三角形的內(nèi)外角和三線(xiàn)綜合練習(xí)題

1、三角形的內(nèi)、外角和三線(xiàn)綜合練習(xí)題 三角形的內(nèi)、外角和三線(xiàn)綜合練習(xí)題一解答題（共30小題）1（2010玉溪）平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）如圖a，若abcd，點(diǎn)p在ab、cd外部，則有b=bod，又因bod是pod的外角，故bod=bpd+d，得bpd=bd將點(diǎn)p移到ab、cd內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則bpd、b、d之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線(xiàn)ab繞點(diǎn)b逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線(xiàn)cd于點(diǎn)q，如圖c，則bpdbdbqd之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中a+b+c+d+e+f的度數(shù)2（2006

2、浙江）已知：如圖，abcd，直線(xiàn)ef分別交ab、cd于點(diǎn)e、f，bef的平分線(xiàn)與dfe的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)p求證：p=90°3（2000內(nèi)蒙古）如圖，已知在三角形abc中，c=abc=2a，bd是ac邊上的高，求dbc的度數(shù)4（2013響水縣一模）探究與發(fā)現(xiàn)：探究一：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？已知：如圖1，fdc與ecd分別為adc的兩個(gè)外角，試探究a與fdc+ecd的數(shù)量關(guān)系探究二：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？已知：如圖2，在adc中，dp、cp分別平分a

3、dc和acd，試探究p與a的數(shù)量關(guān)系探究三：若將adc改為任意四邊形abcd呢？已知：如圖3，在四邊形abcd中，dp、cp分別平分adc和bcd，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究p與a+b的數(shù)量關(guān)系探究四：若將上題中的四邊形abcd改為六邊形abcdef（圖4）呢？請(qǐng)直接寫(xiě)出p與a+b+e+f的數(shù)量關(guān)系：_5如圖，abc中，a=40°，b=72°，ce平分acb，cdab于d，dfce交ce于f，求cdf的度數(shù)6如圖1，點(diǎn)o為直線(xiàn)ab上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)o作射線(xiàn)oc，使aoc=60°將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)o處，一邊om在射線(xiàn)ob上，另一邊on在直線(xiàn)ab的下方（1）將圖1中的三

4、角板繞點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊om在boc的內(nèi)部，且恰好平分boc，求con的度數(shù)；（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)o按每秒10°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線(xiàn)on恰好平分銳角aoc，則t的值為_(kāi)秒（直接寫(xiě)出結(jié)果）；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使on在aoc的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄縜om與noc之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由7如圖，ad、bc交于o點(diǎn)，且a=b，c=d求證：abcd8如圖，已知點(diǎn)a，d，b在同一直線(xiàn)上，1=2，3=e求證：debc9如圖，d=1，e=2，dcec求證：adbe10如圖，若cab=ced+cde，求證：abcd11直線(xiàn)ab、

5、cd被直線(xiàn)ef所截，ef分別交ab、cd于m，n，emb=50°，mg平分bmf，mg交cd于g（1）如圖1，若abcd，求1的度數(shù)（2）如圖2，若mnc=140°，求1的度數(shù)12如圖，四邊形abcd中，b=d=90°，ae平分bad，若aecf，bcf=60°，請(qǐng)你求出dcf的度數(shù)并說(shuō)明你的理由13已知abcd，直線(xiàn)l與ab、cd分別交于點(diǎn)e、f，點(diǎn)p是直線(xiàn)cd上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)p不與f重合），點(diǎn)m在ef上，且fmp=fpm，（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)p在射線(xiàn)fc上移動(dòng)時(shí)，若aef=60°，則fpm=_；假設(shè)aef=a，則fpm=_；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)

6、p在射線(xiàn)fd上移動(dòng)時(shí)，猜想fpm與aef有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你說(shuō)明理由14如圖（1）直線(xiàn)gchd，ef交cg、hd于a、b，三條直線(xiàn)把ef右側(cè)的平面分成、三個(gè)區(qū)域，（規(guī)定：直線(xiàn)上各點(diǎn)不屬于任何區(qū)域）將一個(gè)透明的直角三角尺放置在該圖中，使得30°角（即p）的兩邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)a、b，當(dāng)點(diǎn)p落在某個(gè)區(qū)域時(shí)，連接pa、pb，得到pbd、pac兩個(gè)角（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)p落在第區(qū)域時(shí)，求pac+pbd的度數(shù)；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)p落在第區(qū)域時(shí)，pacpbd=_度（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)p落在第區(qū)域時(shí)，直接寫(xiě)出pac、pbd之間的等量關(guān)系15如圖，直線(xiàn)ab，直線(xiàn)ac分別交a、b于點(diǎn)b、點(diǎn)c，直線(xiàn)

