函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)二PPT課件

1、一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值：若若x0滿足滿足 f/(x)=0,且在且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)_,則則x0是是f(x)的極值點的極值點,f(x0)是極值是極值,并且如果并且如果 f/(x) 在在x0兩側(cè)滿足兩側(cè)滿足“_”,則則x0是是f(x)的的_,f(x0)是是_;如果如果 f/(x) 在在x0兩側(cè)滿足兩側(cè)滿足“_”,則則x0是是f(x)的的_,f(x0)是是_.極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值. 從從曲線的切線角度曲線的切線角度看看,曲線在極值點處切曲線在極值點處切線的斜率為線的斜率為0,并且并且,曲線在極大值點左側(cè)切曲線在極大值點左側(cè)切

2、線的斜率為線的斜率為_,右側(cè)為右側(cè)為_;曲線在極小值點曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為左側(cè)切線的斜率為_,右側(cè)為右側(cè)為_.第1頁/共16頁二、例題選講二、例題選講: :例例1:求求y=x3/3-4x+4的極值的極值.解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 極大值極大值28/3 極小值極小值-4/3 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-2時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值極大值=28/3;而而,當(dāng)當(dāng)x=2時有極小值時有極小值,并且

3、并且,y極小值極小值=- 4/3.第2頁/共16頁三三. .探索思考探索思考: : 導(dǎo)數(shù)值為導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎的點一定是函數(shù)的極值點嗎? 可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點點,反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點,不一定是該不一定是該函數(shù)的極值點函數(shù)的極值點.例如例如,函數(shù)函數(shù)y=x3,在點在點x=0處處的導(dǎo)數(shù)為零的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點但它不是極值點,原因是函數(shù)原因是函數(shù)在點在點x=0處左右兩側(cè)的處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零導(dǎo)數(shù)都大于零. 因此導(dǎo)數(shù)為零的點僅是該點為極值點的因此導(dǎo)數(shù)為零的點僅是該點為極值點的_,其充分條件是其充分條件是

4、在這點兩側(cè)的在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號導(dǎo)數(shù)異號.第3頁/共16頁 一般地一般地,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)的極值的的極值的方法方法是是: (1):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) f/(x)0 右側(cè)右側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極大值是極大值; (2):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極小值是極小值.求求f/(x).令令f/(x)=0得到得到x0第4頁/共16頁 x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 極大值極大值-2a 極小值極小值2a 故當(dāng)故當(dāng)x=-a時時,f(x)有極大值

5、有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)當(dāng)x=a時時,f(x)有極有極小值小值f(a)=2a.例例2:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.)0()(2 axaxxf解解:函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf 第5頁/共16頁練習(xí)練習(xí)1:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-

6、,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值極大值-3 極小值極小值3 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-1時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值極大值=3;而而,當(dāng)當(dāng)x=1時有極小值時有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 3.第6頁/共16頁函數(shù)的極值函數(shù)的極值 與導(dǎo)數(shù)三與導(dǎo)數(shù)三第7頁/共16頁求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：)ln1()3(2cos2sin1)2(cos33sin2)1(23xxeyxxyxxyx 第8頁/共16頁的的極極值值求求函函數(shù)數(shù)例例xexxf 2)(.1第9頁/共16頁例例3:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)

7、若函數(shù)f(x)在在x=0,x=4處取得極值處取得極值,且極小值為且極小值為-1, 求求a、b的值的值. (2)若若 ,函數(shù)函數(shù)f(x)圖象上的任意一點的切線斜圖象上的任意一點的切線斜 率為率為k,試討論試討論k-1成立的充要條件成立的充要條件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=2a/3.故故2a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于當(dāng)由于當(dāng)x0時時, 故當(dāng)故當(dāng)x=0時時,f(x)達(dá)到極小值達(dá)到極小值f(0)=b,所以所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等價于當(dāng)?shù)葍r于當(dāng) 時時,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10對一切對

8、一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,當(dāng)當(dāng)a1時時,g(x)0對一切對一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要條件成立的充要條件. 第10頁/共16頁例例4:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1處有極值處有極值,且極大值為且極大值為 4,極小值為極小值為0.試確定試確定a,b,c的值的值. 解解:).35(35)(2224baxxbxaxxf 由題意由題意, 應(yīng)有根應(yīng)有根 ,故故5a=3b,于是于是:10)( xxf).1(5)(22 xaxxf(1)設(shè)設(shè)a0

9、,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 極大值極大值 極小值極小值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff第11頁/共16頁又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)設(shè)設(shè)a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值極小值 極大值極大值 )1,( ), 1( )(xf 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.第12頁/共16頁練習(xí)練習(xí)1:已知函數(shù)已知函數(shù)f

10、(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1處有極值為處有極值為 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一個根有一個根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得、解得 或或.33114 baba當(dāng)當(dāng)a=-3,b=3時時, ,此時此時f(x)在在x=1處無處無極值極值,不合題意不合題意.0) 1( 3)(2 xxf當(dāng)當(dāng)a=4,b=-11時時,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1時時, ,此時此時x=1是極是極值點值點.0)(0)( xfxf從而所求的解為從而所求的解為a=4,b=-11.第13頁/

11、共16頁(1)函數(shù)的極值是一個函數(shù)的極值是一個_(局部、整體局部、整體）的概念）的概念,極值點是區(qū)間內(nèi)部的點而不會是端點極值點是區(qū)間內(nèi)部的點而不會是端點.(2)若若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)在某區(qū)間內(nèi)_(是、是、不是不是）單調(diào)函數(shù)）單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.(3)極大值一定比極小值大碼？極大值一定比極小值大碼？.(4)函數(shù)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點的分布是它的極值點的分布是 有規(guī)律的有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值 點點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點. 一般地一般地,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點時點時,函數(shù)函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點 是交替出現(xiàn)的