第四章電力網(wǎng)絡數(shù)學模型10.2.27PPT課件

1、10/27/20211第第4 4 章章 電力系統(tǒng)的數(shù)學模型電力系統(tǒng)的數(shù)學模型4.1 節(jié)點導納矩陣節(jié)點導納矩陣4.2 網(wǎng)絡方程的解法網(wǎng)絡方程的解法4.3 節(jié)點阻抗矩陣節(jié)點阻抗矩陣10/27/20212內(nèi)容提要內(nèi)容提要v掌握根據(jù)網(wǎng)絡的結構和參數(shù)，求出節(jié)點導納矩陣。v應用高斯消去法簡化網(wǎng)絡，求解網(wǎng)絡方程。v應用支路追加法計算阻抗矩陣各元素10/27/202134.1 節(jié)點導納矩陣節(jié)點導納矩陣 電力系統(tǒng)的數(shù)學模型主要包括電力網(wǎng)絡的模型、發(fā)電機的模型以及負荷的模型。整個電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可以用一組代數(shù)方程組來描述。電力網(wǎng)絡的運行狀態(tài)一般用節(jié)點方程來描述。節(jié)點方程以母線電壓作為待求量，母線電壓能唯一地確定網(wǎng)絡

2、的運行狀態(tài)。圖4-1(a) 簡單電力系統(tǒng)1gt2g123410/27/20214一、節(jié)點方程一、節(jié)點方程v 在圖4-1(a)中，略去變壓器的勵磁功率和線路電容，負荷用阻抗表示，可得到一個有5個節(jié)點（包括零電位點）和7條支路的等值網(wǎng)絡，如圖4-1(b)。12341e2e10y12y24y23y40y34y20y圖4-1（b）1gt2g123410/27/20215v 將接于節(jié)點1和4的電勢源和阻抗的串聯(lián)組合變換成等值的電流源和導納的并聯(lián)組合，便得到圖4-1(c)的等值網(wǎng)絡。12341e2e10y12y24y23y40y34y20y12341i10y12y24y23y40y34y20y2i圖4-1

3、(c)10/27/2021610112121()y vyvvi202122123232424()()()0yvyvvyvvyvv23323434()()0yvvyvv404244234434()()yvyvvyvvi11 112 21y vy vi21 122 223 324 40y vy vy vy v32 233 334 40y vy vy v42 243 344 44y vy vy vi 其中 和 ，分別稱為節(jié)點1和4的注入電流源。 以零電位點作為計算節(jié)點電壓的參考點，根據(jù)基爾霍夫電流定律，寫出4個獨立節(jié)點的電流平衡方程如下：1101iy e4404iy e圖4-1(c)上述方程組經(jīng)過整

4、理可以寫成：（4-2）12341i10y12y24y23y40y34y20y2i10/27/20217一般對于有n個獨立節(jié)點的網(wǎng)絡，可以列寫n個獨立節(jié)點方程或1111121212222212nnnnnnnnviyyyyyyviyyyvi11 112 211n ny vy vy vi21 122 222n ny vy vy vi1 12 2nnnn nny vy vy vi（4-3）記成 yv =iyv =i10/27/20218 矩陣y稱為節(jié)點導納矩陣。它的對角線元素yii稱為節(jié)點i的自導納，其值等于接于節(jié)點i的所有支路導納之和。非對角線元素yij稱為節(jié)點i、j間的互導納，它等于直接聯(lián)接于節(jié)點

5、i、j間的支路導納的負值。 若節(jié)點i、j間不存在直接支路，則有yij0。由此可知節(jié)點導納矩陣是一個稀疏的對稱矩陣。yv =iyv =i1111121212222212nnnnnnnnviyyyyyyviyyyvi10/27/20219如果令代入（4-3）的各式，可得：二、節(jié)點導納矩陣元素的物理意義二、節(jié)點導納矩陣元素的物理意義0kv 0jv (1,2, ,)jn jk0,jiikj kvkiyv(1,2, )in（4-6）當ki時，網(wǎng)絡中除節(jié)點i以外所有節(jié)點都接地，從節(jié)點i注入網(wǎng)絡的電流同施加于節(jié)點i的電壓之比，即等于節(jié)點i的自導納yii。換句話說，自導納yii是節(jié)點i以外的所有節(jié)點都接地時，

