函數(shù)極值與最大小值PPT課件

1、一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第1頁/共37頁.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點內(nèi)的一個點內(nèi)的一個點是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfx

2、xxbaxbaxf 定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.第2頁/共37頁二、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在點在點0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且且在在0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理1(必要條件)定義.)()0)(的駐點的駐點做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實根的實根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點使導(dǎo)數(shù)為零的點xfxf 注意:.,)(是極值點是極值點但函數(shù)的駐點卻不一定但函數(shù)的駐點卻不一定點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點點但但 x第3頁/共37頁注這個結(jié)論又稱

3、為Fermat定理如果一個可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點 則此函數(shù)沒有極值，此時導(dǎo)數(shù)不改變符號不可導(dǎo)點也可能是極值點可疑極值點：駐點、不可導(dǎo)點 可疑極值點是否是真正的極值點，還須進(jìn)一步判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點的左、右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。第4頁/共37頁(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處

4、取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(xf符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. .定理2(第一充分條件)xyoxyo0 x0 x (是極值點情形)第5頁/共37頁);,( )(,)(, ) 3 () 2(),1 (0000000 xxx)f(xf(x)xfxx0 xfxx單調(diào)增上在區(qū)間，所以上因為在區(qū)間類似證明。與只證證為極大值。故）。單調(diào)減，所以時，當(dāng) ) ( ,( ) ()()(0)(,000000 xfxxxxfxfxfxfxxx第6頁/共37頁xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟:);()1(xf

5、求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()3(判斷極值點判斷極值點在駐點左右的正負(fù)號在駐點左右的正負(fù)號檢查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點情形)第7頁/共37頁例1解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx第8頁/共37頁593)(23 xxxxfMm圖形如下第9頁/共37頁.) 1()(32

6、的極值求函數(shù)xxxf3323253)1(2)(xxxxxxf3解不存在。時，；當(dāng)?shù)民v點令)(00)(xfx52xxf列表討論如下： 20253 0( 0 ),52( 52 )52(0, 0 )0,( 3（極?。O大）不存在 f(x) (x)fx2例320)(0)0(520 25352ffxx，極小值為極小點。極大值為極大點，第10頁/共37頁 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時時, , 函

7、數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定理3(第二充分條件)證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號，異號，與與故故xxfxxf )()(00時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值第11頁/共37頁例2解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點得駐點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極

8、大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下第12頁/共37頁Mm注意:. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點在點時時xxfxf 第13頁/共37頁例3解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當(dāng)當(dāng)xfx 時，時，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時，時，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點,也可能是函數(shù)的極值點.M第14頁/共37頁例4)0(1

9、2,02 aeaxxxx時時證明證明證xeaxxxf 12)(2記記xeaxxf 22)(則則（不易判明符號）xexf 2)(2ln0)( xxf得得令令0)(,2ln xfx時時當(dāng)當(dāng)0)(,2ln xfx時時當(dāng)當(dāng)?shù)牡囊灰粋€個極極大大值值點點是是)(2lnxfx 而且是一個最大值點， )2(ln)(fxf 222ln2 a0 )(,0 xfx時時第15頁/共37頁0)0()( fxfxeaxx 122即即例5 設(shè)f ( x )連續(xù)，且f ( a )是f ( x )的極值，問f 2( a )是否是 f 2( x )的極值證分兩種情況討論0)(),()( afafxf且且設(shè)設(shè)時，有時，有使當(dāng)使當(dāng))

10、,(, 0 aax)()(22afxf 所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的極小值第16頁/共37頁設(shè)f ( a ) 是f ( x )的極小值，且0)( af時，有時，有使當(dāng)使當(dāng)),(, 0111 aax)()(afxf 又f ( x )在 x = a 處連續(xù)，且0)( af時，有時，有使當(dāng)使當(dāng)),(, 0222 aax0)( xf,min21 令令時，有時，有則當(dāng)則當(dāng)),( aax0)()( xfaf)()(22afxf f 2( a )是 f 2( x )的極大值同理可討論f ( a ) 是f ( x )的極大值的情況第17頁/共37頁例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的

11、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且0)(, 0)()()(0)(0)1(00 xfxfxfxfnn但但證明當(dāng)n為偶數(shù)時， f(x0)是f(x)的極值當(dāng)n為奇數(shù)時， f(x0)不是f(x)的極值證由Taylor公式，得nnxxnfxfxf)(!)()()(0)(0 )(0之間之間與與在在xx 處連續(xù)處連續(xù)在在又又0)()(xxfn0)()(lim0)()(0 xfxfnnxx第18頁/共37頁因此存在x0的一個小鄰域，使在該鄰域內(nèi)同號同號與與)()(0)()(xfxfnn同號同號與與)()(0)()(xffnn 下面來考察兩種情形n為奇數(shù)，當(dāng)x 漸增地經(jīng)過x0時nxx)(0 變號!)()(nfn 不變號)()(0 x

12、fxf 變號)(0 xf不是極值第19頁/共37頁n為偶數(shù)，當(dāng)x 漸增地經(jīng)過x0時nxx)(0 不變號!)()(nfn 不變號)()(0 xfxf 不變號)(0 xf是極值且當(dāng)0)(0)( xfn時)(0 xf是極小值0)(0)( xfn當(dāng)時)(0 xf是極大值第20頁/共37頁例4 .010)(2的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxxfx)ln1(2)(02xxxfxx 時，時，.)(,0可可能能不不存存在在時時當(dāng)當(dāng)xfx ,1 ex得駐點得駐點無駐點，無駐點，時，時，, 1)(0 xfx, 01 exx有兩個可疑點：有兩個可疑點：是是極極小小值值的的極極大大值值，為為經(jīng)經(jīng)判判斷斷知知，)