7、ad交a于點(diǎn)d若1=20°，2=65°，求3的度數(shù)16（1）如圖（1），abcd，點(diǎn)p在ab、cd外部，若b=40°，d=15°，則bpd=_（2）如圖（2），abcd，點(diǎn)p在ab、cd內(nèi)部，則b，bpd，d之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）在圖（2）中，將直線(xiàn)ab繞點(diǎn)b按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線(xiàn)cd于點(diǎn)m，如圖（3），若bpd=90°，bmd=40°，求b+d的度數(shù)17（2012樊城區(qū)模擬）下面是有關(guān)三角形內(nèi)外角平分線(xiàn)的探究，閱讀后按要求作答：探究1：如圖（1），在abc中，o是abc與acb的平分線(xiàn)bo和co的交點(diǎn)，通過(guò)分

8、析發(fā)現(xiàn)：boc=90°+a（不要求證明）探究2：如圖（2）中，o是abc與外角acd的平分線(xiàn)bo和co的交點(diǎn)，試分析boc與a有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由探究3：如圖（3）中，o是外角dbc與外角ecb的平分線(xiàn)bo和co的交點(diǎn)，則boc與a有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（只寫(xiě)結(jié)論，不需證明）結(jié)論：_18（2011宜興市二模）操作示例如圖1，abc中，ad為bc邊上的中線(xiàn)，則sabd=sadc實(shí)踐探究（1）在圖2中，e、f分別為矩形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，則s陰和s矩形abcd之間滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)（2）在圖3中，e、f分別為平行四邊形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，則s陰和s平行四邊形abcd

9、之間滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)；（3）在圖4中，e、f分別為任意四邊形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，則s陰和s四邊形abcd之間滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)；解決問(wèn)題：（4）在圖5中，e、g、f、h分別為任意四邊形abcd的邊ad、ab、bc、cd的中點(diǎn)，并且圖中陰影部分的面積為20平方米，求圖中四個(gè)小三角形的面積和，即s1+s2+s3+s4=_19如圖，在bcd中，be平分dbc交cd于f，延長(zhǎng)bc至g，ce平分dcg，且ec、db的延長(zhǎng)線(xiàn)交于a點(diǎn)，若a=33°，dfe=63°（1）求證：dfe=a+d+e；（2）求e的度數(shù)；（3）若在上圖中作cbe與gce的平分線(xiàn)交于e1，作cbe1與gce

10、1的平分線(xiàn)交于e2，作cbe2與gce2的平分線(xiàn)于e3，以此類(lèi)推，cben與gcen的平分線(xiàn)交于en+l，請(qǐng)用含有n的式子表示en+l的度數(shù)（直接寫(xiě)答案）20已知：abc中，adbc，ae平分bac，請(qǐng)根據(jù)題中所給的條件，解答下列問(wèn)題：（1）如圖1，若bad=60°，ead=15°，求acb的度數(shù)（2）通過(guò)以上的計(jì)算你發(fā)現(xiàn)ead和acbb之間的關(guān)系應(yīng)為：_（3）在圖2的abc中，acb90°，那么（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？為什么？21如圖（甲），d是abc的邊bc的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)abc、acd的平分線(xiàn)相交于p1（1）若abc=80°，acb=40°

11、;，則p1的度數(shù)為_(kāi)；（2）若a=，則p1的度數(shù)為_(kāi)；（用含的代數(shù)式表示）（3）如圖（乙），a=，abc、acd的平分線(xiàn)相交于p1，p1bc、p1cd的平分線(xiàn)相交于p2，p2bc、p2cd的平分線(xiàn)相交于p3依此類(lèi)推，則pn的度數(shù)為_(kāi)（用n與的代數(shù)式表示）22在abc中，cb，ae是abc中bac的平分線(xiàn)；（1）若ad是abc的bc邊上的高，且b=30°，c=70°（如圖1），求ead的度數(shù)；（2）若f是ae上一點(diǎn)，且fgbc，垂足為g（如圖2），求證：；（3）若f是ae延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且fgbc，g為垂足（如圖3），中結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由23已知，如圖

12、，在abc中，ad平分bac，de，df分別是adc的高和角平分線(xiàn)（cdac），若b=80°，c=40°（1）求dae的度數(shù)；（2）試猜想edf、c與dac有何關(guān)系？并說(shuō)明理由24如圖，在abc中，已知acb=67°，be是ac上的高，cd是ab上的高，f是be和cd的交點(diǎn)，dcb=45°，求abe和bfc的度數(shù)25如圖，已知abc中，b=40°，c=62°，ad是bc邊上的高，ae是bac的平分線(xiàn)求：dae的度數(shù)（寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程）26已知abc中，bac=90°，c=30°，點(diǎn)d為bc邊上一點(diǎn)，連接ad，作deab