6、節(jié)點i對地的總導納。顯然，yii應等于與節(jié)點i相接的各支路導納之和，即：0iiiijjyyy說明： 式中，yi0為節(jié)點i與零電位節(jié)點之間的支路導納；yij為節(jié)點i與節(jié)點j之間的支路導納。10/27/202110當ki時，網(wǎng)絡中除節(jié)點k以外所有節(jié)點都接地，從節(jié)點i流入網(wǎng)絡的電流同施加于節(jié)點k的電壓之比，即等于節(jié)點k、i之間的互導納yik。在這種情況下，節(jié)點i的電流實際上是自網(wǎng)絡流出并進入地中的電流，所以yik應等于節(jié)點k、i之間的支路導納的負值，即ikikyy 0,jiikj kvkiyv(1,2, )in10/27/202111（3）不難理解yki=yik 。若節(jié)點i和k沒有支路直接相聯(lián)時，便

7、有yki=yik=010/27/202112節(jié)點導納矩陣的主要特點是：v 導納矩陣的元素很容易根據(jù)網(wǎng)絡接線圖和支路參數(shù)直觀地求得。v nn階對稱復數(shù)方陣v 導納矩陣是稀疏矩陣。它的對角線元素一般不為零，但在非對角線元素中則存在不少零元素。如果在程序設計中設法排除零元素的貯存和運算，就可以大大地節(jié)省貯存單元和提高計算速度。 10/27/202113討論網(wǎng)絡中含有非基準變比的變壓器時導納矩陣元討論網(wǎng)絡中含有非基準變比的變壓器時導納矩陣元素的計算。素的計算。v設節(jié)點p、q間接有變壓支路，如圖4-3所示。根據(jù)型等值電路，可以寫出節(jié)點p、q的自導納和節(jié)點間的互導納分別為：pq 1:kpq圖圖4-3 變壓

8、器支路的等值電路變壓器支路的等值電路zzkz1kk2z1kk111ppkykzkzz22111qqkykzk zk z1pqqpyykz 10/27/202114 例例4-14-1 某電力系統(tǒng)的等值網(wǎng)絡示于圖4-2。已知各元件參數(shù)的標幺值如下：z12=j0.105，k2l=1.05，z45=j0.184，k45=0.96，z24=0.03+j0.08，z23=0.024+j0.065，z34=0.018+j0.05，y240=y420=j0.02，y230=j0.016，y320=j0.016 ，y340=y430=j0.013。試求節(jié)點導納矩陣。123412z24z45z23z34z420y

9、430y340y230y320y240y510/27/202115123412z24z45z23z34z420y430y340y230y320y240y5解解 ：根據(jù)上述變壓器型等值電路的導納矩陣元素的計算公式。所以，導納矩陣元素為：1112119.52380.105yjzj 122121 12119.07031.050.105yyjk zj 222302402232421 1221111110.0160.020.0240.0650.030.081.050.1059.108533.1002yyyzzk zjjjjjj233223114.998913.53880.0240.065yyjzj 24

10、4224110.030.084.109610.9589yyzjj 33320340233411110.0160.0130.0240.0650.0180.0511.372831.2151yyyzzjjjjj344334116.373917.70530.0180.05yyjzj 10/27/202116將以上計算結果排列成導納矩陣為：將以上計算結果排列成導納矩陣為：444304202342445 4521111110.020.0130.0180.050.030.080.960.18410.483534.5283yyyzzk zjjjjjj455445 45115.66120.960.184yyjk

11、 zj 5545115.43480.184yjzj 9.52389.10859.07039.108533.10024.998913.53884.109610.958911.372831.21516.373917.70536.373917.705310.483534.5283 5.66125.66125.4348jjjjjjyjjjjjjj 10/27/202117三、節(jié)點導納矩陣的修改v網(wǎng)絡接線改變時，節(jié)點導納矩陣也要作相應的修改。假定在接線改變前導納矩陣元素為 ，接線改變以后應修改為 ?，F(xiàn)在就幾種典型的接線變化，說明修改增量的計算方法。 (0)ijy(0)ijijijyyy （1）從網(wǎng)絡的原

12、有節(jié)點i引出一條導納為yij的支路，同時增加一個節(jié)點k，見圖4-4(a)。 由于節(jié)點數(shù)加1，導納矩陣將增加一行一列。新增的對角線元素ykk = yik。新增的非對角線元素中，只有yik = yki =-yik，其余的元素都為零。矩陣的原有部分，只有節(jié)點i的自導納應增加yii=yik。ikyik圖4-4（a）10/27/202118（2）在網(wǎng)絡的原有節(jié)點i、j之間增加一條導納為yij的支路見圖4-4(b)。由于只增加支路不增加節(jié)點，故導納矩陣的階次不變。因而只要對與節(jié)點i、j有關的元素分別增添以下的修改增量即可，其余的元素都不必修改。即iijjijyyy ijjiijyyy ikyik圖4-4（