13、()(1)0(1 efxff.)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf解第21頁/共37頁例5 解呢？呢？若若的極值點的極值點是不是是不是問問有有設(shè)設(shè)0)(, 0)()()(?)(, 0)(, 0)()()(0)4(0000000 axfxfxfxfxfxaxfxfxfxf)()(! 3)()()(303000 xxoxxxfxfxf 的極值點。的極值點。不是不是)(0 xfx)()(! 4)()()(40400)4(0 xxoxxxfxfxf 的極值點。的極值點。是是)(0 xfx第22頁/共37頁函數(shù)最大值和最小值的一般求法：(一) y=f(x) xa,b (1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)

14、；令f(x)=0，求出駐點；(2)求出駐點處的函數(shù)值以及端點處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的 最大值，最小的就是最小值.三.函數(shù)的最值第23頁/共37頁6.( )1 81.f xxx例求函數(shù)在閉區(qū)間，上的最大值和最小值解： (1).f(x)的定義域為(-，1 ，-8，1 (-，+1 (2).x1211)x( f(3).令f(x)=0，解之得駐點為 43x (5).比較大小得，在-8，1上的最大值為 ，最小值為-5.45(4).1) 1 (f , 5)8(f ,45)43(f第24頁/共37頁2, 252)() 1 (24xxxxf求最大值，最小值：無不可導(dǎo)點。駐點為解：

15、, 1, 00) 1(444)(23xxxxxxf13)2(,13)2(,4)1(,5)0(ffff。，最小值為最大值為4137例，0)()2(22xexxfx是最小值，所以解：顯然0)0(0ff10)1(2)22()(223xxexxexxxfxx，駐點為，efexexxfefxxxxx1) 1 ( , 0limlim)(lim ) 1 ( 22221所以最大值為，因為第25頁/共37頁 例8.求函數(shù)f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定義域為(-，+). 解：(2).f(x)=2x-2=2(x-1) (3).令f(x)=0，解之得駐點為x=1. 當(dāng)x(-，1)時，f(x)0,

16、單調(diào)遞增. . 5) 1 (f1x小值為是函數(shù)的最小值點，最(二)若函數(shù)在一個開區(qū)間或無窮區(qū)間 (-，+)內(nèi)可導(dǎo)， 且有唯一的極值點 .0 x.)x(f)x(f00就是該區(qū)間上的最大值是極大值時，那么當(dāng).)x(f)x(f00就是該區(qū)間上的最小值是極小值時，那么當(dāng)?shù)?6頁/共37頁 例9.在半徑為R的半圓內(nèi)作內(nèi)接梯形，使其底為直徑其他三邊 為圓的弦，問應(yīng)怎樣設(shè)計，才能使梯形的面積最大？解：22xRhx2，則高設(shè)梯形的上底為)Rx0(xR)Rx(2222222222xRx2RxRxR)xR(xxR S2Rx0 S ，得令.2Rx大值存在是唯一駐點，又面積最.2Rx就是最大值點.SR梯形最大時，即當(dāng)

17、上底長為(三)：解決實際問題中的最大值問題的步驟：(1).根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式.(2).確定函數(shù)的定義域.(3).求函數(shù)f(x)在給定區(qū)域上的最大值或最小值.22xR)R2x2(21S于是梯形面積第27頁/共37頁積最小。所用材料最省是指表面解24 ddhSShd，則有：，表面積為，高為設(shè)圓柱體的底面直徑為0 44 4 22dddVShdV，所以，又。，解得唯一駐點令 2 03VdS10例所用的材料最省？與高，使得樣選擇它的直徑的圓柱形煤氣柜，問怎建造一個具有已知容積 V就是最小點，此時所以唯一駐點32 Vd 4 32VdVh時所用材料最省。，高因此，當(dāng)直徑332VhVd一定存在，知最小表面

18、積又由問題的實際意義可S 第28頁/共37頁。，求得唯一駐點令10)(,)1 ()( xxfexxfxkefxfxfxfxfxfx1) 1 ( , )(10)(10)(1最大值的最大值點是故單調(diào)減少，時，單調(diào)增加；當(dāng)，時，當(dāng)0 )( 0 )( , 000)(lim)(lim2121xfxfxxkxfxfxx，使，所以存在，又，令解,)(xkxexfx11例.)0( 實根的個數(shù)討論方程kkxex第29頁/共37頁實根；沒有零點，原方程沒有時，函數(shù)，即若fekkef101) 1 ( ；有唯一實根，原方程有唯一零點時，函數(shù)，即若11101) 1 ( xxfekkef內(nèi)有唯一零點。在，所以內(nèi)單調(diào)增加且在時，函數(shù)，即當(dāng)1,0) 1 ()(1,101) 1 ( 1ffxffekkef程有兩個實根。有唯一零點，從而原方內(nèi)在同理, 1, f第30頁/共37頁1）求出函數(shù)的定義域；2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；3）令f(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部駐點。4）列表考察f(x)的符號，以確定該駐點是否為極值點， 并由極值點求出函數(shù)的極值。求函數(shù)極值的步驟：第31頁/共37頁極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為臨界點.函數(shù)的極值必在臨界點