13、于點(diǎn)e，dfac于點(diǎn)f（1）若ad為abc的角平分線(xiàn)（如圖1），圖中1、2有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）若ad為abc的高（如圖2），求圖中1、2的度數(shù)27如圖，（1）在abc中，a=52°，abc與acb的角平分線(xiàn)交于d1，abd1與acd1的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)d2，依此類(lèi)推，abd4與acd4的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)d5，則bd5c的度數(shù)是_（2）在abc中，abc與acb的角平分線(xiàn)交于d1，abd1與acd1的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)d2，abd2與acd2的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)d3，若bd3c的度數(shù)是n°，則a的度數(shù)是_（用含n的代數(shù)式表示）28已知abc（1）若bac=40°，畫(huà)ba

14、c和外角acd的角平分線(xiàn)相交于o1點(diǎn)（如圖），求bo1c的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，再畫(huà)o1bc和o1cd的角平分線(xiàn)相交于o2點(diǎn)（如圖），求bo2c的度數(shù)；（3）若bac=n°，按上述規(guī)律繼續(xù)畫(huà)下去，請(qǐng)直接寫(xiě)出bo2012c的度數(shù)29（1）如圖1，在銳角abc中，bd、ce分別是ac、ab邊上的高線(xiàn)，bd與ce相交于點(diǎn)p，若已知a=50°，bpc的度數(shù)為多少；（2）如圖2，在鈍角abc中，bd、ce分別是ac、ab邊上的高線(xiàn)，bd與ec的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)p，若已知a=50°，則bpc的度數(shù)為多少；（3）在abc中，若a=，請(qǐng)你探索ab、ac邊上的高線(xiàn)（或延長(zhǎng)線(xiàn)）

15、相交所成的bpc的度數(shù)（可以用含的代數(shù)式表示）30如圖（1），abc中，ad是角平分線(xiàn)，aebc于點(diǎn)e（1）若c=80°，b=50°，求dae的度數(shù)（2）若cb，試說(shuō)明dae=（cb）（3）如圖（2）若將點(diǎn)a在ad 上移動(dòng)到a´處，a´ebc于點(diǎn)e此時(shí)dae變成da´e，（2）中的結(jié)論還正確嗎？為什么？三角形的內(nèi)、外角和三線(xiàn)綜合練習(xí)題參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2010玉溪）平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）如圖a，若abcd，點(diǎn)p在ab、cd外部，則有b=bod，又因bod是pod的外角，故bod=bpd+d，得b

16、pd=bd將點(diǎn)p移到ab、cd內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則bpd、b、d之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線(xiàn)ab繞點(diǎn)b逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線(xiàn)cd于點(diǎn)q，如圖c，則bpdbdbqd之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中a+b+c+d+e+f的度數(shù)分析：（1）延長(zhǎng)bp交cd于e，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，求出ped=b，再利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可說(shuō)明不成立，應(yīng)為bpd=b+d；（2）作射線(xiàn)qp，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得；（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，把角轉(zhuǎn)化到四邊形中再求解解答：解：（1）

17、不成立結(jié)論是bpd=b+d延長(zhǎng)bp交cd于點(diǎn)e，abcdb=bed又bpd=bed+d，bpd=b+d（2）結(jié)論：bpd=bqd+b+d（3）連接eg并延長(zhǎng)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，agb=a+b+e，又agb=cgf，在四邊形cdfg中，cgf+c+d+f=360°，a+b+c+d+e+f=360°2（2006浙江）已知：如圖，abcd，直線(xiàn)ef分別交ab、cd于點(diǎn)e、f，bef的平分線(xiàn)與dfe的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)p求證：p=90°分析：由abcd，可知bef與dfe互補(bǔ)，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得pef+pfe=90°，由三角形內(nèi)角和定理可得p=90度解答：證明

18、：abcd，bef+dfe=180°又bef的平分線(xiàn)與dfe的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)p，pef=bef，pfe=def，pef+pfe=（bef+dfe）=90°pef+pfe+p=180°，p=90°3（2000內(nèi)蒙古）如圖，已知在三角形abc中，c=abc=2a，bd是ac邊上的高，求dbc的度數(shù)分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與c=abc=2a，即可求得abc三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得dbc的度數(shù)解答：解：c=abc=2a，c+abc+a=5a=180°，a=36°則c=abc=2a=72°又bd是ac邊上