13、a）jiyij圖4-4（b）10/27/202119（3）在網(wǎng)絡的原有節(jié)點i、j之間切除一條導納為yij的支路。這種情況可以當作是在i、j節(jié)點間增加一條導納為-yij的支路來處理，因此，導納矩陣中有關元素的修正增量為：iijjijyyy ijjiijyyy 其他的網(wǎng)絡變更情況，可以仿照上述方法進行處理，或者直接根據(jù)導納矩陣元素的物理意義，導出相應的修改公式。jiyij圖4-4（b）10/27/202120例4-2 在例4-1的電力系統(tǒng)中，將接于節(jié)點4、5之間的變壓器的變比由k45 = 0.96，調整為k45 =0.98，試修改節(jié)點導納矩陣。123412z24z45z23z34z420y430y

14、340y230y320y240y510/27/202121pq 1:kpq圖圖4-3 變壓器支路的等值電路變壓器支路的等值電路zzkz1kk2z1kk111ppkykzkzz22111qqkykzk zk z1pqqpyykz 解：將節(jié)點p、q之間的變壓器的變比由k調整為k，相當于先切除變比為k的變壓器再接入變比為k的變壓器，所以與節(jié)點p、q有關的導納矩陣元素的修正增量為：0ppy2211qqyk zk z11pqqpyyk zkz 10/27/202122將上述關系式用于節(jié)點4和5，可得：550y44222245 4545 4511110.23820.980.1840.960.184yjk

15、zk zjj45 4545 4511110.011550.980.1840.960.184pqqpyyjk zjjk z 因此，在修改后的節(jié)點導納矩陣中 y44 =10.4853一j34.5283+j0.2382 = 10.4835j34.2901 y45 = y54 =j5.6612j0.1155 = j5.5457其余的元素都保持原值不變。10/27/202123四、支路間存在互感時的節(jié)點導納矩陣v如圖4-5(a)所示，兩條支路分別接于節(jié)點p、q之間和節(jié)點r、s之間，支路的自阻抗分別為z zpqpq和z zrsrs，支路間的互感阻抗為z zm m，并以小黑點表示互感的同名端。v考慮支路之間

16、的互感時如何求出節(jié)點導納矩陣？p q rs pqirsipqzrszmz圖45（a）10/27/202124 常用的方法是采用一種消去互感的等值電路來代替原來的互感線路組，然后就按等值電路來計算節(jié)點導納矩陣的元素。因為這兩條支路的電壓方程可用矩陣表示如下：prqspqyrsymymymymy圖45（b）pqmpqpqmrsrsrszzvvizzvvipqmpqpqmrsrsrsyyivvyyivv或寫成（4-9）（4-10）上式中的導納矩陣是阻抗矩陣的逆，其元素為：2rspqrspqmzyz zz2pqrsrspqmzyz zz 2mmrspqmzyz zz 10/27/202125將式（4-

17、10）展開，并作適當改寫，可得：（4-11）()()()pqpqpqmpsmpriyvvy vvy vv()()()rsrsrsmrqmrpiy vvy vvy vv 根據(jù)方程式（4-11）可作出消互感等值電路如圖4-5（b）所示。 在實際的電力系統(tǒng)中，互感線路常有一端接于同一條母線。若pq支路和rs支路的節(jié)點p和r接于同一條母線，則在消互感等值電路中，將節(jié)點p和r接在一起即可，所得的三端點等值電路。10/27/2021264.2 網(wǎng)絡方程的解法一、用高斯消去法求解網(wǎng)絡方程 前面已知一個電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可以用一組代數(shù)方程組來描述。如用節(jié)點方程來描述。高斯消去法是直接求解線性方程組的有效方法，所以

18、在電力系統(tǒng)分析中，網(wǎng)絡方程常采用高斯消去法求解。高斯消去法分為按列消元按行回代的算法和按行消元并進行規(guī)格化的算法二種（見附錄ii ）。 對于導納型的節(jié)點方程，高斯消去法還具有十分明確的物理意義。消去法實際上就是帶有節(jié)點電流移置的星網(wǎng)變換（見附錄）。10/27/202127附錄附錄ii 高斯消去法高斯消去法10/27/20212810/27/20212910/27/202130k次消元后次消元后10/27/202131n1次消元后次消元后10/27/202132附錄附錄iii 星網(wǎng)變換星網(wǎng)變換變換前后，節(jié)點電壓分布不變。變換前后，節(jié)點電壓分布不變。自網(wǎng)絡外部流向該節(jié)點電流不變自網(wǎng)絡外部流向該節(jié)點

