函數(shù)的微分及應(yīng)用PPT課件

1、一、問題的提出一、問題的提出近似計(jì)算問題近似計(jì)算問題實(shí)例：實(shí)例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。20 xA 0 x0 x, 00 xxx 變變到到設(shè)設(shè)邊邊長長由由, 20 xA 正正方方形形面面積積2020)( xxxA .)(220 xxx )1()2(; , 的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax . , 很很小小時時可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0第1頁/共27頁再如,. , 03yxxxy 求求函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量時時處處的的改改變變量量為為在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)3030)(xxxy .)()(333

2、2020 xxxxx )1()2(,很小時很小時當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值問題：問題：是否所有函數(shù)的改變量都有這樣的線性函數(shù)(改變量的線性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？第2頁/共27頁二、微分的定義二、微分的定義定義定義.)(d d ) ( )( A )( ) A ( )(A)()( x )( 0000000 xxxxxfyxxxfyxxxfyxxoxxfxxfyxfy或，記作的相應(yīng)于在為，并稱在，則稱無關(guān)與其中成立，如果增量的某個鄰域內(nèi)上有定義在設(shè)微微分分可可微微; )(|A-| 1)( xoxy 絕絕對對誤

3、誤差差注注：(2) dd ( )A ;yf xxxx是是和和的的函函數(shù)數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )(3) d .xxx 自自變變量量的的微微分分第3頁/共27頁三、可微的條件三、可微的條件. ) )( A ( )( )(000 xfxxfxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在在可微可微在在定理定理證證 (1) 必要性, )( 0可可微微在在 xxf, )(A xoxy , )(A xxoxy xyx0lim 則則, A. ) )( A ( )( 00 xfxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在在即即(2) 充分性, )( 0可可導(dǎo)導(dǎo)在在 xxf, )(lim

4、 00存存在在即即xfxyx . )( 0可可微微在在 xxf0(x)fxylim0 x0 x(x)xf-ylim0 xx)o(x(x)f-yx)o(x(x)fy第4頁/共27頁 )(A; 0，且且可微可微可導(dǎo)可導(dǎo)xf xxfxfxx )(| )(d00即即 d )(0，xxf |d)(dd| )(d )(000，xxxxxxfxxfxf dd ，即即xyy ”。導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)又又叫叫做做“ 微微商商 例例1 1解解. 02. 0, 2 33時的微分時的微分當(dāng)當(dāng)）（ xxxy dy求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的微微分分： 321sin2 ; 2;yxyx(1) d(sin2 )2cos2.yx dxxdx

5、 21 332(2) d().3yxdxxdx 20.02(3) xxdy 220.023xxxx 23 20.020.24 63 1P練練習(xí)習(xí)：(5)(7)(8)(9)第5頁/共27頁 63:1 5lntan,.2xPydy 求求2211tansec222tantan22111cscsinsin2sincos2222cos2cos2xxxyxxxxxxxxx cscdyy dxxdx 第6頁/共27頁 1 cos63:1 72,.xPydy 求求 11 coscos secs12 ln2 2ln2cecsos 2ln2ec tanxxxxxxyx sec2sectanln2xdyy dxxx

6、dx 第7頁/共27頁 363:1 8,.xxPyeedy 求求 223 3xxxxxxxxyeeeeeeee 23xxxxdyeeeedx第8頁/共27頁 sin63:1 9ln57,.xPyxxxdyx求求2sinln57cossin ln6xyxxxxxxxxx 2cossin ln6dyy dxxxxxdxx 第9頁/共27頁四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x C: y=f(x) 在在 M(x0, f(x0)的切線的切線T：y- f(x0)= f (x0)(x- x0) = f (x0) x。點(diǎn)的點(diǎn)的在在是是切線縱坐標(biāo)的增量切線縱

7、坐標(biāo)的增量 )(,M( )( :C )( |d 0000 xfxxfyxxfyxx xx0 P = dyQ ,M,.xQPQN當(dāng)當(dāng)很很小小時時 在在點(diǎn)點(diǎn)的的附附近近第10頁/共27頁1. 基本函數(shù)的微分公式基本函數(shù)的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscd dtansec)(secddcsc)(cotd dsec)(tanddsin)(cosd dcos)(sindd)(d 0)(d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(d d11)(arctandd11)(arccosd d11)(arcsindd

8、1)(lnd dln1)(logdd)(d dln)(d2222 P60第11頁/共27頁2. 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則. ) 0)( ( )(|d)(|d)(| )(d;|d)(/d)(| )(d;|Cd| )C(d;|d|d| )(d )( )( 0200000000000000000 xvxvvxuuxvvuvxuuxvvuuuvuvuxxvxuxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx若可微，則有在、若P61第12頁/共27頁例例2 2解解. d , )eln( 2yxyx求求設(shè)設(shè) ,ee2122xxxxy .dee21d22xxxyxx 例例3