19、的高，則dbc=90°c=18°4（2013響水縣一模）探究與發(fā)現(xiàn)：探究一：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？已知：如圖1，fdc與ecd分別為adc的兩個(gè)外角，試探究a與fdc+ecd的數(shù)量關(guān)系探究二：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？已知：如圖2，在adc中，dp、cp分別平分adc和acd，試探究p與a的數(shù)量關(guān)系探究三：若將adc改為任意四邊形abcd呢？已知：如圖3，在四邊形abcd中，dp、cp分別平分adc和bcd，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究p與a+b的

20、數(shù)量關(guān)系探究四：若將上題中的四邊形abcd改為六邊形abcdef（圖4）呢？請(qǐng)直接寫(xiě)出p與a+b+e+f的數(shù)量關(guān)系：p=（a+b+e+f）180°分析：探究一：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得fdc=a+acd，ecd=a+adc，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；探究二：根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得pdc=adc，pcd=acd，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出adc+bcd，然后同理探究二解答即可；探究四：根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出adc+bcd，然后同理探究二解答即可解答：解：探究一：fdc=a+acd，ecd=a

21、+adc，fdc+ecd=a+acd+a+adc=180°+a；探究二：dp、cp分別平分adc和acd，pdc=adc，pcd=acd，dpc=180°pdcpcd，=180°adcacd，=180°（adc+acd），=180°（180°a），=90°+a；探究三：dp、cp分別平分adc和bcd，pdc=adc，pcd=bcd，dpc=180°pdcpcd，=180°adcbcd，=180°（adc+bcd），=180°（360°ab），=（a+b）；探究四：六邊形ab

22、cdef的內(nèi)角和為：（62）180°=720°，dp、cp分別平分adc和acd，p=adc，pcd=acd，p=180°pdcpcd，=180°adcacd，=180°（adc+acd），=180°（720°abef），=（a+b+e+f）180°，即p=（a+b+e+f）180°5如圖，abc中，a=40°，b=72°，ce平分acb，cdab于d，dfce交ce于f，求cdf的度數(shù)分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得acb的度數(shù)，再根據(jù)ce平分acb求得ace的度數(shù)，則根據(jù)三角形

23、的外角的性質(zhì)就可求得ced=a+ace，再結(jié)合cdab，dfce就可求解解答：解：a=40°，b=72°，acb=180°40°72°=68°，ce平分acb，ace=bce=34°，ced=a+ace=74°，cde=90°，dfce，cdf+ecd=ecd+ced=90°，cdf=74°6如圖1，點(diǎn)o為直線(xiàn)ab上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)o作射線(xiàn)oc，使aoc=60°將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)o處，一邊om在射線(xiàn)ob上，另一邊on在直線(xiàn)ab的下方（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

24、至圖2，使一邊om在boc的內(nèi)部，且恰好平分boc，求con的度數(shù)；（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)o按每秒10°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線(xiàn)on恰好平分銳角aoc，則t的值為12或30秒（直接寫(xiě)出結(jié)果）；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使on在aoc的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄縜om與noc之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由分析：（1）由角的平分線(xiàn)的定義和等角的余角相等求解；（2）由boc=120°可得aoc=60°，則aon=30°或nor=30°，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300°或120°時(shí)on平分aoc，據(jù)此求解

25、；（3）因?yàn)閙on=90°，aoc=60°，所以aom=90°aon、noc=60°aon，然后作差即可解答：解：（1）已知aoc=60°，boc=120°，又om平分boc，com=boc=60°，con=com+90°=150°；（2）延長(zhǎng)no，boc=120°aoc=60°，當(dāng)直線(xiàn)on恰好平分銳角aoc，aod=cod=30°，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300°時(shí)no延長(zhǎng)線(xiàn)平分aoc，由題意得，10t=300°t=30，當(dāng)no平分aoc，nor=30°，

26、即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°時(shí)no平分aoc，10t=120°，t=12，t=12或30；（3）mon=90°，aoc=60°，aom=90°aon、noc=60°aon，aomnoc=（90°aon）（60°aon）=30°，所以aom與noc之間的數(shù)量關(guān)系為：aomnoc=30°7如圖，ad、bc交于o點(diǎn)，且a=b，c=d求證：abcd分析：證兩直線(xiàn)平行，需證得兩直線(xiàn)的內(nèi)錯(cuò)角相等結(jié)合已知，可用aob和cod的外角aoc為媒介，證得a=d或b=c，由此來(lái)證得abcd解答：證明：aoc=a+b，a=b，