19、電流不變10/27/202133多支路星形多支路星形網(wǎng)形網(wǎng)形 逆變換不成立逆變換不成立網(wǎng)絡的等值變換網(wǎng)絡的等值變換 無源網(wǎng)絡的無源網(wǎng)絡的星網(wǎng)變換星網(wǎng)變換mimkkmkkjiijzzzzzzzzz1111112111mijiijyyyyyyyyy21/n參考p254附錄310/27/20213410/27/202135現(xiàn)在我們用按列消元的算法求解方程組（43），完成第一次消元后可得：2(1)(1)(1)2nnnnny vy vi11 112 211n ny vy vy vi2222(1)(1)(1)2nny vy vi（4-12）說明說明：通過消元運算對原方程組中第2n個方程式的系數(shù)和右端項所作

20、的修正，恰好反映了帶電流移置的星網(wǎng)變換的結果。 根據(jù)導納矩陣元素的定義：可見，節(jié)電i i的電流增量恰等于從節(jié)點1 1的電流中移置過來的部分見附錄公式-7。式中式中11(1)11ijijijy yyyy(1)1111iiiyiiiy) 1 (12111111inkkiiiiyyiyy10/27/202136系數(shù)矩陣非對角線元素的修正增量：正好等于星網(wǎng)變換后在節(jié)點i、j新增導納的負值見公式-1。對角線元素的修正增量：11111112()()ijijijnkky yyyyyy 1 1111111222111122()nnniiiiikkiiknnkkkk ik ikkkky yy yyyyyyyyy

21、 恰好就是星網(wǎng)變換后，新接入節(jié)點i i的支路導納（取正值）和被拆去的支路導納（取負值）的代數(shù)和。10/27/202137v 因此，式（4-12）中的第2 n式恰好是消去節(jié)點1后網(wǎng)絡的節(jié)點方程，對方程式（4-12）再作一次消元，其系數(shù)矩陣便演變?yōu)椋?2233331111213(1)(1)(1)23(2)(2)(2)(2)(2)nnnnnnyyyyyyyyyyyy 2(1)(1)(1)2nnnnnyvyvi11 112 211n ny vy vy vi2222(1)(1)(1)2nnyvyvi（4-12）10/27/202138 一般地，作了k k次消元后所得系數(shù)矩陣為y y(k)(k)。式中，右

22、下角的n-k階子塊是作完消去節(jié)點1，2，k的星網(wǎng)變換后所的網(wǎng)絡的節(jié)點導納矩陣。1,11,1111,11( )( )( )( )( )kkknn knnknkkkkkyyyyyyyyllommlmml10/27/202139 對于n階的網(wǎng)絡方程，作完n1次消元后方程組的系數(shù)矩陣將變?yōu)樯先蔷仃嚕矗?22111211(1)(1)(1)(1)(1)(1)iiiiinniinnnnyyyyyyyyyy（413）根據(jù)附錄的公式（7），矩陣y y (n-1)(n-1)的元素表達式為： (1)(1)1(1)(1)1kkiikkjiijijkkkkyyyyy （414）（i=1,2,n； j =i,i+1,

23、 ,n）10/27/202140v 說明：當ij時，yij 表示網(wǎng)絡在原始狀態(tài)下節(jié)點i和節(jié)點j之間的互導納，它等于聯(lián)接節(jié)點i、j的支路導納的負值；而在符號下的第k項則代表通過第k次消元（即消去k號節(jié)點的星網(wǎng)變換），在節(jié)點i、j間出現(xiàn)的新支路的導納。當i j時，yii 是網(wǎng)絡在原始狀態(tài)下節(jié)點i的自導納，它等于與節(jié)點i聯(lián)接的各支路導納值之和；而在符號下的第k項，則表示通過第k次消元從節(jié) 點i拆去支路的導納同節(jié)點i新接人支路的導納之差。v 星網(wǎng)變換將網(wǎng)絡化簡并求解的過程，就是用高斯消去法求解網(wǎng)絡方程的過程。(1)(1)1(1)(1)1kkiikkjiijijkkkkyyyyy （i=1,2,n；j

