高斯Gauss求積公式

1、數(shù)值分析數(shù)值分析 前面介紹的前面介紹的 n+1個節(jié)點的個節(jié)點的 newton -cotes求積公式，求積公式，其特征是節(jié)點是等距的。這種特點使得求積公式便于其特征是節(jié)點是等距的。這種特點使得求積公式便于構造，復化求積公式易于形成。但同時也限制了公式構造，復化求積公式易于形成。但同時也限制了公式的精度。的精度。 n是偶數(shù)時，是偶數(shù)時，代數(shù)精度為代數(shù)精度為n+1， n是奇數(shù)時，是奇數(shù)時，代數(shù)精度為代數(shù)精度為n 。 我們知道我們知道 n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于確度不低于n 。設想：設想：能不能在區(qū)間能不能在區(qū)間a,b上適當選擇上適當選擇n+1個節(jié)點個

2、節(jié)點 x 0 x1,x2,xn ,使插值求積公式使插值求積公式的代數(shù)精的代數(shù)精度高于度高于n？ 答案是肯定的，適當選擇節(jié)點，可使公式的精度答案是肯定的，適當選擇節(jié)點，可使公式的精度最高達到最高達到2n+1，這就是本節(jié)所要介紹的高斯求積公式。，這就是本節(jié)所要介紹的高斯求積公式。第四節(jié)第四節(jié) 高斯高斯(gauss)(gauss)求積公式求積公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析0()( ) ( )()nbkkaki fx f x dxa f x 考慮更一般形式的數(shù)值積分問題考慮更一般形式的數(shù)值積分問題定義：定義：若求積公式若求積公式 對一切對一切不高于不高于m次的多項式次的多項式p(x)都等號成立，

3、即都等號成立，即r(p)=0;=0;而對而對于某個于某個m+1+1次多項式等號不成立，則稱此求積公式的次多項式等號不成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為代數(shù)精度為m. .0( ) ( )()nbkkakx f x dxa f x 一、構造高斯型求積公式的基本原理和方法一、構造高斯型求積公式的基本原理和方法數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析定理定理1：設節(jié)點設節(jié)點x0, x1,xna,b，則求積公式，則求積公式 的的代數(shù)精度最高為代數(shù)精度最高為2n+1次。次。0( )( )()nbkkakx f x dxa f x 分別取分別取 f(x)=1, x，x2，.xr 代入公式，并讓其成為代入公式，并讓其成

4、為等式，得：等式，得： a0 + a1 + + an =ab1dx.= b-ax0 a0 + x1 a1+ +xn an =abxdx.= （b2-a 2)/2 .x0 ra0 + x1 ra1+ +xn ran =abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1)( )1,x 取取特特殊殊情情形形證證明明：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 事實上事實上,取取 2n+2次多項式次多項式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求積公式代入求積公式,這里這里 x0, x1,xn是節(jié)點，是節(jié)點，有有0( ) ( )0()0nbkkakx g x dxa g x 左左，右右左

5、左 右右,故等式不成立故等式不成立,求積公式求積公式的的代數(shù)精度最高為代數(shù)精度最高為2n+1次。次。 證畢證畢. 上式共有上式共有 r +1個個 等式，等式，2n+2個待定系數(shù)個待定系數(shù)(變元變元),要想如要想如上方程組有唯一解，應有方程的個數(shù)等于變元的個數(shù)上方程組有唯一解，應有方程的個數(shù)等于變元的個數(shù),即即 r+1=2n+2, 這樣導出求積公式的代數(shù)精度至少是這樣導出求積公式的代數(shù)精度至少是2 n+1,下面下面證明代數(shù)精度只能是證明代數(shù)精度只能是2n+1. 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析定義定義: 使求積公式使求積公式達到最高代數(shù)精度達到最高代數(shù)精度2n+1的求積公式稱為的求積公式稱為gu