27、aoc=2baoc=c+d，c=d，aoc=2cc=babcd8如圖，已知點(diǎn)a，d，b在同一直線(xiàn)上，1=2，3=e求證：debc分析：由1=2，aoe=cod可證得cdo=e；再由3=e得cdo=3，即得debc（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）解答：證明：1=2，aoe=cod（對(duì)頂角相等），在aoe和cod中，cdo=e（三角形內(nèi)角和定理）；3=e，cdo=3，debc（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）9如圖，d=1，e=2，dcec求證：adbe分析：根據(jù)dcec，得1+2=90°，再結(jié)合已知條件，得d+1+e+2=180°，利用三角形的內(nèi)角和定理就可求得a+b的值，從而證明結(jié)論解答

28、：證明：dcec，1+2=90°，又d=1，e=2，d+1+e+2=180°根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得a+b=180°，adbe10如圖，若cab=ced+cde，求證：abcd分析：利用三角形的內(nèi)角和定理得c+ced+cde=180°，已知cab=ced+cde，所以c+cab=180°，根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行可證abcd解答：證明：在ecd中c+ced+cde=180°（三角形內(nèi)角和定理），又cab=ced+cde（已知），c+cab=180°（等量代換），abcd（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行）11直線(xiàn)ab、cd被直

29、線(xiàn)ef所截，ef分別交ab、cd于m，n，emb=50°，mg平分bmf，mg交cd于g（1）如圖1，若abcd，求1的度數(shù)（2）如圖2，若mnc=140°，求1的度數(shù)分析：（1）根據(jù)兩角互補(bǔ)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)可求出bmg的度數(shù)，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可求解；（2）先根據(jù)兩角互補(bǔ)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)可求出nmg的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)及mnc=140°即可求出1的度數(shù)解答：解：（1）bmf+emb=180°，bmf=180°emb，emb=50°，bmf=180°50°=130°，（2分）mg平分bmf

30、，bmg=gmn=bmf=65°，（4分）abcd，1=bmg=65°；（5分）（2）mnc=1+gmn，1=mncgmn，（7分）mnc=140°，gmn=65°，1=140°65°=75°（8分）12如圖，四邊形abcd中，b=d=90°，ae平分bad，若aecf，bcf=60°，請(qǐng)你求出dcf的度數(shù)并說(shuō)明你的理由解答：解：dcf=60°，理由如下：b=90°1+bcf=90° bcf=60°1=30度aecf2=1=30度 ae平分bad3=2=30度又d=

31、90°3+4=90°4=60° aecfdcf=4=60°13已知abcd，直線(xiàn)l與ab、cd分別交于點(diǎn)e、f，點(diǎn)p是直線(xiàn)cd上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)p不與f重合），點(diǎn)m在ef上，且fmp=fpm，（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)p在射線(xiàn)fc上移動(dòng)時(shí)，若aef=60°，則fpm=30°；假設(shè)aef=a，則fpm=；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)p在射線(xiàn)fd上移動(dòng)時(shí)，猜想fpm與aef有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你說(shuō)明理由分析：（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)以及pfm的內(nèi)角和是180°填空；（2）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和三角形的內(nèi)角和為180度，易得fpm=9

32、0°aef解答：解：（1）abcd，aef+mfp=180°mfp+fmp+fpm=180°，fmp+fpm=aef；fmp=fpm，fpm=aef；若aef=60°，則fpm=30°；若aef=a，則fpm=；（2）fpm=90°aef理由：abcd，aef=mfp（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）mfp+fmp+fpm=180°，fmp+fpm=180°mfp=180°aef；fmp=fpm，fpm=90°aef14如圖（1）直線(xiàn)gchd，ef交cg、hd于a、b，三條直線(xiàn)把ef右側(cè)的平面分成、三個(gè)

33、區(qū)域，（規(guī)定：直線(xiàn)上各點(diǎn)不屬于任何區(qū)域）將一個(gè)透明的直角三角尺放置在該圖中，使得30°角（即p）的兩邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)a、b，當(dāng)點(diǎn)p落在某個(gè)區(qū)域時(shí)，連接pa、pb，得到pbd、pac兩個(gè)角（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)p落在第區(qū)域時(shí)，求pac+pbd的度數(shù)；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)p落在第區(qū)域時(shí)，pacpbd=30度（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)p落在第區(qū)域時(shí)，直接寫(xiě)出pac、pbd之間的等量關(guān)系分析：解答：（1）過(guò)點(diǎn)p作pqgc，則由平行線(xiàn)的性質(zhì)求出pac+pbd=p，從而得出答案（2）由gchd，得eac=ebd，再由外角的性質(zhì)得出pae=p+abp，從而得出pac=pbd+p；（3）由gchd，得1=