24、=i,i+1, ,n）10/27/202141例43 用星網(wǎng)變換求解圖47(a)所示的網(wǎng)絡。解：第1步，將節(jié)點1的電流 分散移置到節(jié)點2、3和4，使這些節(jié)點的電流變?yōu)椋?234y12y13y14y24y40（a）4i2i3i1i1234y12y13y14y24y40（b）)1(44ii)1(22ii)1(33ii式中，(1)11111111(2,3,4)iiiiiyyiiiiiiyy41111213142kkyyyyy 10/27/2021421234y12y13y14y24y40（a）4i2i3i1i1234y12y13y14y24y40（b）)1(44ii) 1 (22ii) 1 (33i

25、i 將支路y12、y13和y14組成的星型電路圖（b）變換成接于節(jié)點2、3和4的三角形電路，然后將三角形電路中節(jié)點2、4間的一條同原有的支路y24合并，便得到圖47(c)所示的網(wǎng)絡，其中：234y(1)23y40（c）y(1)34y(1)24)1(4i)1(2i)1(3i23(1)12 1311y yyy34(1)14 1311y yyy24(1)12 142411y yyyy 經(jīng)過這步變換，節(jié)點1被消去，網(wǎng)絡的獨立節(jié)點數(shù)減為3個。10/27/202143第2步，將節(jié)點2的電流分散移置到節(jié)點3和4，使這兩個節(jié)點的電流變?yōu)椋?1)(2)(1)(2)(1)(1)2333332(1)(1)2324y

26、iiiiiyy (1)(2)(1)(2)(1)(1)2444442(1)(1)2324yiiiiiyy 然后將 和 串聯(lián)之后再同 并聯(lián)得：(1)(1)(2)(1)23243434(1)(1)2424yyyyyy(1)23y(1)24y 經(jīng)過變換，節(jié)點2被消去，網(wǎng)絡的獨立節(jié)點數(shù)減為2個，便得到圖4-7(e)所示的網(wǎng)絡。10/27/202144 然后將支路 舍去，便得到只含有一條支路和一個獨立節(jié)點的最簡網(wǎng)絡，如圖47(f)所示。 根據(jù)已知的電流 即可算出節(jié)點電壓 ，往回利用網(wǎng)絡變換，由 和 即可算出電壓 ，由 、 和 即可 算 出 節(jié) 點 電 壓 ， 最 后 由 原 始 網(wǎng) 絡 和 已 知的 、

27、、 和 便可算出節(jié)點1的電壓 。第3步，將節(jié)點3的電流分散移置到節(jié)點4，使節(jié)點4的電流變?yōu)椋?3)(2)(3)(2)(2)44443iiiii 234y(1)23y40（d）y(1)34y(1)24)2(4)1(4ii)2(3)1(3ii34y40（e）y(2)34)2(4i4y40（f）)3(4)2(4)3(4iii(1)34y(3)4i4v(3)4i4v3v(1)2i2v4v3v2v1i10/27/202145二、用高斯消取法簡化網(wǎng)絡 高斯消取法不僅用于求解網(wǎng)絡方程，也是簡化網(wǎng)絡的有效方法。利用高斯消取法簡化網(wǎng)絡，既可以逐個地消去節(jié)點，也可以一次消去若干個節(jié)點。 設有n個節(jié)點的網(wǎng)絡，擬消去

28、其中的1,2,m號節(jié)點，保留m+1，m+2，n號節(jié)點。 原網(wǎng)絡的方程如下：111211,1111212222,122212,11,11,21,1,11,112,1mmnmmnmmmmm mmnmmmmmmmmmnmnnnmn mnnnyyyyyviyyyyyviyyyyyviyyyyyviyyyyyv1mni10/27/202146111211,1111212222,122212,11,11,21,1,11,112,1mmnmmnmmmmm mmnmmmmmmmmmnmnnnmn mnnnyyyyyviyyyyyviyyyyyviyyyyyviyyyyyv 1mni或按虛線所作的分塊縮寫成：從

29、（4-15）的第一式解出：將其帶入第二式，經(jīng)整理得：aaabaababbbbyyviyyvi1()aaaaab bvyiy v11()bbba aa abbbba aa ayy yyviy yi1bbbbba aa abyyy yy1bbbba aa aiiy yi便得:bbbbyvi10/27/202147v這就是消去m個節(jié)點后的網(wǎng)絡方程，其中vb為保留節(jié)點電壓列向量。由于消去了部分節(jié)點，網(wǎng)絡保留部分的接線發(fā)生了變化，同時被消去節(jié)點的電流也必須移置到保留節(jié)點上來，因此，對導納矩陣的保留部分以及保留節(jié)點的電流都必須作相應的修改。v在電力系統(tǒng)中聯(lián)絡節(jié)點或浮游節(jié)點的注入電流為零。如果負荷用恒定阻抗