6、ass求積公式。求積公式。guass求積公式的節(jié)點求積公式的節(jié)點xk稱為稱為guass點點,系數(shù)系數(shù)ak稱為稱為guass系數(shù)系數(shù).0( )( )()nbkkakx f x dxa f x 因為因為guass求積公式也是求積公式也是插值型插值型求積公式求積公式,故有故有結論結論: n+1個節(jié)點的個節(jié)點的插值型插值型求積公式的代數(shù)精度求積公式的代數(shù)精度 d 滿足滿足： n d 2n+1。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析111221( )()()(1)f x dxc f xc f x 例：例：選擇系數(shù)與節(jié)點，使求積公式（選擇系數(shù)與節(jié)點，使求積公式（1） 成為成為gauss公式。公式。解：解：n=1

7、, 由定義，若求積公式具有由定義，若求積公式具有3次代數(shù)精度，則次代數(shù)精度，則 其是其是gauss公式。公式。 為此，分別取為此，分別取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并讓代入公式，并讓 其成為等式，得其成為等式，得c1 + c2=2c1 x1+ c2 x2=0c1 x12+ c2 x22 =2/3c1 x13+ c2 x23 =0求解得：求解得：12121,33,33ccxx 1133( )()()33f x dxff 所求所求gauss公式為：公式為：(1) 用待定系數(shù)法構造高斯求積公式用待定系數(shù)法構造高斯求積公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 設設pn(x)，n=0,1,2

8、,為正交多項式序列，為正交多項式序列， pn(x)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：1）對每一個）對每一個n ,pn(x)是是 n 次多項式。次多項式。 n=0,1,2）( )( )( )0,()bijax p x px dxij (正交性正交性)( )( )( )0,1bnax p x px dxn 3）對任意一個次數(shù)）對任意一個次數(shù)n-1的多項式的多項式p(x)，有，有4）pn(x)在在(a,b)內(nèi)有內(nèi)有n個互異零點。個互異零點。（2）利用正交多項式構造高斯求積公式）利用正交多項式構造高斯求積公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析定理定理2 設設x0,x1, ,xn 是是n+1次正交多項式次正交多

9、項式pn+1(x)的的n+1 個零點個零點,則插值型求積公式則插值型求積公式是是guass型求積公式。型求積公式。證明：證明：只要證明只要證明求積公式的代數(shù)精確度為求積公式的代數(shù)精確度為2n+1,即即對對任意一個次數(shù)任意一個次數(shù)2n+1的多項式的多項式求積公式求積公式都精確成立。都精確成立。00( ) ( )(),( )nnbbikkkaakikii kxxx f x dxa f xaxdxxx 設設 f(x)為任意一個次數(shù)為任意一個次數(shù)2n+1的多項式，則有的多項式，則有 f(x)=q(x)pn+1(x)+r(x)，滿足，滿足 f(xk)=r(xk)這里，這里， pn+1(x)是是 n+1次

10、次正交多項式，正交多項式， q(x)、r(x)均是均是次數(shù)次數(shù)n的多項式。的多項式。1( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )bbbnaaax f x dxx q x px dxx r x dx 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析由性質(zhì)由性質(zhì)3）及）及(4)式，有式，有11( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )0( ) ( )()bbbnaaanbkkakx f x dxx q x px dxx r x dxx r x dxa f x 由于由于n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于于n，故有，故有00( ) ( )()()(4)nn

11、bkkkkakkx r x dxa r xa f x 即即對對 f(x)為任意一個次數(shù)為任意一個次數(shù)2n+1的多項式的多項式求積公式求積公式都都精確成立精確成立。 證畢證畢數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析利用正交多項式構造高斯求積公式利用正交多項式構造高斯求積公式的基本步驟：的基本步驟：高高斯斯點點），作作為為積積分分點點次次正正交交多多項項式式的的零零點點以以(,1. 110nxxxn niiinxfxlxflagrangexfxxx010)()()()(,.2插插值值多多項項式式作作對對用用高高斯斯點點代入積分式代入積分式)()()() )()()()()(00inibaibaniiiba