34、pbd，再由外角的性質(zhì)得出1=p+cap，從而得出pbd=pac+p解：（1）過(guò)點(diǎn)p作pqgc，pac=apq，bpq=pbd，pac+pbd=apq+qpb，即pac+pbd=p，p=30°，pac+pbd=30°（2）gchd，eac=ebd，pae=p+abp，pac=pbd+p，pacpbd=30°；（3）gchd，1=pbd，1=p+cap，pbd=pac+p，即pbdpac=pp=30°15如圖，直線(xiàn)ab，直線(xiàn)ac分別交a、b于點(diǎn)b、點(diǎn)c，直線(xiàn)ad交a于點(diǎn)d若1=20°，2=65°，求3的度數(shù)分析：根據(jù)兩直線(xiàn)ab推知，內(nèi)錯(cuò)

35、角2=4；然后由三角形的外角性質(zhì)及等量代換求得3的度數(shù)即可解答：解：ab，2=4（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又4=1+3（外角定理），1=20°，2=65°，3=21=45°，即3=45°16（1）如圖（1），abcd，點(diǎn)p在ab、cd外部，若b=40°，d=15°，則bpd=25°（2）如圖（2），abcd，點(diǎn)p在ab、cd內(nèi)部，則b，bpd，d之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）在圖（2）中，將直線(xiàn)ab繞點(diǎn)b按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線(xiàn)cd于點(diǎn)m，如圖（3），若bpd=90°，bmd=40°，求b

36、+d的度數(shù)分析：（1）由abcd，b=40°，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得bod的度數(shù)，又由三角形外角的性質(zhì)，可求得bpd的度數(shù)；（2）首先過(guò)點(diǎn)p作peab，由abcd，可得abpecd，然后由兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證得bpd=1+2=b+d；（3）首先延長(zhǎng)bp交cd于點(diǎn)e，利用三角形外角的性質(zhì)，即可求得b+d的度數(shù)解答：解：（1）abcd，b=40°，bod=b=40°，p=bodd=40°15°=25°故答案為：25°；（2）bpd=b+d證明：過(guò)點(diǎn)p作peab，abcd，abpecd，1=b，2=d，bp

37、d=1+2=b+d（3）延長(zhǎng)bp交cd于點(diǎn)e，1=bmd+b，bpd=1+d，bpd=bmd+b+d，bpd=90°，bmd=40°，b+d=bpdbmd=90°40°=50°17（2012樊城區(qū)模擬）下面是有關(guān)三角形內(nèi)外角平分線(xiàn)的探究，閱讀后按要求作答：探究1：如圖（1），在abc中，o是abc與acb的平分線(xiàn)bo和co的交點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)：boc=90°+a（不要求證明）探究2：如圖（2）中，o是abc與外角acd的平分線(xiàn)bo和co的交點(diǎn)，試分析boc與a有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由探究3：如圖（3）中，o是外角dbc與外角ecb

38、的平分線(xiàn)bo和co的交點(diǎn)，則boc與a有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（只寫(xiě)結(jié)論，不需證明）結(jié)論：boc=90°a分析：（1）根據(jù)提供的信息，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用a與1表示出2，再利用o與1表示出2，然后整理即可得到boc與o的關(guān)系；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線(xiàn)的定義表示出obc與ocb，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解解答：解：（1）探究2結(jié)論：boc=a，理由如下：bo和co分別是abc和acd的角平分線(xiàn)，1=abc，2=acd，又acd是abc的一外角，acd=a+abc，2=（a+abc）=a+1，2是boc

39、的一外角，boc=21=a+11=a；（2）探究3：obc=（a+acb），ocb=（a+abc），boc=180°0bcocb，=180°（a+acb）（a+abc），=180°a（a+abc+acb），結(jié)論boc=90°a18（2011宜興市二模）操作示例如圖1，abc中，ad為bc邊上的中線(xiàn)，則sabd=sadc實(shí)踐探究（1）在圖2中，e、f分別為矩形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，則s陰和s矩形abcd之間滿(mǎn)足的關(guān)系式為；（2）在圖3中，e、f分別為平行四邊形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，則s陰和s平行四邊形abcd之間滿(mǎn)足的關(guān)系式為；（3）在圖4

40、中，e、f分別為任意四邊形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，則s陰和s四邊形abcd之間滿(mǎn)足的關(guān)系式為；解決問(wèn)題：（4）在圖5中，e、g、f、h分別為任意四邊形abcd的邊ad、ab、bc、cd的中點(diǎn)，并且圖中陰影部分的面積為20平方米，求圖中四個(gè)小三角形的面積和，即s1+s2+s3+s4=20分析：（1）利用e、f分別為矩形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，分別求得s陰和s矩形abcd即可（2）利用e、f分別為平行四邊形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，分別求則s陰和s平行四邊形abcd即可（3）利用e、f分別為任意四邊形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，分別求得則s陰和s四邊形abcd即可（4）先設(shè)空白處