30、表示，則負荷節(jié)點也屬于之一類節(jié)點。消去這類節(jié)點時，不存在移置節(jié)點電流的問題，只需對節(jié)點導納矩陣作縮減和修改即可。10/27/202148解：根據(jù)給定條件可以求出原網(wǎng)絡的節(jié)點導納矩陣如下：例4-4 對圖4-8（a）所示的網(wǎng)絡，是求消去節(jié)點1、2、3后的節(jié)點矩陣。各支導納的標幺值已注圖中。-j0.667123456-j0.91-j5.33-j5.33-j1.05-j1.04e5e6e 圖 （a）6.910.6675.330.91000.6677.055.3301.0505.335.3311.66001.0y0.91000.910001.05001.050001.0001.0jjjjjjjjjjjj

31、ijjjjj10/27/2021491 1(1)11ijijijy yyyy(1)220.6670.6677.056.9686.91jjyjjj (1)(1)23320.6675.335.335.8456.91jjyyjjj(1)(1)24420.6670.910.0886.91jjyyjj (1)335.335.3311.667.556.91jjyjjj (1)(1)34435.330.910.7026.91jjyyjj (1)440.910.910.910.796.91jjyjjj （一）采用逐個消去節(jié)點的算法（1）消去節(jié)點1，刪去y中與節(jié)點1對應的行和 列，并按下式修改保留部分的元素。第

32、5 行（列）和第6行（列）的元素都保持原值不變。消去節(jié)點1后網(wǎng)絡的節(jié)點導納矩陣如下：(1)6.9865.8450.0881.0505.8457.5500.70201.0000.0880.7020.790001.050001.050001.000001.000jjjjjjjjyjjjjjjj 與這個矩陣對應的網(wǎng)絡示于圖4-8（b）。10/27/202150(1)(1)22(2)(1)(1)22ijijijyyyyy(2)335.8455.8457.552.6606.986jjyjjj (2)(2)34435.8450.0880.7020.7766.986jjyyjjj(2)(2)35535.84

33、51.050.8786.986jjyyjj （2）消去節(jié)點2，刪去y（1）中與節(jié)點2對應的行和列，并按下式修改保留部分的元素。(2)440.0880.0880.790.7896.986jjyjjj (2)(2)45540.0881.050.01326.986jjyyjj (2)551.051.051.050.8926.986jjyjjj 23456-j0.702-j0.088-j5.845-j1.05-j1.04e5e6e 圖 （b）10/27/2021512.6600.7760.8781.0000.7760.7890.013200.8780.01320.89201.000001.000jjj

34、jjjjyjjjjj3456-j0.776-j0.0132-j0.878-j1.0 圖 （c）4e5e6e這個導納矩陣對應的網(wǎng)絡示于圖4-8（c）。其余的元素不便，縮減并修改后的導納矩陣如下：10/27/202152（3）消去節(jié)點3，刪去y（2）中與節(jié)點3對應的行和列，并按下式修改保留部分的元素。(2)(2)33(3)(2)(2)33ijijijyyyyy修改保留部分的元素，最終得到消去節(jié)點1、2、3后網(wǎng)絡的節(jié)點導納矩陣如下：(3)40.5610.2690.29250.2920.6020.33160.2920.3310.624jjjyjjjjjj456-j0.292-j0269-j0.3314

35、e5e6e 圖 （d）對應的網(wǎng)絡示于圖4-8（d）10/27/202153（二）三個節(jié)點一次消去 對原有的節(jié)點導納矩陣按虛線分塊后可寫成： 式中 aaabbabbyyyyy6.9100.6675.3300.6677.0505.3305.3305.33011.660aajjjyjjjjjj6.9100001.0500001.000abbajyyjj0.9100001.0500001.000bbjyjj10/27/202154先算出的逆矩陣：10.4190.2820.3210.2820.4060.3150.3210.3150.376aajjjyjjjjjj然后根據(jù)公式（4-16）即可求得：10.5