12、xfdxxlxdxxfxlxdxxfx 因此，求積系數(shù)為因此，求積系數(shù)為 baiinidxxlxa), 1 , 0()()( 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1211( ),.xf x dx 對對于于積積分分 （）試試構構造造兩兩點點高高斯斯求求積積公公式式例例 21 11xx 首首先先在在， 上上構構造造帶帶權權（ ）的的解解：正正交交多多項項式式0120110( ),( ),( ).( )1( )()( )xxxxxxxx 0)1()1()(),()(),(11211200001 dxxxdxxxxxxx 52)(22 xx 同同理理求求出出20122(),55xxx 的的 零零 點點 為

13、為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析20122( ),55xxx 以以的的零零點點作作為為高高斯斯點點。其其成成為為等等式式。依依次次代代入入上上式式兩兩端端，令令將將形形如如次次代代數(shù)數(shù)精精度度，求求積積公公式式應應有有兩兩點點高高斯斯公公式式xxfxfaxfadxxfxn, 1)()()()()1(3, 11111002 )52()52()1()1(1011210112aaxdxxaadxx 3410 aa聯(lián)聯(lián)立立解解出出 )52()52(34)()1(112ffdxxfx為為得得到到兩兩點點高高斯斯求求積積公公式式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析常用的高斯求積公式常用的高斯求積公式1.ga

14、uss - legendre 求積公式求積公式 (1)其中其中高斯點為高斯點為legendre多項式的零點多項式的零點 110()()nkkkfx dxafx guass點點xk, guass系數(shù)系數(shù)ak都有表可以查詢都有表可以查詢.數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析110( )()nkkkf x dxa f x 110,( )2 (0)nf x dxf 111( )( 0.5773502692)(0.5773502692)nf x dxff 112( )0.555555556 ( 0.7745966692)0.888888889 (0)0.555555556 (

15、0.7745966692)nf x dxfff 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析11:1.5xdx 運運用用三三點點高高斯斯- -勒勒讓讓德德求求積積公公式式與與辛辛卜卜生生求求積積公公式式計計算算積積分分例例111.50.555556( 0.7254032.274596)0.888889 1.52.39970:9xdx 由由三三點點高高斯斯- -勒勒讓讓德德求求積積公公式式有有解解1111.5( 0.54 1.52.5)2.3957423xdx 由由三三點點辛辛卜卜生生求求積積公公式式有有111.52.399529xdx 該該積積分分的的準準確確值值數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析一般區(qū)間的

16、一般區(qū)間的gauss - legendregauss - legendre 求積公式求積公式 如果積分區(qū)間是如果積分區(qū)間是a,b，用線性變換，用線性變換 11( )()222bababaabf x dxftdt 這樣就可以用這樣就可以用gauss - legendregauss - legendre求積公式計算一求積公式計算一般區(qū)間的積分般區(qū)間的積分.將積分區(qū)間從將積分區(qū)間從a,b變成變成-1,1,由定積分的換元積由定積分的換元積分法有分法有22baabxt 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析11( )( 0.577)(0.577)gausslegendref t dtff 由由兩兩點點求求積積

17、公公式式100101100110( )1,( )()()f x dxngausslegendregaussxxa af x dxa f xa f xgauss 對對積積分分， 試試利利用用的的兩兩點點求求積積公公式式構構造造型型求求積積公公式式。例例即即確確定定和和使使為為型型求求積積公公式式。1110111111()()(1),2222111( )( (1)( )222xabba ttdxdtf x dxft dtf t dt 先先作作變變量量代代換換于于是是解解：1101111111( )( (1)( (1 0.577)( (1 0.577)222222f x dxft dtff 得得數(shù)值

