華南理工大學高等數(shù)學統(tǒng)考卷下213

1、高等數(shù)學下冊試卷201477姓名： 學院與專業(yè)： 學號： 一、 填空題每小題4分，共20分1. 極限 0 2. 函數(shù)在點處可微分是它在該點有方向導數(shù)的 充分 條件3. 曲面在點處的切平面方程是4. 假設l為圓的右半部分，則5. 向量場在點處的散度是 二、（本題8分）函數(shù)，試研究在點的可微性解 ，函數(shù)在點的全增量為，由于，由夾逼準則可得，從而，由定義可知該函數(shù)在點可微。三、（本題8分）設，其中具有連續(xù)偏導數(shù), 求 解 方程兩邊取微分整理得于是四、（本題8分）計算二重積分，其中解 作圖為位于第一象限的部分，由對稱性五、（本題8分）計算，其中l(wèi)為下列閉曲線，沿逆時針方向：（1）點在l所圍區(qū)域之外；（

2、2）點在l所圍區(qū)域之內。解 在這里，進而在點以外成立且連續(xù)，從而（1）點在l所圍區(qū)域之外，由格林公式，可得=0；（2）點在l所圍區(qū)域之內，可以為中心做一個適當小的圓，使得這個小圓包含在l的內部，取逆時針方向，設。從而l與的負向構成了所圍成的區(qū)域的正向邊界，且可用格林公式，得=0；從而，對新的積分在所圍區(qū)域再用格林公式，得（后面步驟也可用代入去計算的，繁些）六、（本題8分）求拋物面殼的質量，此殼的密度按規(guī)律而變化。解 拋物面殼的質量由于。，其中的投影區(qū)域用極坐標計算七、（本題8分）計算曲面積分，式中是上半球面的下側。（試卷印成區(qū)內側，同義）解 解法一 由第二型曲面積分的對稱性，得，所以解法二 取

3、曲面，取上側，配合構成上半球體的表面的內側。用高斯公式（用對稱性再先二后一，用球坐標繁一些）八、（本題6分）設曲線積分與路徑無關，其中的一階導數(shù)連續(xù)，且。（1）求，（2）計算曲線積分。解 （1）由曲線積分與路徑無關，可得，即從而，即，由，可得（2）或。九、（本題6分）求微分方程的通解。解 對應齊次方程 的特征方程為，解得。對應齊次方程通解為。非齊次項與標準形式比較，得，從而不是對應齊次方程的特征根，故待定的特解可設為，由于，代入原方程，得，所以，于是非齊次方程通解為。十、化工類做（本題6分）確定函數(shù)的極值點解 解方程組，得駐點再有。在點處，有；在點處，有；在點處，有；在點處，有。從而得該函數(shù)的

4、極大值點為，極小值點為。十一、化工類做（本題7分）證明函數(shù)在橢圓上任一點處沿橢圓法向的方向導數(shù)恒等于0。證 設為橢圓上任一點，令，則在上任一點處的法向方向可為，單位化可得，而，從而點的梯度為，故函數(shù)在橢圓上任一點處沿橢圓法向的方向導數(shù)為十二、化工類做（本題7分）求初值問題的解解 令，從而有分離變量，得，兩邊積分得，由，得。分離變量，兩邊積分得，由，得或，從而，但，初始條件不滿足，應舍去。，經(jīng)檢驗初始條件均滿足，故所求特解為。十、非化工類做（6分）判斷級數(shù)的斂散性解 因為，而，從而由比值判別法正項級數(shù)收斂，再由正項級數(shù)的比較判別法收斂。十一、非化工類做（7分）將函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)，并指出其成立區(qū)間。解 由等比級數(shù)得，從而十二、非化工類做（7分）設函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，它在