36、620.2700.2920.2700.6020.3310.2920.3310.623bbbbba aa abjjjyyy yyjjjjjj10/27/2021554.3 節(jié)點阻抗矩陣節(jié)點阻抗矩陣一、節(jié)點阻抗矩陣元素的物理意義v節(jié)點方程也常寫成阻抗形式，即：zi = v式中，z=y-1是n階方陣，稱為網(wǎng)絡的節(jié)點阻抗矩陣。方程可展開寫成：1112111212222212nnnnnnnnzzzivzzzivzzziv0ki 0ji ( j =1，2， ，n ，jk )0,jiikkij kvzi代入（4-20）的各式，可得：（4-21） 現(xiàn)在討論自阻抗和互阻抗的物理意義。如果令：10/27/2021

37、56說明：自阻抗zkk等于當在節(jié)點k單獨注入電流，而所有其他節(jié)點的注入電流都 等于零時，在節(jié)點k產(chǎn)生的電壓同注入電流之比；因此，zkk可以當作是從節(jié)點走向整個網(wǎng)絡看進去的對地總阻抗?；プ杩箊ik等于在節(jié)點i產(chǎn)生的電壓同節(jié)點k的注 入電流之比。因為連通的電力網(wǎng)絡的各部分之間存在著電的或磁的聯(lián)系，所以單獨在節(jié)點k注入電流，總會在任一節(jié)點i出現(xiàn)電壓，因此，阻抗矩陣沒有零元素，是一個對稱復數(shù)滿矩陣。由于節(jié)點阻抗矩陣元素的計算是相當復雜的，不可能從網(wǎng)絡的接線圖和支路參數(shù)直觀求出。 因此目前常用的求取阻抗矩陣的方法主要有兩種：一種是以上述物理概念為基礎的支路追加法；另一種是從節(jié)點導納矩陣求取逆陣。 10/

38、27/202157二、用支路追加法形成節(jié)點阻抗矩陣v 支路追加法是根據(jù)系統(tǒng)的接線圖，從某一個與地相連的支路開始，逐步增加支路，擴大阻抗矩陣的階次，最后形成整個系統(tǒng)的節(jié)點阻抗矩陣。v 注意：第一條支路必須是接地支路，以后每次追加的支路必須至少有一個端點 同已出現(xiàn)的節(jié)點相接。新增支路引出一個新節(jié)點的情況稱為追加樹支；在已有的兩個節(jié)點間增加新支路的情況稱為追加連支。追加樹支時節(jié)點數(shù)增加一個，阻抗矩陣便相應地擴大一階。追加連支時網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)不變，阻抗矩陣階次不變。在支路追加過程中，阻抗矩陣元素的計算和修正始終是以自阻抗和互阻抗的定義作依據(jù)的。假定用支路追加法已形成有p個節(jié)點的網(wǎng)絡以及相應的p階節(jié)點阻抗

39、矩陣。下面分別按不同的情況，推到支路追加過程中阻抗矩陣元素的計算公式。10/27/20215810/27/2021591 1追加樹枝追加樹枝從已有的節(jié)點i i 接上一條阻抗為z ziqiq的支路，引出新節(jié)點q q（見圖4-10）。這使網(wǎng)絡的節(jié)點阻抗矩陣擴大一階，由原來的p p 階變?yōu)閜 p+1=q q 階。設新的阻抗矩陣為：現(xiàn)在討論阻抗矩陣中各元素的計算。阻抗矩陣中對應于網(wǎng)絡原有部分的全部元素（即矩陣中虛線左上方部分）將保持原有數(shù)值不變。iqziq圖4-10 追加樹枝qqqpqiqqpqpppippiqipiiiqpiqpizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz21211222222

40、11111211qivvqm mim mziz i或10/27/202160故有故有qmimzz（m=1，2，p） 另一方面，當節(jié)點q單獨注入電流時，從網(wǎng)絡原有部分看來，都與從節(jié)點i注入一樣，所以有這時節(jié)點q的電壓為：由此可得： qiq qiiq qii qqq qvz ivz iz izimqmizz（m=1，2，p） qqiqiizzz矩陣中新增加的第q行和第q列元素可以這樣求得。網(wǎng)絡中任一節(jié)點m單獨注入電流時，因支路z ziqiq中沒有電流，節(jié)點q和節(jié)點i的電壓應相等，即qqqpqiqqpqpppippiqipiiiqpiqpizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz212112