18、分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析111012301231( )( )( )( )( )( )f t dtgausslegendref t dta f ta f ta f ta f t 對對積積分分用用四四點點求求積積公公式式10012301231001122330( )3,( )()()()()f x dxngausslegendregaussxxxxa a a af x dxa f xa f xa f xa f xgauss 對對積積分分， 試試利利用用的的四四點點求求積積公公式式構構造造型型求求積積公公式式。即即確確定定和和使使為為型型求求例例積積公公式式。1110111111()()(1),

19、2222111( )( (1)( )222xabba ttdxdtf x dxft dtf t dt 先作變量代換先作變量代換于是于是解：解：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析,(0,1,2,3)iitai 可查表得到 和可查表得到 和原積分原積分110101230123012012331( )( )21( )( )( )( )21111( (1)( (1)( (1)22221( (1)211(1)0,1,2,322iiiif x dxf t dta f ta f ta f ta f ta fta fta fta ftxtaai 即有即有數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析10( )0.173927

20、 (0.069432)0.326073 (0.330009)0.326073 (0.669991)0.173927 (0.930518)f x dxffff 于于是是01230.8611360.3399810.3399810.8611360.3478550.6521450.6521450.3478550.0694320.3300090.6699910.9305680.1739270.3260730.3260730.173927iiiiitaxa 列表如下：列表如下：11(1)0,1,2,322iiiixtaai數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析例例 利用高斯求積公式計算利用高斯求積公式計算解解:

21、 令令x=1/2 (1+t), 則則用用高斯高斯-legendre求積公式計算求積公式計算.取取n=4 積分精確值為積分精確值為i=ln2=0.69314718由此可見，高斯公式精確度是很高的由此可見，高斯公式精確度是很高的.101dxx 110113dxdtixt 0.69314719i 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析例例:分別用不同方法計算如下積分分別用不同方法計算如下積分,并做比較并做比較各種做法比較如下：各種做法比較如下：1、用、用newton-cotes公式公式當當n=1時，即用梯形公式，時，即用梯形公式，i0.9270354當當n=2時時, 即用即用simpson公式公式, i

22、0.9461359當當n=3時時, i 0.9461090當當n=4時時, i 0.9460830當當n=5時時, i 0.946083010sinxidxx i準準=0.9460831=0.9460831數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 10sin(0)2( )(7 )(1)20.94569086xhdxff hfhfx 2:用復化梯形公式用復化梯形公式 令令h=1/8=0.1253：用復化辛卜生公式：用復化辛卜生公式 令令h=1/8=0.125 10sin(0) 4( )(7 )2(2 )(6 )(1)30.9460833xdxxhff hfhfhfhf i準準=0.9460831數(shù)值分析

23、數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析4、用用romberg公式公式k tn sn cn rn0 0.9207355 1 0.9397933 0.94614592 0.9445135 0.9460869 0.94008303 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 i準準=0.9460831數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1sin(0.77459071)20.55555560.77459071i 5、用、用gauss公式公式解：解：令令x=(t+1)/2, 9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.

24、0(21sin i1sin20.888888901 1sin(0.77459071)20.55555560.94608310.77459071 11sin(1)/ 21tidtt i準準=0.9460831（2）用）用3個節(jié)點的個節(jié)點的gauss公式公式（1）用）用2個節(jié)點的個節(jié)點的gauss公式公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析算法比較算法比較n此例題的精確值為此例題的精確值為0.9460831.n由例題的各種算法可知：由例題的各種算法可知：n對對newton-cotes公式，當公式，當n=1時只有時只有1位有效位有效數(shù)字，當數(shù)字，當n=2時有時有3位有效數(shù)字，當位有效數(shù)字，當n=5時有時

25、有7位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。n對復化梯形公式有對復化梯形公式有2位有效數(shù)字，對復化辛卜位有效數(shù)字，對復化辛卜生公式有生公式有6位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。n用復合梯形公式，對積分區(qū)間用復合梯形公式，對積分區(qū)間0，1二分了二分了11次用次用2049個個函數(shù)值，才可得到函數(shù)值，才可得到7位準確數(shù)字。位準確數(shù)字。n用用romberg公式對區(qū)間二分公式對區(qū)間二分3次，用了次，用了9個個函函數(shù)值，得到同樣的結果。數(shù)值，得到同樣的結果。n用用gauss公式僅用了公式僅用了3個個函數(shù)值，就得到結果。函數(shù)值，就得到結果。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2.gauss-chebyshev2.gauss-chebys

