右焦點(diǎn)F2的距離|PF2|=a-ex1；同理橢圓上任一點(diǎn)P（x1，y1）到兩焦點(diǎn)的距離分別為a+ey1和a-ey1，這兩個(gè)結(jié)論我們稱之為焦半徑計(jì)算公式，它們?cè)跈E圓中有著廣泛的運(yùn)用。 解：由橢圓方程可知a2=2，b2=1則c=1，離心率，由焦半徑公式可知，。又直線

5、的方程為：即x1x+2y1y-2=0，由點(diǎn)到直線的距離公式知，又點(diǎn)（x1，y1）在橢圓上，2y12=2=x12，為定值。 例6、已知橢圓，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M，使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F1、F2距離的等比中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說明理由。 解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)M（x1，y1）a2=4，b2=3，a=2，c=1，點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離，或，這與x1-2，0)相矛盾，滿足條件的點(diǎn)M不存在。 例7、直線：6x-5y-28=0交橢圓（ab2）于B、C兩點(diǎn)，A（0，b）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，而ABC的重心與橢圓的右焦點(diǎn)F重合，求橢圓的方程。 解：設(shè)B

6、C的中點(diǎn)D（x0，y0）, F（c，0）,由定比分點(diǎn)公式可知，,，又點(diǎn)D在直線上，又設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2）則 兩式相減得：，代入得：，2a2-5bc=0 又a2=b2+c2由、可得c=2或。當(dāng)c=2時(shí)，代入得b=4，則a2=20，當(dāng)時(shí)，舍去。所求橢圓的方程為。 例8、已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn)A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。 分析：若直線y=kx+b與圓錐曲線f（x，y）=0相交于兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2、y2），則弦PQ的長度的計(jì)算公式為，而，因此只要把直線y=kx+b的方程代入圓錐曲線f（x，y）=0方程，消去y（或

7、x），結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出弦長。 解：設(shè)A（x0，0）（x00），則直線的方程為y=x-x0，設(shè)直線與橢圓相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0， x2+2y2=12，則，即x02=4，又x00，x0=2，A（2，0）。 例9、已知橢圓（ab0）上兩點(diǎn)A、B，直線上有兩點(diǎn)C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線的方程。 解：圓方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圓心O（0，1），半徑r=3。 設(shè)正方形的邊長為p，則，又O是正方形ABCD的中心，O到直線

8、y=x+k的距離應(yīng)等于正方形邊長p的一半即，由點(diǎn)到直線的距離公式可知k=-2或k=4。 （1）設(shè)AB：y=x-2 由 y=x-2 CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0 得A（3，1）B（0，-2），又點(diǎn)A、B在橢圓上，a2=12，b2=4，橢圓的方程為。 （2）設(shè)AB：y=x+4，同理可得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，4），（-3，1）代入橢圓方程得，此時(shí)b2a2（舍去）。綜上所述，直線方程為y=x+4，橢圓方程為。 例11、曲線2x2+y2=2a2（a0）與連結(jié)A（-1，1），B（2，3）的線段沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍。 解：（1）若A、B在橢圓外部，則方程2x2+y2=2a2與直線AB的

9、方程2x-3y+5=0組成的方程組無實(shí)數(shù)解，由 消去y得 22x2+20x+25-18a2=0無實(shí)數(shù)解，令解得。 （2）若A、B兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi)部，顯然交點(diǎn)B在橢圓上時(shí)是線段AB與橢圓有公共點(diǎn)的最大橢圓此時(shí)可解得，時(shí)，橢圓與線段AB無公共點(diǎn)，故所求a的取值范圍是或。 例12、AB是橢圓（ab0）中不平行于對(duì)稱軸的一條弦，M是AB的中點(diǎn)，O是橢圓的中心，求證：為定值。 解：設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），又點(diǎn)A、B在橢圓上，則為定值。 說明：若一條動(dòng)直線與橢圓相交于兩個(gè)點(diǎn)A、B，我們常常采用“設(shè)點(diǎn)法”設(shè)出點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程， 兩式相減即可得