41、面積分別為：x、y、m、n由上得，分別求得s1、s2、s3、s4然后s1+s2+s3+s4=s陰即可解答：解：（1）由e、f分別為矩形abcd的邊ad、bc的中點(diǎn)，得s陰=bfcd=bccd，s矩形abcd=bccd，所以；（2）同理可得；（3）同理可得；（4）設(shè)空白處面積分別為：x、y、m、n（見(jiàn)右圖），由上得，s1+x+s2+s3+y+s4=s1+m+s4+s2+n+s3=，（s1+x+s2+s3+y+s4）+（s1+m+s4+s2+n+s3）=s四邊形abcd（s1+x+s2+s3+y+s4）+（s1+m+s4+s2+n+s3）=s1+x+s2+n+s3+y+s4+m+s陰s1+s2+s

42、3+s4=s陰=20故答案分別為：（1）；（2）；（3）；（4）2019如圖，在bcd中，be平分dbc交cd于f，延長(zhǎng)bc至g，ce平分dcg，且ec、db的延長(zhǎng)線(xiàn)交于a點(diǎn)，若a=33°，dfe=63°（1）求證：dfe=a+d+e；（2）求e的度數(shù)；（3）若在上圖中作cbe與gce的平分線(xiàn)交于e1，作cbe1與gce1的平分線(xiàn)交于e2，作cbe2與gce2的平分線(xiàn)于e3，以此類(lèi)推，cben與gcen的平分線(xiàn)交于en+l，請(qǐng)用含有n的式子表示en+l的度數(shù)（直接寫(xiě)答案）分析：（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得出dce=a+d，dfe=dce+e，將

43、第一式代入第二式即可得證；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)及三角形外角的性質(zhì)得出ecg=dcg=（d+dbc），ecg=e+ebc=e+dbc，則d=2e，再利用上題結(jié)論dfe=a+d+e，將已知條件代入，即可求出e的度數(shù)；（3）先根據(jù)角平分線(xiàn)及三角形外角的性質(zhì)得出e1=e，同理得出e2=e1，則e2=e=e，由此得出規(guī)律en+l=e解答：（1）證明：dce=a+d，dfe=dce+e，dfe=a+d+e；（2）解：dcg=d+dbc，ce平分dcg，ecg=dcg=（d+dbc），be平分dbc，ebc=dbc，ecg=e+ebc=e+dbc，e+dbc=（d+dbc），e=d，d=2edfe=63

44、76;，a=33°，dfe=a+d+e，d+e=defa=63°33°=30°，2e+e=30°，e=10°；（3）ecg=e+ebc，ce1平分ecg，e1cg=ecg=（e+ebc）be1平分ebc，e1bc=ebce1cg=e1+e1bc=e1+ebc，e1+ebc=（e+ebc），e1=e同理：e2=e1，e2=e=e，en+l=e20已知：abc中，adbc，ae平分bac，請(qǐng)根據(jù)題中所給的條件，解答下列問(wèn)題：（1）如圖1，若bad=60°，ead=15°，求acb的度數(shù)（2）通過(guò)以上的計(jì)算你發(fā)現(xiàn)ead和

45、acbb之間的關(guān)系應(yīng)為：acbb=2ead（3）在圖2的abc中，acb90°，那么（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？為什么？分析：（1）先求出bae=badead=45°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，得出bac=90°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出acb=90°b，故求出b的度數(shù)即可而在直角abd中，b=90°bad=30°；（2）由（1）的計(jì)算發(fā)現(xiàn)ead和acbb之間的關(guān)系應(yīng)為：acbb=2ead；（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及垂直的定義，得出acbb=badcad，再由角平分線(xiàn)的定義得出結(jié)論acbb=2ead解答：解：（1）bad=60

46、6;，ead=15°，bae=badead=45°，ae平分bac，bac=2bae=90°adbc，bad=60°，b=30°，acb=90°30°=60°；（2）（1）中ead=15°，acbb=60°30°=30°，發(fā)現(xiàn)acbb=2ead，推測(cè)acbb=2ead；（3）在圖2的abc中，acb90°，那么（2）中的結(jié)論仍然成立理由如下：在abc中，adbc，ae平分bac，adc=adb=90°，bae=cae，acbb=90°cad（90