26、hev公式公式1120( )()1niiif xdxa f xx (0)(0,1,)121cos(0,1, )2(1)iix innchebychevixinn 其其中中是是階階多多項項式式的的零零點點(0,1, )1iainn 求求積積系系數(shù)數(shù)是是 21( ),1,11xxx 權權常用的高斯求積公式常用的高斯求積公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析3.gauss-laguerre3.gauss-laguerre公式公式00()()nxiiiefx dxa fx 000000( )( )( )( )()()( )xxxnxiiiif x dxf x dxee f x dxef x dxa f

27、xf xe f x 求求某某一一個個無無窮窮區(qū)區(qū)間間，上上的的積積分分, ,其其中中( (1 1) ) 95,( ),0,.xxex 積積分分點點和和求求積積系系數(shù)數(shù)查查表表權權()00 ,)(0)( ), ,)0,)( )()()xaxa tataaaef x dxxatxatgausslaguerreef x dxef at dteef at dt 對對區(qū)區(qū)間間上上的的積積分分，通通過過變變量量代代換換將將變變?yōu)闉椋僭儆糜们笄蠓e積公公式式計計算算(2)(2)積積分分數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析4.gauss-hermite4.gauss-hermite公式公式20( )()(0,1,

28、 )96nxiiiiief x dxa f xxa in 同同前前，求求積積分分其其中中，積積分分點點 和和求求積積系系數(shù)數(shù)可可查查表表數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 (22)0(22)211011( ),( ) ( )()( )( )( )( )(22)!( , ),( )()()3)nnbkkaknbnannfxa bx f x dxa f xfr fx wx dxna b wxxxxxxx （）若若在在上上連連續(xù)續(xù)，則則高高斯斯求求積積公公式式的的截截斷斷誤誤差差為為：其其中中定定理理 ：0121212121,( )21( ),()()(0,1, )()()(0,1, )nnniini

29、innxxxf xhermitenhxhxf xinhxfxin 因因為為 階階高高斯斯求求積積公公式式有有次次代代數(shù)數(shù)精精度度，因因此此，用用點點對對作作插插值值，得得到到次次插插值值多多項項式式并并且且滿滿足足：證證明明：二、高斯型求積公式的截斷誤差和穩(wěn)定性分析二、高斯型求積公式的截斷誤差和穩(wěn)定性分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析已知已知hermitehermite插值誤差是插值誤差是(22)2210(22)2210( )( )( )()(22)!( )( ) ( )( )( )( )()(22)!nnniinnbbbniaaaiff xhxxxnfx f x dxx hx dxxxxd

30、xn 因為對因為對2n+12n+1次多項式求積公式準確成立，即次多項式求積公式準確成立，即 niiiniinibanxfaxhadxxhx001212)()()()( 代入上式代入上式 baniinniiibadxxxxnfxfadxxfx02)22(0)()()!22()()()()( 即有即有 babaniinniiidxxxxnfxfadxxfxfr02)22(0)()()!22()()()()()( 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析以下將證明高斯形求積公式的求積系數(shù)恒正以下將證明高斯形求積公式的求積系數(shù)恒正( ) ( )0biiaax l x dx 即即：022220( ) ( )()( )( )( )2,( ) ( )()bnkkkaiibnik ikikax f x dxa f xf xlxlxnx lx dxa lxa 在在高高斯斯求求積積公公式式中中，取取，為為次次多多項項式式，求求積積公公式式等等式式成成立立2( ) ( )( )( )0bbiiiaaax lx dxx lx dx 0( )1,( )bnkkaf xx dxa 取取有