41、222221111121110/27/202161v結論：結論：當增加一條樹支時，阻抗矩陣的原有部分保持不變，新增的一行（列）各非對角線元素分別與引出該樹支的原有節(jié)點的對應行（列）各元素相同。而新增的對角元素則等于該樹支的阻抗與引出該樹支的原有節(jié)點的自阻抗之和。 如果節(jié)點i是參考點（接地點），則稱新增支路為接地樹支。由于恒有 ，根據(jù)自阻抗和互阻抗的定義得：0iv 0 (1,2, )mqqmzzmpqqiqzz10/27/2021622.追加連支 在已有的節(jié)點k和m節(jié)點之間追加一條阻抗為zkm的連支。由于不增加新節(jié)點，故阻抗矩陣的階次不變。如果原有各節(jié)點的注入電流保持不變，那么連支zkm的接入將

42、改變網(wǎng)絡中的電壓分布狀況。因此，我們從計算接入連枝后的網(wǎng)絡電壓分布入手。對原有矩陣的各元素都要作相應的修改。 如果保持各節(jié)點注入電流不變，連支zkm的接入對原有部分的影響在于，k和m的注入電流分別從 和 改變?yōu)?和 。這時網(wǎng)絡中任意節(jié)點i 的電壓可以利用原阻抗矩陣元素寫出：m圖圖411 追加連支追加連支kkikmikmzmimkmiikkmiikimimkmiikkmii1 12 21()()()piiiikkkmimmkmippijjikimkmjvz iz iziiziiz iz izzi 10/27/202163現(xiàn)在設法用節(jié)點注入電流來表示 ，從而消去上式中的 ，便可求的新的阻抗矩陣元素

43、的計算公式。方程式（4-25）對任何節(jié)點都成立，將它用于節(jié)點k和m節(jié)點便得：kmikmi1()pkkjjkkkmkmjvz izzi 1()pmmjjmkmmkmjvzizzi kmkm kmvvzi而阻抗為z zkmkm的連支的電壓方程為：將 和 的表達式代入上式，可解出kvmv11()2pkmkjmjjjkkmmkmkmizzizzzz10/27/202164( ,1,2, )ijzi jp將 代入式（4-25），經(jīng)過整理便得：11()()2ppikimkjmjiijjijjjjkkmmkmkmzzzzvziz izzzz 于是有：()()( ,1,2, )2ikimkjmjijijkkm

44、mkmkmzzzzzzi jpzzzz （4-26）其中， 為連支接入前的原有值。10/27/202165l如果連支所接的節(jié)點中，有一個是零電位點，例如m為接地點，則稱這支連支為接地連支，設其阻抗為z zk0k0。l上述計算公式將變?yōu)椋簂如果在節(jié)點k、m之間接入阻抗為零的連支，這就相當于把節(jié)點k、m合并為一個節(jié)點。根據(jù)公式（4-26）可以證明 ，同樣也有 。說明，如將節(jié)點k、m短接，經(jīng)過修改后，第k行（列）和第m行（列）的對應元素完全相同。只要將原來這兩個節(jié)點的注入電流合并到其中一個節(jié)點，另一個節(jié)點即可取消并刪去阻抗矩陣中對應的行和列，使矩陣降低一階。 ikimzzkimizz0ikkjiji

45、jkkkz zzzzz 10/27/2021663追加變壓器支路 在追加變壓器支路時，也可以區(qū)分為追加樹支和連支兩種情況。變壓器一般用一個等值阻抗通一個理想變壓器相串聯(lián)的支路來表示。 假定在已有p個節(jié)點的網(wǎng)絡中的節(jié)點k接一變壓器樹支，并引出新節(jié)點q見圖4-12（a）。這時阻抗矩陣將擴大一階。與上述增加樹枝情況類似，因為新接支路沒有電流，它的接入不會改變網(wǎng)絡原有部分的電壓分布狀況，因此，阻抗矩陣原有部分的元素將保持不變。kqzkq1：k圖4-12 （a） 追加變壓器樹支qiqki10/27/202167 新增一行（列）的元素可以這樣求得。當網(wǎng)絡中任一節(jié)點i 單獨注入電流 ，而所有其它節(jié)點的注入電流都為零時，都有：因而(1,2, )qikizkzipqkvkvqi iki iz ikz i或另一方面，當節(jié)點q單獨注入電流 時，從網(wǎng)絡原有部分看來，相當于從節(jié)點k單獨注入電流 ,故有：這時，節(jié)點q電壓將為： 在網(wǎng)絡的已有節(jié)點k、m之間追加變壓器連支時，阻抗矩陣的階次不變，但要修改它的全部元素。矩陣元素計算公式的推導可以分兩步進行。見圖4-12（b）(1,2, )iqikzkzip()()qkkqqkkqkqqq