47、°bad）=badcad，又bad=bae+ead，cad=caeead，acbb=2ead21如圖（甲），d是abc的邊bc的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)abc、acd的平分線(xiàn)相交于p1（1）若abc=80°，acb=40°，則p1的度數(shù)為30°；（2）若a=，則p1的度數(shù)為；（用含的代數(shù)式表示）（3）如圖（乙），a=，abc、acd的平分線(xiàn)相交于p1，p1bc、p1cd的平分線(xiàn)相交于p2，p2bc、p2cd的平分線(xiàn)相交于p3依此類(lèi)推，則pn的度數(shù)為（）n（用n與的代數(shù)式表示）分析：由p1cd=p1+p1bc，acd=abc+a，而p1b、p1c分別平分abc和acd

48、，得到acd=2p1cd，abc=2p1bc，于是有a=2p1，同理可得p1=2p2，即a=22p2，因此找出規(guī)律解答：解：p1b、p1c分別平分abc和acd，acd=2p1cd，abc=2p1bc，而p1cd=p1+p1bc，acd=abc+a，a=2p1，p1=a，（1）abc=80°，acb=40°，a=60°，p1=30°；（2）a=，p1的度數(shù)為；（3）同理可得p1=2p2，即a=22p2，a=2npn，pn=（）n故答案為：30°，（）n22在abc中，cb，ae是abc中bac的平分線(xiàn)；（1）若ad是abc的bc邊上的高，且b=

49、30°，c=70°（如圖1），求ead的度數(shù)；（2）若f是ae上一點(diǎn)，且fgbc，垂足為g（如圖2），求證：；（3）若f是ae延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且fgbc，g為垂足（如圖3），中結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得a=180°30°70°=80°，再根據(jù)角平分線(xiàn)定義得eac=×80°=40°，由ad是abc的bc邊上的高，得adc=90°，計(jì)算出dac=90°70°=20°，則ead=eacdac=40°20°

50、;=20°；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得a=180°bc，再根據(jù)角平分線(xiàn)定義得eac=（180°bc）=90°（b+c），而dac=90°c，可計(jì)算得ead=eacdac=90°（b+c）90°c=（cb），然后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到結(jié)論；（3）與（2）證明方法一樣解答：（1）解：b=30°，c=70°，a=180°30°70°=80°，ae是abc中bac的平分線(xiàn)，eac=×80°=40°，ad是abc的bc邊上的高，adc=90

51、76;，dac=90°70°=20°，ead=eacdac=40°20°=20°；（2）證明：過(guò)a點(diǎn)作高ad，如圖，a=180°bc，ae是abc中bac的平分線(xiàn)，eac=（180°bc）=90°（b+c），而dac=90°c，ead=eacdac=90°（b+c）90°c=（cb），fgbc，efg=ead，efg=（cb）；（3）中結(jié)論依然成立理由如下：過(guò)a點(diǎn)作高ad，如圖，在（2）中得到ead=（cb），fgbc，efg=ead，efg=（cb）23已知，如圖，在abc

52、中，ad平分bac，de，df分別是adc的高和角平分線(xiàn)（cdac），若b=80°，c=40°（1）求dae的度數(shù)；（2）試猜想edf、c與dac有何關(guān)系？并說(shuō)明理由分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出bac的度數(shù)，再根據(jù)三角形的角平分線(xiàn)的定義即可求出dae的度數(shù)；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線(xiàn)的定義求出cdf=（180°dacc），再由直角三角形兩銳角互余得出cde=90°c，則根據(jù)edf=cdfcde即可得出edf=（cdac）解答：解：（1）在abc中，b=80°，c=40°，bac=180°80°

53、40°=60°，ad平分bac，dae=bac=30°；（2）edf=（cdac）理由如下：在dac中，adc+dac+c=180°，adc=180°dacc，df平分adc，cdf=adc=（180°dacc），de是adc的高，cde=90°c，edf=cdfcde=（180°dacc）（90°c）=（cdac）故edf=（cdac）24如圖，在abc中，已知acb=67°，be是ac上的高，cd是ab上的高，f是be和cd的交點(diǎn)，dcb=45°，求abe和bfc的度數(shù)分析：根據(jù)三

54、角形高的定義得到cdb=90°，bec=90°，先利用三角形內(nèi)角和定理得dbc=180°90°45°=45°，ebc=180°ecbbec=180°67°90°=23°，則abe=abcebc=45°23°=22°，然后利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算bfc=22°+90°=112°解答：解：cd是ab上的高，cdb=90°，cdb+dbc+dcb=180°，dbc=180°90°45°=45°，be是ac上的高，bec=90°，ebc=180°ecbbec=180°67°90°=23°，abe=