函數(shù)的最大值與最小值90703PPT課件

1、一、復(fù)習(xí)引入 如果在x0附近的左側(cè) f/（x）0 ,右側(cè)f/(x)0 ,那么,f(x0)是極大值; 如果在x0附近的左側(cè) f/(x)0 ,那么,f(x0) 是極小值.2.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充 分條件.極值只能在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零且在其附近左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)取到.3.在某些問(wèn)題中,往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上, 哪個(gè)值最大,哪個(gè)值最小,而不是極值.1.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方法是:第1頁(yè)/共19頁(yè)二、新課函數(shù)的最值xX2oaX3bx1y 觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x)的圖象，你能找出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上

2、的最大值、最小值嗎？發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，_是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 問(wèn)題在于如果在沒(méi)有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 第2頁(yè)/共19頁(yè)三、例題選講例1:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間-2,2上的最大值與最小 值.解:.443xxy 令 ,解得x=-1,0,1.0 y當(dāng)x變化時(shí), 的變化情況如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13從上表可知,最大值是13,最小值是4.第3頁(yè)

3、/共19頁(yè) 一般地，求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：:求y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值(極大值與極小值); :將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b) 比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值. 求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)局部概 念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍 內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)整體性的概念.(2)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi) 的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極 值必是函數(shù)的最值.第4頁(yè)/共19頁(yè) (3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最

4、小值至多各有一個(gè),而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值),但除端點(diǎn)外在區(qū)間內(nèi)部的最大值(或最小值),則一定是極大值(或極小值). (4)如果函數(shù)不在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo),則在確定函數(shù)的最值時(shí),不僅比較該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值,還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值. (5)在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)(這樣的函數(shù)稱為單峰函數(shù)),那么要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.第5頁(yè)/共19頁(yè)延伸1:設(shè) ,函數(shù) 的最 大值為1,最小值為 ,求常數(shù)a,b. 132 a)11(23)(23

5、 xbaxxxf26 解:令 得x=0或a.033)(2 axxxf當(dāng)x變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表:)(xf x-1(-1,0) 0 (0,a) a(a,1) 1f(x) +0 - 0 +f(x) -1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比較f(1)與f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值為f(0)=b,故b=1.第6頁(yè)/共19頁(yè)又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/21,0 x1,求函數(shù)f(x)=xp+(1-x)p的值

6、域.說(shuō)明:由于f(x)在0,1上連續(xù)可導(dǎo),必有最大值與最小值, 因此求函數(shù)f(x)的值域,可轉(zhuǎn)化為求最值.解:.)1()1()(1111 ppppxxpxppxxf令 ,則得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.0)( xf而 f(0)=f(1)=1,因?yàn)閜1,故11/2p-1.,21)21(1 pf所以f(x)的最小值為 ,最大值為1.121 p從而函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1 ,211 p第7頁(yè)/共19頁(yè)練習(xí)2:求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(p是正數(shù))在0,1上的最 大值.解:.)2(2)1()(12xpxxpxfp 令 ,解得.22, 1, 00)(321pxxxxf

7、 在0,1上,有f(0)=0,f(1)=0,)2( 4)22(2 ppppf 故所求最大值是.)2(42ppp 練習(xí)1:求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+14在區(qū)間-3,4上的最 大值和最小值.答案:最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.第8頁(yè)/共19頁(yè)四、實(shí)際應(yīng)用1.實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. 在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的最大(小)值的問(wèn)題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路. 在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域. 在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使 的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也

8、可以知道這就是最大(小)值.這里所說(shuō)的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.0)( xf滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.第9頁(yè)/共19頁(yè)例1:在邊長(zhǎng)為60cm的正 方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子,箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由題意可知,當(dāng)x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:

9、當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.第10頁(yè)/共19頁(yè)類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底半徑 應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省?解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2rh+2r2.由V=r2h,得 ,則2rVh .2222)(222rrVrrVrrS 令 ,解得 ,從而 ,即h=2r.042)(2 rrVrS 32 Vr 232)2( VVrVh 33224 VV 由于S(r)只有一個(gè)極值,所以它是最小值.答:當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí),所用的材料最省.第11頁(yè)/共19頁(yè)例2:如圖,鐵路線上AB段長(zhǎng) 100km,工廠C到鐵路的 距離CA=20km.現(xiàn)在要

10、 在AB上某一處D,向C修 一條公路.已知鐵路每噸 千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使原料 從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處?B D AC解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km. 2220 x2400 x 又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元,則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為).1000()100(34005352 xxtxtBDtCDty第12頁(yè)/共19頁(yè)令 ,在 的范圍內(nèi)有唯一解x=15.0) 34005(2 xxty1000 x所以,當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí),總運(yùn)費(fèi)最省.注:可以進(jìn)

11、一步討論,當(dāng)AB的距離大于15千米時(shí),要找的 最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)15千米的D點(diǎn)處;當(dāng)AB之間的距離 不超過(guò)15千米時(shí),所選D點(diǎn)與B點(diǎn)重合.練習(xí):已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓 錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)h=H/3 時(shí), 圓柱體的體積最大.2.與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用.第13頁(yè)/共19頁(yè)xy例1: 如圖,在二次函數(shù)f(x)= 4x-x2的圖象與x軸所 圍成的圖形中有一個(gè) 內(nèi)接矩形ABCD,求這 個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0 x2), 則 A(x, 4x-x2).從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2

12、-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得x=1.0)( xf而0 x1時(shí), ,所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn).0)( xf0)( xf所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最小值f(1)=1.從而當(dāng)x0時(shí),f(x)1恒成立,即: 成立.2)1(211ln xxx3)1(321x 第16頁(yè)/共19頁(yè)五、小結(jié)1.求在a,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在a,b上的 最值的步驟: (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè) 是最大值,最小的一個(gè)是最小值.2.求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)要正確區(qū)分極值與最值這兩個(gè)概念.(2)在a,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)未 必有最大值與最小值.(3)一旦給出的函數(shù)在(a,b)上有個(gè)別不可導(dǎo)點(diǎn)的話,不 要忘記在步驟(2)中,要把這些點(diǎn)的函數(shù)值與各極值 和f(a)、f(b)放在一起比較.第17頁(yè)/共19頁(yè)3.應(yīng)用問(wèn)題要引起重視.(1)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在求函數(shù)的值域