9、 3解解. d , cose 31yxyx求求設(shè)設(shè) )(cosde)e (dcosd3131xxyxx 乘法乘法. dsincosd,e3)e (3131xxxxx xxxxyxxd)sin(ed)e3(cosd3131 .d)sincos3(e31xxxx 第13頁/共27頁; d)(d , )1(xxfyx 則則自自變變量量是是若若則則的的可可微微函函數(shù)數(shù)為為另另一一變變量量中中間間變變量量是是若若),( , )2(txtx , )( 可可微微設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfy , d)()(dttxfy , dd)( xtt 又又. d)(d xxfy 結(jié)論結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自

10、變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論 )( , xfyx 微分形式的不變性xxfyd)(d 五、微分形式的不變性五、微分形式的不變性)()()(txytxf第14頁/共27頁利用微分的形式不變性。利用微分的形式不變性。例例4 4解解. d , bsine ayxyx求求設(shè)設(shè) )bsine (ddaxyx )b(dbcosebsin)a(deaaxxxxxx .d)bsinabcosb(eaxxxx 例例3 3解解.d ),12sin(yxy求求設(shè)設(shè) )12sin(dd xy)12(d)12cos( xxxxd2)12cos( . d)12cos(2xx )12(d) )12(sin(1

11、2 xxxxxxxbsindebsindeaa )bd(bcosebsin)ad(eaaxxxxxx 第15頁/共27頁例例5 5解解在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù), 使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt )(sind1dcosttt .dcos)Csin1(dttt );sin1(dt xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx 第16頁/共27頁* *例例6 6 求由方程 cos(xy)=x2y2 所確定的 y=y(x) 微分及

12、導(dǎo)數(shù). 解解對對方方程程兩兩邊邊微微分分，得得)(d)(d)(d)sin(2222yxyxxyxy xxyxyxxyyxyyd)sin(2)sin(2d 22 yyxxxyyxyxxyd2d2)dd)(sin( 22 .)sin(2)sin(2dd 22xyxyxxyyxyxy 第17頁/共27頁: 1.函函數(shù)數(shù)增增量量的的近近似似值值求求.)(|d)()(|00000 xxfyxfxxfyxxxx )0)(0很很小小時時且且xxf *六、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用六、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用例例7 7少少？厘厘米米，問問面面積積增增大大了了多多，半半徑徑伸伸長長了了厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加

13、熱熱后后半半徑徑05. 010 解解，面面積積為為記記金金屬屬圓圓片片的的半半徑徑為為Ar厘厘米米時時，厘厘米米、當(dāng)當(dāng)05.010 rrrrAA 2d05. 0102 ).(2厘米厘米 答：答：平平方方厘厘米米。面面積積增增大大了了約約 ,2rA 則則,2 rA 第18頁/共27頁: )( 2.0附附近近的的近近似似值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求xxxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x . 05. 1 的近似值計(jì)算例例8 8解解, )( xxf記, 21)( xxf則, 05. 0, 1 0 xx取. 21) 1 (, 1) 1 ( ff由)05. 1 (05. 1 f有05.

14、0) 1 () 1 (ff05. 0211025. 1025. 105. 1)05. 01 ( f練習(xí)：P63：3（1）（2）第19頁/共27頁七、小結(jié)七、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的近計(jì)算似問題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法，叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)，做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可可微微可可導(dǎo)導(dǎo) . )d()(d , d)(d)(xxfxfxxfxf 第20頁/共27頁導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:. ) 0 , ( , )(d , )( )(. 1000000時時當(dāng)當(dāng)無無窮窮小小它它是是線線性性函函數(shù)數(shù)的的是是而而微微分分處處的的導(dǎo)導(dǎo)

15、數(shù)數(shù)是是一一個個定定數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xxxxxxxxxfyxfxxf. )( ,( )( )(d , )(,( )( )( , . 2000000000時時縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)的的增增量量到到從從處處的的切切線線當(dāng)當(dāng)橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)在在點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線而而微微分分處處切切線線的的斜斜率率在在點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線從從幾幾何何意意義義上上來來看看xxxxxfxxfyxxxfyxfxxfyxf 第21頁/共27頁思考題思考題 因因?yàn)闉橐灰辉瘮?shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？第22頁/共27頁思考題解答思考題解答說法不對. 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念. 第23頁/共27頁第二章 重點(diǎn)（星號部分屬于專插本） 導(dǎo)數(shù)的定義（P38） 導(dǎo)數(shù)幾何意義：求切線和法線(P41-42) 可導(dǎo)的判斷(P40先求左右導(dǎo)數(shù)) 隱函數(shù)求導(dǎo)(P51) 冪指函數(shù)求導(dǎo)(P51-52) 參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)(