10、到 x1+x2，y1+y2及x1-x2，y1-y2的關(guān)系了，往往可以簡化計(jì)算，達(dá)到很理想的效果，這種“設(shè)而不求”的解題思想在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用，我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要充分注意。 例13、求以直線為準(zhǔn)線，原點(diǎn)為相應(yīng)焦點(diǎn)的動(dòng)橢圓短軸MN端點(diǎn)的軌跡方程。 分析 已知了橢圓的焦點(diǎn)及相應(yīng)準(zhǔn)線，常常需要運(yùn)用橢圓的第二定義：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率e，而該題中短軸端點(diǎn)也是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，因此只要運(yùn)用第二定義結(jié)合a、b、c的幾何意義即可。 解：設(shè)M（x，y），過M作于A，又過M作軸于O，因?yàn)辄c(diǎn)M為短軸端點(diǎn)，則O必為橢圓中心，化簡得y2=2x，短軸端點(diǎn)的軌跡方程為y2=2x（x0）。

11、例14、橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1相交于A、B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為，求a、b的值。 解：直線OC的方程為：， ， C又,點(diǎn)A、B為直線y=x+1與圓的兩個(gè)交點(diǎn)。解方程組可得，又點(diǎn)A、B在橢圓ax2+by2=1上，所以 例15、已知橢圓（ab0），P為橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，（1）若，求證：離心率；（2）若，求證：的面積為。 分析：的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，另一點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，因此，|F1F2|=2c，所以我們應(yīng)以為突破口，在該三角形中用正弦定理或余弦定理，結(jié)合橢圓的定義即可證得。 證明：（1）在中，由正弦定理可知，則 （2）

12、在中由余弦定理可知。 例16、過點(diǎn)作直線與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OAB面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。 分析：若直接用點(diǎn)斜式設(shè)的方程為，則要求的斜率一定要存在，但在這里的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線的方程為，這樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡化了運(yùn)算。 解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入橢圓方程得：，即，此時(shí) 令直線的傾角為，則即OAB面積的最大值為，此時(shí)直線傾斜角的正切值為?！久恐芤痪殹?一、選擇題 1、如果橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則離心率e為 A. B. C. D.

13、2、已知橢圓的焦參數(shù)（焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離）為p，5、4分別為橢圓的長半軸，短半軸的長，則p的值為 A. B. C. D. 3、曲線與曲線之間具有的等量關(guān)系是 A. 有相等的長、短軸 B. 有相等的焦距 C. 有相等的離心率 D. 有相同的準(zhǔn)線 4、P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是焦點(diǎn)，若F1PF2=30，則F1PF2的面積等于 A. B. C. D. 16 5、設(shè)一動(dòng)點(diǎn)P到直線x=5的距離與它到點(diǎn)A（1，0）的距離之比為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 A. B. C. D. 6、焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)，離心率為，一條準(zhǔn)線方程是y=3的橢圓方程是 A. B. C. D. 7、若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，

14、兩個(gè)焦點(diǎn)與兩個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，又焦點(diǎn)到同側(cè)長軸端點(diǎn)的距離為，則橢圓的方程是 A. B. C. D. 或 8、已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P（4，2）則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率等于 A. B. C. 2 D. 2 二、填空題 9、過橢圓x2+2y2=2的焦點(diǎn)引一條傾斜角為45的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，橢圓的中心為O，則AOB的面積為 _。 10、P為橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，已知P點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 _。 11、直線x-2y+2=0與橢圓x2+4y2=4相交所得的弦長為 _。 12、已知橢圓的離心率，則a的值等于 _。 三、解答題 13、ABC中三邊長度|AB|、|BC|、|CA|成等差數(shù)列，若B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（3，0）C（-3，0），求頂點(diǎn)A的軌跡。 14、已知橢圓兩準(zhǔn)線間距離為，兩焦點(diǎn)間距離為，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又橢圓過點(diǎn)（1，m），求m的值。 15、若點(diǎn)P在坐標(biāo)（-1，-3），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓上移動(dòng)，為使有最小值，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。 16、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，長軸長等于6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B，且線段AB恰被直線平分？若存在，求出直線傾角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。 17、過點(diǎn)（3，0）作直線，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，已知AOBO，求的方程。 18、經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)