函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)48106PPT課件

1、1第四節(jié)第四節(jié)兩類問(wèn)題:在收斂域內(nèi)和函數(shù))(xSnnnxa0冪級(jí)數(shù)求 和展 開(kāi)本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 第十二章 第1頁(yè)/共27頁(yè)2一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng) .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :第2頁(yè)/共27頁(yè)3)(

2、0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問(wèn)題待解決的問(wèn)題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在 nnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2第3頁(yè)/共27頁(yè)4定理定理1 .各階導(dǎo)數(shù), )(0 x則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(limxRnn證明:,)(!)()(000)(nn

3、nxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有第4頁(yè)/共27頁(yè)5定理定理2.若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開(kāi)式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn則;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 顯然結(jié)論成

4、立 .)0(0fa 第5頁(yè)/共27頁(yè)6二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1. 直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步函數(shù))(xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi))(limxRnn是否為0. 驟如下 :展開(kāi)方法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式間接展開(kāi)法 利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式的函數(shù)展開(kāi)第6頁(yè)/共27頁(yè)7例例1. 將函數(shù)將函數(shù)xexf)(展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(x

5、Rne! ) 1( n1nx故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31xnxn!1故得級(jí)數(shù) 第7頁(yè)/共27頁(yè)8例例2. 將將xxfsin)(展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: )()(xfn)0()(nf得級(jí)數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為 ,R對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(1) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! )12(15!513!31) 1

6、(nnnxxxx第8頁(yè)/共27頁(yè)9nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos類似可推出:),(x),(x1253! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx(P281 ) 012!12) 1(nnnxn02!2) 1(nnnxn第9頁(yè)/共27頁(yè)10例例3. 將函數(shù)將函數(shù)mxxf)1 ()(展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù) .(P 283)解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 級(jí)數(shù) mx12!2) 1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1

7、() 1(級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 第10頁(yè)/共27頁(yè)1111, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (xFx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為第11頁(yè)/共27頁(yè)12)(xFm2!2)2)(1(111)(xmmxmmxF)()1 (xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(nx

8、nnmm!)() 1(nxnnmm! ) 1() 1() 1(例例3 附注附注 P284第12頁(yè)/共27頁(yè)132!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱為二項(xiàng)展開(kāi)式 .說(shuō)明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.由此得 第13頁(yè)/共27頁(yè)14對(duì)應(yīng)1,2121m的二項(xiàng)展開(kāi)式分別為 (P285)xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xn

9、nx) 1(x) 11(1112xxxxxn第14頁(yè)/共27頁(yè)152. 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法211x x11利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例1 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 因?yàn)閚xxx21)11(x把 x 換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù). x11 21nxxx 1x第15頁(yè)/共27頁(yè)1621( )21f xxxx將冪級(jí)數(shù).展成 的:解)()(xxxf212113111) 1(110 xxxnnn而2122110 xxxnnn例例2 (31xfnnnx01)()201nnnxnnnnx011321)(2121x第16頁(yè)/共

10、27頁(yè)17例例3. 將將3412 xx展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x41nnnnx2) 1() 1(0081nnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x第17頁(yè)/共27頁(yè)18例例4將下列函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)xxxf11arctan)(解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()()(0fxfdxxfx002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1,

11、1x因此 )0()(fxf第18頁(yè)/共27頁(yè)19例例5. 將函將函數(shù)數(shù))1ln()(xxf展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 區(qū)間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂第19頁(yè)/共27頁(yè)20)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn例例6. 將將展開(kāi)為 x 的冪級(jí)數(shù).)32ln()(2xxxf解:)1l

12、n(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(2311第20頁(yè)/共27頁(yè)21例例7. 將將xsin展成4x解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx32)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的冪級(jí)數(shù). 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x第21頁(yè)/共27頁(yè)22.sin2的冪級(jí)

13、數(shù)展成將xxy :解xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnnnx2)2(,! )2(2) 1(21121nnnnxn),(x:另解xy2sin12021211nnnxn)(! )()(dxxnynxnn)2(! ) 12(1) 1(1200 ,! )2(2) 1(21121nnnnxn),(x例例8第22頁(yè)/共27頁(yè)23內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1) 直接展開(kāi)法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開(kāi)法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式(以后可直接引用)xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函數(shù) . 212!nxxxexn x x1ln第23頁(yè)/共27頁(yè)24! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時(shí)x11,) 1(132n